4.5: Постійне прискорення

Коли х -складова швидкості є лінійною функцією (рис.$\PageIndex{1a}$), середнє прискорення, Δ v/Δ t, є постійною і, отже, дорівнює миттєвому прискоренню (рис.$\PageIndex{1b}$).

Малюнок$\PageIndex{1}$: Постійне прискорення: (а) швидкість, (б) прискорення. (CC BY-NC; Відповідальний)

Розглянемо тіло, що зазнає постійне прискорення протягом часового проміжку$[0,t]$, де$Δt =t$. Позначимо х -складову швидкості в момент t =0 на (b) t. Тому х -складова прискорення задається

$$a(t)=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t)-v_{0}}{t} \nonumber$$

Таким чином, х -складова швидкості є лінійною функцією часу, заданої $$v(t)=v_{0}+a t \nonumber$$

Швидкість: Площа під графіком прискорення проти часу

На малюнку 4.8 (b) площа під графіком прискорення проти часу, для часового інтервалу$Δt = t − 0 = t$, дорівнює

$$\operatorname{Area}(a(t), t)=a t \nonumber$$ З Рівняння (4.5.2) площа - це зміна х -складової швидкості для інтервалу [0, t]:

$$\operatorname{Area}(a(t), t)=a t=v(t)-v_{0}=\Delta v \nonumber$$

Зсув: Площа під швидкістю проти. Графік часу

На малюнку$\PageIndex{2}$ показаний графік х -складової швидкості проти часу для випадку постійного прискорення (Рівняння (4.5.2)).

Рисунок$\PageIndex{2}$: Графік швидкості як функція часу для$a$ константи. (CC BY-NC; Відповідальний)

Область під кривою швидкості проти часу являє собою трапецію, утворену з прямокутника з площею$A_{1}=v_{0} t$, і трикутника з площею$A_{2}=(1 / 2)\left(v(t)-v_{0}\right)$ Загальна площа трапеції задається

$$Area (v(t), t)=A_{1}+A_{2}=v_{0} t+\frac{1}{2}\left(v(t)-v_{0}\right) \nonumber$$

Підстановка швидкості (Рівняння (4.5.2)) дає

$$\ Area (v(t), t)=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber$$

Нагадаємо, що з прикладу 4.2 (установка b = a і Δ t = t),

$$v_{a v e}=v_{0}+\frac{1}{2} a t=\Delta x / t \nonumber$$

тому рівняння (4.5.6) можна переписати як

$$Area (v(t), t)=\left(v_{0}+\frac{1}{2} a t\right) t=v_{a v e} t=\Delta x \nonumber$$

Зсув дорівнює площі під графіком х -складової швидкості проти часу. Позицію як функцію часу тепер можна знайти, переписуючи рівняння (4.5.8) як

$$x(t)=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber$$

$\PageIndex{3}$На малюнку показаний графік цього рівняння. Зверніть увагу, що$t = 0$ на схилі ненульова, що відповідає початковій складової швидкості$v_{0}$

Рисунок$\PageIndex{3}$: Графік положення та часу для постійного прискорення. (CC BY-NC; Відповідальний)

Приклад 4.4 Прискорення автомобіля

Автомобіль, стартуючи в стані спокою$t = 0$, розганяється по прямій за 100 м з невідомим постійним розгоном. Він досягає швидкості 20,$m ⋅s ^−1$ а потім триває на цій швидкості ще 10 с.

1. Запишіть рівняння положення і швидкості автомобіля в залежності від часу.
2. Як довго машина розганялася?
3. Якою була величина прискорення?
4. Швидкість сюжету проти часу, прискорення проти часу та положення проти часу для всього руху.
5. Якою була середня швидкість за всю поїздку?

Рішення

(а) Для прискорення$a$ положення$x(t)$ та швидкість$v(t)$ як функція часу$t$ для автомобіля, що починається з відпочинку, є

$$\begin{array}{l}x(t)=(1 / 2) a t^{2} \\v_{x}(t)=a t \end{array} \nonumber$$

б) Позначте проміжок часу, протягом якого автомобіль розганявся на$t_{1}$. Ми знаємо, що позиція$x\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$. Зверніть увагу, що ми можемо усунути прискорення a між рівняннями (4.4.10), щоб отримати

$$x(t)=(1 / 2) v(t) t \nonumber$$

Ми можемо вирішити це рівняння для часу як функцію відстані та кінцевої швидкості, що дає

$$t=2 \frac{x(t)}{v(t)} \nonumber$$

Тепер ми можемо підставити наші відомі значення на позицію$x\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ і вирішити за часовий проміжок, який автомобіль прискорив.

$$t_{1}=2 \frac{x\left(t_{1}\right)}{v\left(t_{1}\right)}=2 \frac{100 \mathrm{m}}{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}=10 \mathrm{s} \nonumber$$

в) Ми можемо замінити в будь-який з виразів у рівнянні (4.4.10); другий трохи простіше у використанні,

$$a=\frac{v\left(t_{1}\right)}{t_{1}}=\frac{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{10 \mathrm{s}}=2.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \nonumber$$

г) x -складова прискорення проти часу, х -складова швидкості проти часу, а позиція проти часу є кусковими функціями, що задаються

\ [a (t) =\ лівий\ {\ початок {масив} {lc}
2\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
0; & 10\ mathrm {s} <t<20\ mathrm {s}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ nonumber\]\ [v (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
\ лівий (2\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) t; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s}; & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {масив}\ право. \ номер\]\ [x (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
(1/2)\ лівий (2\ математичний {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) t^ {2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\
100\ mathrm {m} +\ leq 10\ mathrm {m} +\ leq (20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) (t-10\ mathrm {s}); & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Графіки x -складової прискорення vs. часу, x -складової швидкості vs. часу та позиції vs. часу показані на малюнку 4.11.

(е) Після розгону автомобіль їде ще десять секунд з постійною швидкістю і за цей інтервал автомобіль проїжджає додаткову відстань$\Delta x=v\left(t_{1}\right) \times 10 \mathrm{s}=200 \mathrm{m}$ (зверніть увагу, що це вдвічі більше пройденої відстані за 10 с розгону), тому загальна пройдена відстань становить 300 м, а загальний час - 20 с, для середньої швидкості

$$v_{\text {ave }}=\frac{300 \mathrm{m}}{20 \mathrm{s}}=15 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber$$

Рисунок$\PageIndex{4}$: Графіки х-складових прискорення, швидкості та положення у вигляді кускових функцій. (CC BY-NC; Відповідальний)

Приклад$\PageIndex{1}$: Catching a Bus

В одну мить світлофор зеленіє, автомобіль стартує з відпочинку з заданим постійним прискоренням, 3.0$\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}$. Так само, як світло стає зеленим, автобус, їде з заданою постійною швидкістю$1.6 × 10^1 \,\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}$, проходить автомобіль. Автомобіль прискорюється і проїжджає автобус десь пізніше. Як далеко вниз по дорозі проїхала машина, коли машина проїжджає автобус?

Рішення

Є два рухомих об'єкта, автобус і автомобіль. Кожен об'єкт проходить одну стадію одновимірного руху. Нам дано прискорення автомобіля, швидкість руху автобуса, і робимо висновок, що положення автомобіля і автобуса рівні, коли автобус просто проїжджає автомобіль. $\PageIndex{5}$На малюнку зображений якісний ескіз положення автомобіля і автобуса в залежності від часу.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Положення vs. час автомобіля та автобуса. (CC BY-NC; Відповідальний)

Виберіть систему координат з початком на світлофорі та позитивним напрямком x, таким чином, щоб автомобіль і автобус рухалися в позитивному напрямку x. Встановіть час,$t = 0$ як момент, коли автомобіль і автобус проходять один одного на початку, коли світло стає зеленим. $\PageIndex{6}$На малюнку показано положення автомобіля і автобуса в момент часу$t$.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Система координат для автомобіля та автобуса. (CC BY-NC; Відповідальний)

Дозвольте$x_{1}(t)$ позначити позиційну функцію автомобіля,$x_{2}(t)$ а функцію положення для шини. Початкове положення і початкова швидкість автомобіля обидва нульові,$x_{1,0}$ = 0 і$v_{1,0}$ = 0, а розгін автомобіля ненульовий$a_{1} \neq 0$. Тому положення і швидкісні функції автомобіля задаються

\ [\ begin {масив} {c}
x_ {1} (t) =\ frac {1} {2} a_ {1} t^ {2}\
v_ {1} (t) =a_ {1} t
\ end {масив}\ nonumber\]

Початкове положення шини дорівнює нулю$(x_{2,0}(t) = 0$, початкова швидкість шини ненульова$v_{2,0} \neq 0$, а прискорення шини дорівнює нулю, (a_ {2}\) = 0. Тому швидкість постійна$v_{2}(t)=v_{2,0}$, а функція положення для шини задається$x_{2}(t)=v_{2,0} t$.

Нехай$t=t_{a}$ відповідає часу, який автомобіль проїжджає автобус. Тоді в цей момент функції положення автобуса і автомобіля рівні,$x_{1}\left(t_{a}\right)=x_{2}\left(t_{a}\right)$. Ми можемо використовувати цю умову для вирішення$t_{a}$:

$$(1 / 2) a_{1} t_{a}^{2}=v_{2,0} t_{a} \Rightarrow t_{a}=\frac{2 v_{2,0}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.1 \times 10^{1} \mathrm{s} \nonumber$$

Тому положення автомобіля$t_{a}$ при

$$x_{1}\left(t_{a}\right)=\frac{1}{2} a_{1} t_{a}^{2}=\frac{2 v_{2,0}^{2}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{2}}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.7 \times 10^{2} \mathrm{m} \nonumber$$