4.5: Постійне прискорення
Коли х -складова швидкості є лінійною функцією (рис.4.5.1a), середнє прискорення, Δ v/Δ t, є постійною і, отже, дорівнює миттєвому прискоренню (рис.4.5.1b).
Розглянемо тіло, що зазнає постійне прискорення протягом часового проміжку[0,t], деΔt =t. Позначимо х -складову швидкості в момент t =0 на (b) t. Тому х -складова прискорення задається
a(t)=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t)-v_{0}}{t} \nonumber
Таким чином, х -складова швидкості є лінійною функцією часу, заданоїv(t)=v_{0}+a t \nonumber
Швидкість: Площа під графіком прискорення проти часу
На малюнку 4.8 (b) площа під графіком прискорення проти часу, для часового інтервалуΔt = t − 0 = t, дорівнює
\operatorname{Area}(a(t), t)=a t \nonumber З Рівняння (4.5.2) площа - це зміна х -складової швидкості для інтервалу [0, t]:
\operatorname{Area}(a(t), t)=a t=v(t)-v_{0}=\Delta v \nonumber
Зсув: Площа під швидкістю проти. Графік часу
На малюнку\PageIndex{2} показаний графік х -складової швидкості проти часу для випадку постійного прискорення (Рівняння (4.5.2)).
Область під кривою швидкості проти часу являє собою трапецію, утворену з прямокутника з площеюA_{1}=v_{0} t, і трикутника з площеюA_{2}=(1 / 2)\left(v(t)-v_{0}\right) Загальна площа трапеції задається
Area (v(t), t)=A_{1}+A_{2}=v_{0} t+\frac{1}{2}\left(v(t)-v_{0}\right) \nonumber
Підстановка швидкості (Рівняння (4.5.2)) дає
\ Area (v(t), t)=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber
Нагадаємо, що з прикладу 4.2 (установка b = a і Δ t = t),
v_{a v e}=v_{0}+\frac{1}{2} a t=\Delta x / t \nonumber
тому рівняння (4.5.6) можна переписати як
Area (v(t), t)=\left(v_{0}+\frac{1}{2} a t\right) t=v_{a v e} t=\Delta x \nonumber
Зсув дорівнює площі під графіком х -складової швидкості проти часу. Позицію як функцію часу тепер можна знайти, переписуючи рівняння (4.5.8) як
x(t)=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber
\PageIndex{3}На малюнку показаний графік цього рівняння. Зверніть увагу, щоt = 0 на схилі ненульова, що відповідає початковій складової швидкостіv_{0}
Приклад 4.4 Прискорення автомобіля
Автомобіль, стартуючи в стані спокоюt = 0, розганяється по прямій за 100 м з невідомим постійним розгоном. Він досягає швидкості 20,m ⋅s ^−1 а потім триває на цій швидкості ще 10 с.
- Запишіть рівняння положення і швидкості автомобіля в залежності від часу.
- Як довго машина розганялася?
- Якою була величина прискорення?
- Швидкість сюжету проти часу, прискорення проти часу та положення проти часу для всього руху.
- Якою була середня швидкість за всю поїздку?
Рішення
(а) Для прискоренняa положенняx(t) та швидкістьv(t) як функція часуt для автомобіля, що починається з відпочинку, є
\begin{array}{l}x(t)=(1 / 2) a t^{2} \\v_{x}(t)=a t \end{array} \nonumber
б) Позначте проміжок часу, протягом якого автомобіль розганявся наt_{1}. Ми знаємо, що позиціяx\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} . Зверніть увагу, що ми можемо усунути прискорення a між рівняннями (4.4.10), щоб отримати
x(t)=(1 / 2) v(t) t \nonumber
Ми можемо вирішити це рівняння для часу як функцію відстані та кінцевої швидкості, що дає
t=2 \frac{x(t)}{v(t)} \nonumber
Тепер ми можемо підставити наші відомі значення на позиціюx\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} і вирішити за часовий проміжок, який автомобіль прискорив.
t_{1}=2 \frac{x\left(t_{1}\right)}{v\left(t_{1}\right)}=2 \frac{100 \mathrm{m}}{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}=10 \mathrm{s} \nonumber
в) Ми можемо замінити в будь-який з виразів у рівнянні (4.4.10); другий трохи простіше у використанні,
a=\frac{v\left(t_{1}\right)}{t_{1}}=\frac{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{10 \mathrm{s}}=2.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \nonumber
г) x -складова прискорення проти часу, х -складова швидкості проти часу, а позиція проти часу є кусковими функціями, що задаються
\ [a (t) =\ лівий\ {\ початок {масив} {lc}
2\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
0; & 10\ mathrm {s} <t<20\ mathrm {s}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ nonumber\]\ [v (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
\ лівий (2\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) t; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s}; & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {масив}\ право. \ номер\]\ [x (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
(1/2)\ лівий (2\ математичний {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) t^ {2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\
100\ mathrm {m} +\ leq 10\ mathrm {m} +\ leq (20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) (t-10\ mathrm {s}); & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {масив}\ право. \ номер\]
Графіки x -складової прискорення vs. часу, x -складової швидкості vs. часу та позиції vs. часу показані на малюнку 4.11.
(е) Після розгону автомобіль їде ще десять секунд з постійною швидкістю і за цей інтервал автомобіль проїжджає додаткову відстань\Delta x=v\left(t_{1}\right) \times 10 \mathrm{s}=200 \mathrm{m} (зверніть увагу, що це вдвічі більше пройденої відстані за 10 с розгону), тому загальна пройдена відстань становить 300 м, а загальний час - 20 с, для середньої швидкості
v_{\text {ave }}=\frac{300 \mathrm{m}}{20 \mathrm{s}}=15 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber
Приклад\PageIndex{1}: Catching a Bus
В одну мить світлофор зеленіє, автомобіль стартує з відпочинку з заданим постійним прискоренням, 3.0\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}. Так само, як світло стає зеленим, автобус, їде з заданою постійною швидкістю1.6 × 10^1 \,\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}, проходить автомобіль. Автомобіль прискорюється і проїжджає автобус десь пізніше. Як далеко вниз по дорозі проїхала машина, коли машина проїжджає автобус?
Рішення
Є два рухомих об'єкта, автобус і автомобіль. Кожен об'єкт проходить одну стадію одновимірного руху. Нам дано прискорення автомобіля, швидкість руху автобуса, і робимо висновок, що положення автомобіля і автобуса рівні, коли автобус просто проїжджає автомобіль. \PageIndex{5}На малюнку зображений якісний ескіз положення автомобіля і автобуса в залежності від часу.
Виберіть систему координат з початком на світлофорі та позитивним напрямком x, таким чином, щоб автомобіль і автобус рухалися в позитивному напрямку x. Встановіть час,t = 0 як момент, коли автомобіль і автобус проходять один одного на початку, коли світло стає зеленим. \PageIndex{6}На малюнку показано положення автомобіля і автобуса в момент часуt.
Дозвольтеx_{1}(t) позначити позиційну функцію автомобіля,x_{2}(t) а функцію положення для шини. Початкове положення і початкова швидкість автомобіля обидва нульові,x_{1,0} = 0 іv_{1,0} = 0, а розгін автомобіля ненульовийa_{1} \neq 0. Тому положення і швидкісні функції автомобіля задаються
\ [\ begin {масив} {c}
x_ {1} (t) =\ frac {1} {2} a_ {1} t^ {2}\
v_ {1} (t) =a_ {1} t
\ end {масив}\ nonumber\]
Початкове положення шини дорівнює нулю(x_{2,0}(t) = 0, початкова швидкість шини ненульоваv_{2,0} \neq 0, а прискорення шини дорівнює нулю, (a_ {2}\) = 0. Тому швидкість постійнаv_{2}(t)=v_{2,0}, а функція положення для шини задаєтьсяx_{2}(t)=v_{2,0} t.
Нехайt=t_{a} відповідає часу, який автомобіль проїжджає автобус. Тоді в цей момент функції положення автобуса і автомобіля рівні,x_{1}\left(t_{a}\right)=x_{2}\left(t_{a}\right). Ми можемо використовувати цю умову для вирішенняt_{a}:
(1 / 2) a_{1} t_{a}^{2}=v_{2,0} t_{a} \Rightarrow t_{a}=\frac{2 v_{2,0}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.1 \times 10^{1} \mathrm{s} \nonumber
Тому положення автомобіляt_{a} при
x_{1}\left(t_{a}\right)=\frac{1}{2} a_{1} t_{a}^{2}=\frac{2 v_{2,0}^{2}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{2}}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.7 \times 10^{2} \mathrm{m} \nonumber