Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.5: Постійне прискорення

Коли х -складова швидкості є лінійною функцією (рис.4.5.1a), середнє прискорення, Δ vt, є постійною і, отже, дорівнює миттєвому прискоренню (рис.4.5.1b).

4.8.svg
Малюнок4.5.1: Постійне прискорення: (а) швидкість, (б) прискорення. (CC BY-NC; Відповідальний)

Розглянемо тіло, що зазнає постійне прискорення протягом часового проміжку[0,t], деΔt =t. Позначимо х -складову швидкості в момент t =0 на (b) t. Тому х -складова прискорення задається

a(t)=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t)-v_{0}}{t} \nonumber

Таким чином, х -складова швидкості є лінійною функцією часу, заданоїv(t)=v_{0}+a t \nonumber

Швидкість: Площа під графіком прискорення проти часу

На малюнку 4.8 (b) площа під графіком прискорення проти часу, для часового інтервалуΔt = t − 0 = t, дорівнює

\operatorname{Area}(a(t), t)=a t \nonumber З Рівняння (4.5.2) площа - це зміна х -складової швидкості для інтервалу [0, t]:

\operatorname{Area}(a(t), t)=a t=v(t)-v_{0}=\Delta v \nonumber

Зсув: Площа під швидкістю проти. Графік часу

На малюнку\PageIndex{2} показаний графік х -складової швидкості проти часу для випадку постійного прискорення (Рівняння (4.5.2)).

4.9.svg
Рисунок\PageIndex{2}: Графік швидкості як функція часу дляa константи. (CC BY-NC; Відповідальний)

Область під кривою швидкості проти часу являє собою трапецію, утворену з прямокутника з площеюA_{1}=v_{0} t, і трикутника з площеюA_{2}=(1 / 2)\left(v(t)-v_{0}\right) Загальна площа трапеції задається

Area (v(t), t)=A_{1}+A_{2}=v_{0} t+\frac{1}{2}\left(v(t)-v_{0}\right) \nonumber

Підстановка швидкості (Рівняння (4.5.2)) дає

\ Area (v(t), t)=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber

Нагадаємо, що з прикладу 4.2 (установка b = a і Δ t = t),

v_{a v e}=v_{0}+\frac{1}{2} a t=\Delta x / t \nonumber

тому рівняння (4.5.6) можна переписати як

Area (v(t), t)=\left(v_{0}+\frac{1}{2} a t\right) t=v_{a v e} t=\Delta x \nonumber

Зсув дорівнює площі під графіком х -складової швидкості проти часу. Позицію як функцію часу тепер можна знайти, переписуючи рівняння (4.5.8) як

x(t)=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber

\PageIndex{3}На малюнку показаний графік цього рівняння. Зверніть увагу, щоt = 0 на схилі ненульова, що відповідає початковій складової швидкостіv_{0}

4.10.свг
Рисунок\PageIndex{3}: Графік положення та часу для постійного прискорення. (CC BY-NC; Відповідальний)

Приклад 4.4 Прискорення автомобіля

Автомобіль, стартуючи в стані спокоюt = 0, розганяється по прямій за 100 м з невідомим постійним розгоном. Він досягає швидкості 20,m ⋅s ^−1 а потім триває на цій швидкості ще 10 с.

  1. Запишіть рівняння положення і швидкості автомобіля в залежності від часу.
  2. Як довго машина розганялася?
  3. Якою була величина прискорення?
  4. Швидкість сюжету проти часу, прискорення проти часу та положення проти часу для всього руху.
  5. Якою була середня швидкість за всю поїздку?

Рішення

(а) Для прискоренняa положенняx(t) та швидкістьv(t) як функція часуt для автомобіля, що починається з відпочинку, є

\begin{array}{l}x(t)=(1 / 2) a t^{2} \\v_{x}(t)=a t \end{array} \nonumber

б) Позначте проміжок часу, протягом якого автомобіль розганявся наt_{1}. Ми знаємо, що позиціяx\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} . Зверніть увагу, що ми можемо усунути прискорення a між рівняннями (4.4.10), щоб отримати

x(t)=(1 / 2) v(t) t \nonumber

Ми можемо вирішити це рівняння для часу як функцію відстані та кінцевої швидкості, що дає

t=2 \frac{x(t)}{v(t)} \nonumber

Тепер ми можемо підставити наші відомі значення на позиціюx\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} і вирішити за часовий проміжок, який автомобіль прискорив.

t_{1}=2 \frac{x\left(t_{1}\right)}{v\left(t_{1}\right)}=2 \frac{100 \mathrm{m}}{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}=10 \mathrm{s} \nonumber

в) Ми можемо замінити в будь-який з виразів у рівнянні (4.4.10); другий трохи простіше у використанні,

a=\frac{v\left(t_{1}\right)}{t_{1}}=\frac{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{10 \mathrm{s}}=2.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \nonumber

г) x -складова прискорення проти часу, х -складова швидкості проти часу, а позиція проти часу є кусковими функціями, що задаються

\ [a (t) =\ лівий\ {\ початок {масив} {lc}
2\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
0; & 10\ mathrm {s} <t<20\ mathrm {s}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ nonumber\]\ [v (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
\ лівий (2\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) t; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s}; & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {масив}\ право. \ номер\]\ [x (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
(1/2)\ лівий (2\ математичний {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) t^ {2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\
100\ mathrm {m} +\ leq 10\ mathrm {m} +\ leq (20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) (t-10\ mathrm {s}); & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Графіки x -складової прискорення vs. часу, x -складової швидкості vs. часу та позиції vs. часу показані на малюнку 4.11.

(е) Після розгону автомобіль їде ще десять секунд з постійною швидкістю і за цей інтервал автомобіль проїжджає додаткову відстань\Delta x=v\left(t_{1}\right) \times 10 \mathrm{s}=200 \mathrm{m} (зверніть увагу, що це вдвічі більше пройденої відстані за 10 с розгону), тому загальна пройдена відстань становить 300 м, а загальний час - 20 с, для середньої швидкості

v_{\text {ave }}=\frac{300 \mathrm{m}}{20 \mathrm{s}}=15 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber

4.11 у форматі svg
Рисунок\PageIndex{4}: Графіки х-складових прискорення, швидкості та положення у вигляді кускових функцій. (CC BY-NC; Відповідальний)

Приклад\PageIndex{1}: Catching a Bus

В одну мить світлофор зеленіє, автомобіль стартує з відпочинку з заданим постійним прискоренням, 3.0\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}. Так само, як світло стає зеленим, автобус, їде з заданою постійною швидкістю1.6 × 10^1 \,\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}, проходить автомобіль. Автомобіль прискорюється і проїжджає автобус десь пізніше. Як далеко вниз по дорозі проїхала машина, коли машина проїжджає автобус?

Рішення

Є два рухомих об'єкта, автобус і автомобіль. Кожен об'єкт проходить одну стадію одновимірного руху. Нам дано прискорення автомобіля, швидкість руху автобуса, і робимо висновок, що положення автомобіля і автобуса рівні, коли автобус просто проїжджає автомобіль. \PageIndex{5}На малюнку зображений якісний ескіз положення автомобіля і автобуса в залежності від часу.

4.12. Свг
Малюнок\PageIndex{5}: Положення vs. час автомобіля та автобуса. (CC BY-NC; Відповідальний)

Виберіть систему координат з початком на світлофорі та позитивним напрямком x, таким чином, щоб автомобіль і автобус рухалися в позитивному напрямку x. Встановіть час,t = 0 як момент, коли автомобіль і автобус проходять один одного на початку, коли світло стає зеленим. \PageIndex{6}На малюнку показано положення автомобіля і автобуса в момент часуt.

4.13. Свг
Малюнок\PageIndex{6}: Система координат для автомобіля та автобуса. (CC BY-NC; Відповідальний)

Дозвольтеx_{1}(t) позначити позиційну функцію автомобіля,x_{2}(t) а функцію положення для шини. Початкове положення і початкова швидкість автомобіля обидва нульові,x_{1,0} = 0 іv_{1,0} = 0, а розгін автомобіля ненульовийa_{1} \neq 0. Тому положення і швидкісні функції автомобіля задаються

\ [\ begin {масив} {c}
x_ {1} (t) =\ frac {1} {2} a_ {1} t^ {2}\
v_ {1} (t) =a_ {1} t
\ end {масив}\ nonumber\]

Початкове положення шини дорівнює нулю(x_{2,0}(t) = 0, початкова швидкість шини ненульоваv_{2,0} \neq 0, а прискорення шини дорівнює нулю, (a_ {2}\) = 0. Тому швидкість постійнаv_{2}(t)=v_{2,0}, а функція положення для шини задаєтьсяx_{2}(t)=v_{2,0} t.

Нехайt=t_{a} відповідає часу, який автомобіль проїжджає автобус. Тоді в цей момент функції положення автобуса і автомобіля рівні,x_{1}\left(t_{a}\right)=x_{2}\left(t_{a}\right). Ми можемо використовувати цю умову для вирішенняt_{a}:

(1 / 2) a_{1} t_{a}^{2}=v_{2,0} t_{a} \Rightarrow t_{a}=\frac{2 v_{2,0}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.1 \times 10^{1} \mathrm{s} \nonumber

Тому положення автомобіляt_{a} при

x_{1}\left(t_{a}\right)=\frac{1}{2} a_{1} t_{a}^{2}=\frac{2 v_{2,0}^{2}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{2}}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.7 \times 10^{2} \mathrm{m} \nonumber