4.6: Одновимірна кінематика та інтеграція

Коли прискорення a (t) об'єкта є непостійною функцією часу, ми хотіли б визначити часову залежність функції положення x (t) і x -складової швидкості v (t). Оскільки прискорення непостійне, ми більше не можемо використовувати рівняння (4.4.2) та (4.4.9). Замість цього ми будемо використовувати методи інтеграції для визначення цих функцій.

Зміна швидкості як невизначений інтеграл прискорення

Розглянемо часовий інтервал$t_{1}<t<t_{2}$. Нагадаємо, що за визначенням похідна швидкості$v(t)$ дорівнює прискоренню$a(t)$,

$$\frac{d v(t)}{d t}=a(t) \nonumber$$

Інтеграція визначається як зворотна операція диференціації або «антидеривативна». Для нашого прикладу функція v (t) називається невизначений інтеграл a (t) по відношенню до t, і є унікальною аж до адитивної константи C. Позначимо це записом

$$v(t)+C=\int a(t) d t \label{4.6.2}$$

Символ$\int \ldots d t$ означає «інтеграл, по відношенню до t, з...», і розглядається як d обернена символу$\frac{d}{d t}$... Аналогічно ми можемо записати диференціал$d v(t)=a(t) d t$, dt називається цілим, і тоді Equation\ ref {4.6.2} можна записати як

$$v(t)+C=\int d v(t) \nonumber$$

які ми інтерпретуємо, кажучи, що інтеграл диференціала функції дорівнює функції плюс константа.

Приклад$\PageIndex{1}$: Non-constant Acceleration

Припустимо, об'єкт в момент t = 0 має початкову ненульову швидкість$v_{0}$ і прискорення$a(t)=b t^{2}$, де$b$ є постійною. Тоді

$$d v(t)=b t^{2} d t=d\left(b t^{3} / 3\right). \nonumber$$

Швидкість тоді

$$v(t)+C=\int d\left(b t^{3} / 3\right)=b t^{3} / 3.\nonumber$$

На$t = 0$, у нас є, що$v_{0}+C=0$. Тому$C=-v_{0}$ і швидкість як функція часу тоді

$$v(t)=v_{0}+\left(b t^{3} / 3\right).\nonumber$$

Площа як невизначений інтеграл прискорення

Розглянемо графік додатно-значної функції прискорення$a(t)$ vs. t для інтервалу$t_{1} \leq t \leq t_{2}$, показаного на рис$\PageIndex{1a}$. Позначте площу під графіком$a(t)$ над інтервалом$t_{1} \leq t \leq t_{2}$ по$A_{t_{1}}^{t_{2}}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: (а; ліворуч) Площа під графіком прискорення за інтервал$t_{1} \leq t \leq t_{2}$. (b; праворуч) Теорема проміжного значення. Затінені області вище і нижче кривої мають рівні площі. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Теорема про проміжні значення стверджує, що існує принаймні одноразово$t_{c}$ таке, що площа$A_{t_{1}}^{t_{2}}$ дорівнює

$$A_{t_{1}}^{t_{2}}=a\left(t_{c}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right) \nonumber$$

На малюнку$\PageIndex{1b}$ затінені області над і нижче кривої мають рівні площі, а значить, площа$A_{t_{1}}^{t_{2}}$ під кривою дорівнює площі прямокутника, заданої$a\left(t_{c}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Функція площі є адитивною. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Зараз ми покажемо, що похідна функції площі дорівнює прискоренню і тому ми можемо записати функцію області як невизначений інтеграл. З$\PageIndex{2}$ рисунка функція площі задовольняє умові, що

$$A_{t_{1}}^{t}+A_{t}^{t+\Delta t}=A_{t_{1}}^{t+\Delta t} \nonumber$$

Нехай маленький приріст площі буде позначено$\Delta A_{t_{1}}^{t}=A_{t_{1}}^{t+\Delta t}-A_{t_{1}}^{t}=A_{t}^{t+\Delta t}$. За теоремою проміжних значень $$\Delta A_{t_{1}}^{t}=a\left(t_{c}\right) \Delta t \nonumber$$

де$t \leq t_{c} \leq t+\Delta t$. У межі як$\Delta t \rightarrow 0$

$$\frac{d A_{t_{1}}^{t}}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta A_{t_{1}}^{t}}{\Delta t}=\lim _{t_{c} \rightarrow t} a\left(t_{c}\right)=a(t) \nonumber$$

з початковою умовою, що коли$t=t_{1}$, площа$A_{t_{1}}^{t_{1}}=0$ дорівнює нулю. Оскільки v (t) також є інтегралом a (t), ми маємо що

$$A_{t_{1}}^{t}=\int a(t) d t=v(t)+C \nonumber$$

Коли$t=t_{1}$, площа$A_{t_{1}}^{t_{1}}=0$ дорівнює нулю, отже$v\left(t_{1}\right)+C=0$, і так$C=-v\left(t_{1}\right)$. Тому рівняння (4.6.8) стає

$$A_{t_{1}}^{t}=v(t)-v\left(t_{1}\right)=\int a(t) d t \nonumber$$

Коли ми встановлюємо$t=t_{2}$, Рівняння (4.6.9) стає

$$A_{t_{1}}^{t_{2}}=v\left(t_{2}\right)-v\left(t_{1}\right)=\int a(t) d t \nonumber$$

Площа під графіком додатно-значної функції прискорення для інтервалу$t_{1} \leq t \leq t_{2}$ можна знайти шляхом інтеграції a (t)

Зміна швидкості як визначеного інтеграла прискорення

Нехай a (t) - функція прискорення протягом інтервалу$t_{i} \leq t \leq t_{f}$. Нагадаємо, що швидкість v (t) є інтегралом a (t) тому що$d v(t) / d t=a(t)$. Розділіть проміжок часу$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ на$n$ рівні проміжки часу$\Delta t=\left(t_{f}-t_{i}\right) / n$. Для кожного підінтервалу$\left[t_{j}, t_{j+1}\right]$, де індекс$j=1,2, \ldots, n, t_{1}=t_{i} \text { and } t_{n+1}=t_{f}$, нехай$t_{c_{j}}$ буде час такий, що$t_{j} \leq t_{c_{j}} \leq t_{j+1}$. Нехай

$$S_{n}=\sum_{c}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t \nonumber$$

$S_{n}$сума синього прямокутника, показана на малюнку 4.16a для випадку n = 4. Фундаментальна теорема числення стверджує, що в межі n → ∞ сума дорівнює зміні швидкості протягом інтервалу$\left[t_{i}, t_{f}\right]$

$$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t=v\left(t_{f}\right)-v\left(t_{i}\right) \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{3}$: (а; ліворуч) Графік$a(t)$ vs$t$. (b; праворуч) Графік$a(t)$ проти$t$. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Межа суми в Рівнянні (4.5.12) - це число, яке ми позначимо символом

$$\int_{t_{i}}^{t_{f}} a(t) d t \equiv \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t=v\left(t_{f}\right)-v\left(t_{i}\right) \nonumber$$

і називається певним інтегралом a (t) від$t_{i} to t_{f}$. Часами$t_{i} and t_{f}$ називаються межі інтеграції,$t_{i}$ нижня межа і$t_{f}$ верхня межа. Певний інтеграл - це лінійна карта, яка приймає функцію a (t), визначену за інтервалом,$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ і дає число. Карта лінійна, тому що

$$\int_{0}^{t_{f}}\left(a_{1}(t)+a_{2}(t)\right) d t=\int_{0}^{t_{f}} a_{1}(t) d t+\int_{a_{2}}^{t_{f}}(t) d t \nonumber$$

Припустимо, час$t_{c_{j}}, j=1, \ldots, n$ вибрано таким чином, що кожен$\boldsymbol{t}_{c_{j}}$ задовольняє теоремі проміжних значень,

$$\Delta v_{j} \equiv v\left(t_{j+1}\right)-v\left(t_{j}\right)=\frac{d v\left(t_{c_{j}}\right)}{d t} \Delta t=a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t \nonumber$$

де a (t) - миттєве прискорення при$a\left(t_{c_{j}}\right)$, (рис. 4.16b). Тоді сума змін швидкості cj cj для інтервалу$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ дорівнює

\ [\ почати {масив} {l}
\ sum_ {j=1} ^ {j=n}\ Дельта v_ {j} =\ лівий (v\ лівий (t_ {2}\ правий) -v\ лівий (t_ {1}\ праворуч) +\ лівий (v\ лівий (t_ {3}\ праворуч) -v\ left (t_ {2}\ праворуч)\) +\ cdots+\ ліворуч (v\ ліворуч (t_ {n+1}\ праворуч) -v\ ліворуч (t_ {n}\ праворуч) =v\ ліворуч (t_ {n+1}\ праворуч) -v\ ліворуч (t_ {1}\ праворуч) =v\ ліво (t_ {f}\ праворуч) -v\ ліво (t_ {i}\ праворуч)
\ end {масив}\ nonumber\]

де$v\left(t_{f}\right)=v\left(t_{n+1}\right) \text { and } v\left(t_{i}\right)=v\left(t_{1}\right)$ Заміна рівняння (4.5.15) на Рівняння (4.5.16) дає точний результат, який зміна x -складової швидкості дає ця скінченна сума.

$$v\left(t_{f}\right)-v\left(t_{i}\right)=\sum_{j=1}^{j=n} \Delta v_{j}=\sum_{j=1}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t \nonumber$$

Ми спеціально не знаємо проміжних значень$a\left(t_{c_{j}}\right)$, тому Рівняння (4.5.17) не є корисним як обчислювальний інструмент. Твердження фундаментальної теореми числення полягає в тому, що межа як n → ∞ суми в рівнянні (4.5.12) не залежить від вибору множини$t_{c_{j}}$. Тому точним результатом у Рівнянні (4.5.17) є межа суми.

Таким чином, ми можемо оцінити певний інтеграл, якщо ми знаємо будь-який невизначений інтеграл інтегрованого$a(t) d t=d v(t)$,$\left[t_{i}, t_{f}\right]:$

$$A_{t_{i}}^{t_{f}}=\int_{t_{i}}^{t_{f}} a(t) d t \nonumber$$

На$\PageIndex{3b}$ малюнку червоні області є завищеною, а сині - заниженою. Як$N → ∞$, сума червоних областей і сума синіх областей наближаються до нуля. Якщо є інтервали, в яких a (t) має від'ємні значення, то підсумовування - це сума знакових областей, додатна площа над віссю t і негативна область нижче t -осі.

Ми можемо визначити як зміну швидкості для часового інтервалу, так$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ і площа під графіком a (t) проти t для$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ методами інтеграції замість обмежувальних аргументів. Ми можемо перетворити лінійну карту в функцію часу, замість того, щоб просто дати число, встановивши$t_{f}=t$. У цьому випадку рівняння (4.5.13) стає

$$v(t)-v\left(t_{i}\right)=\int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t} a\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$

Оскільки верхня межа інтеграла$t_{f}=t$, тепер розглядається як змінна, ми будемо використовувати символ t′ як змінну інтеграції замість t

Зсув як певний інтеграл швидкості

Ми можемо повторити той самий аргумент для певного інтеграла x -складової швидкості v (t) проти часу t. Оскільки x (t) є інтегралом v (t), певний інтеграл v (t) для часового інтервалу$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ є зміщенням $$x\left(t_{f}\right)-x\left(t_{i}\right)=\int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t_{f}} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$ Якщо встановити$t_{f}=t$, то певний інтеграл дає нам позицію як функцію часу $$x(t)=x\left(t_{i}\right)+\int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$ Підсумовуючи результати цих двох останніх розділів, для заданого прискорення a (t), ми можемо використовувати методи інтеграції, для визначення зміни швидкості та зміни положення за інтервал$\left[t_{i}, t\right]$, а за умови початкових умов$\left(x_{i}, v_{i}\right)$ ми можемо визначити положення x (t) та x-складову швидкості v (t) як функції часу.

Приклад$\PageIndex{2}$: Non-constant Acceleration

Розглянемо випадок, в якому прискорення$a(t)$, не є постійним за часом,

$$a(t)=b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2} \nonumber$$

Графік х -складової прискорення vs. часу показаний на рис$\PageIndex{4}$.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Непостійне прискорення проти часового графіка. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Позначимо початкову швидкість при t = 0 по$v_{0}$. Потім зміну x -складової швидкості як функції часу можна знайти шляхом інтеграції:

$$v(t)-v_{0}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t} a\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t}\left(b_{0}+b_{1} t^{\prime}+b_{2} t^{\prime 2}\right) d t^{\prime}=b_{0} t+\frac{b_{1} t^{2}}{2}+\frac{b_{2} t^{3}}{3} \nonumber$$

x -складова швидкості як функція у часі тоді

$$v(t)=v_{0}+b_{0} t+\frac{b_{1} t^{2}}{2}+\frac{b_{2} t^{3}}{3} \nonumber$$ Позначимо початкове положення при t = 0 по$x_{0}$. Зсув як функція часу $$x(t)-x_{0}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$

Використовуйте рівняння (4.5.27) для x-складової швидкості в Рівнянні (4.5.24), а потім інтегруйте для визначення зміщення як функції часу:

$$x(t)-x_{0}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} =\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t}\left(v_{0}+b_{0} t^{\prime}+\frac{b_{1} t^{\prime 2}}{2}+\frac{b_{2} t^{\prime 3}}{3}\right) d t^{\prime}=v_{0} t+\frac{b_{0} t^{2}}{2}+\frac{b_{1} t^{3}}{6}+\frac{b_{2} t^{4}}{12} \nonumber$$

Нарешті, позиція як функція часу тоді $$x(t)=x_{0}+v_{x, 0} t+\frac{b_{0} t^{2}}{2}+\frac{b_{1} t^{3}}{6}+\frac{b_{2} t^{4}}{12} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$: Bicycle and Car

Автомобіль їде через зелене світло при t = 0, розташованому при x = 0 з початковою швидкістю$v_{c, 0}=12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$. Вчасно автомобіль починає гальмувати$t_{1}=1 \mathrm{s}$, поки не прийде в спокій вчасно$t_{2}$. Прискорення автомобіля як функція часу задається кусковою функцією

\ [a_ {c} (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
0;\ квадрад 0<t<t_ {1} =1\ mathrm {s}\\
b\ ліворуч (t_ {1}\ праворуч); 1\ mathrm {s} <t<t_ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ nonumber\] де b = − (6 м ⋅с).

1. Знайти х -складову швидкості і положення автомобіля в залежності від часу.
2. Велосипедист їде з постійною швидкістю$\mathcal{V}_{b, 0}$ і при t = 0 знаходиться на 17 м позаду автомобіля. Велосипедист добирається до машини, коли машина тільки приходить відпочивати. Знайти швидкість велосипеда.

Рішення

а) Для того, щоб застосувати Рівняння (4.5.19), ми розглянемо кожен етап окремо. Для часового інтервалу$0<t<t_{1}$ прискорення дорівнює нулю, тому х -складова швидкості є постійною. Для другого часового інтервалу$\mathrm{t}_{1}<t<t_{2}$ певним інтегралом стає

$$v_{c}(t)-v_{c}\left(t_{1}\right)=\int_{t^{\prime}=t_{1}}^{t^{\prime}=t} b\left(t^{\prime}-t_{1}\right) d t^{\prime} \nonumber$$ $v_{c}\left(t_{1}\right)=v_{c 0}$Тому що х -складова швидкості тоді\ [v_ {c} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
v_ {c 0};\ quad 0<t\ leq t_ {1}\
v_ {c 0} +\ int_ {t^ {\ prime} =t_ {1}} ^ {t^ {\ prime}} ^ {t^ {\ prime}} ^ {\ prime}} ^ {t^ {\ prime}} (t^ {\ прайм} -t_ {1}\ право) d t^ {\ прайм}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end { масив}\ праворуч. \ nonumber\] Інтегрувати та підставляти дві кінцеві точки певного інтеграла, дає\ [v_ {c} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
v_ {c 0}; & 0<t\ leq
t_ {1}\ v_ {c 0} +\ frac {1} {2} b\ leq {1}\ праворуч ^ {2}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Для того, щоб використовувати Equation (4.5.25), нам потрібно розділити певний інтеграл на два інтеграли, що відповідають двом етапам руху, використовуючи правильний вираз для швидкості для кожного інтеграла. Функція положення тоді

\ [x_ {c} (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {l}
x_ {c 0} +\ int_ {t=0} ^ {t^ {\ прайм} t_ {1}} v_ {c 0} d t^ {\ прайм};\ квад 0<t\ leq t_ {1}\
x_ {c}\ ліворуч (t_ {1}\ праворуч) +\ int_ {t^ {\ прайм} =t_ {1}} ^ {\ правий}\ лівий (v_ {c 0} +\ frac {1} {2} b\ лівий (t^ {\ правий} -t_ {1}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч) d t; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Після інтеграції ми маємо

\ [x_ {c} (t) =\ ліворуч. \ ліворуч\ {\ почати {масив} {ll}
x_ {c} (0) +v_ {c 0} t; & 0<t\ leq t_ {1}\ x_ {c}\ лівий (t_ {1}\ праворуч) +\ лівий (v_ {c 0}\ лівий (t^ {\ правий} -t_ {1}\ праворуч) +\ frac {1} {6} b\ ліворуч (t^ {\ prime} -t_ {1}\ праворуч) ^ {3}\ праворуч.
\ end {масив}\ право)\ праворуч |_ {t=t_ {1}} ^ {t^ {\ прайм} =т}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}\ nonumber\]

Ми вибрали нашу систему координат таким чином, щоб початкове положення автомобіля було на початку,$x_{c 0}=0, \text { therefore } x_{c}\left(t_{1}\right)=v_{c 0} t_{1}$ Так що після підстановки в кінцевих точках інтервалу інтеграції ми маємо що

\ [x_ {c} (t) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
v_ {c 0} t; & 0<t\ leq t_ {1}\\ v_ {c 0} t_ {1} +v_ {c 0}\ лівий (t_ {1}\ праворуч) +\ frac {1} {6} b\ ліворуч (t_ {1}}\ право) ^ {3}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

(б) Шукаємо момент$t_{2}$, коли машина приїхала відпочивати. Таким чином, ми використовуємо наш вираз для x-складової швидкості інтервал$t_{1} \leq t<t_{2}$, де ми встановлюємо$t=t_{2}$ і$v_{c}\left(t_{2}\right)=0$.

$$0=v_{c}\left(t_{2}\right)=v_{c 0}+\frac{1}{2} b\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2} \nonumber$$

Рішення для$t_{2}$ врожайності

$$t_{2}=t_{1}+\sqrt{-\frac{2 v_{c 0}}{b}} \nonumber$$

де ми взяли позитивний квадратний корінь. Підставляємо задані значення, потім дає

$$t_{2}=1 \mathrm{s}+\sqrt{-\frac{2\left(12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)}{\left(-6 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3}\right)}}=3 \mathrm{s} \nonumber$$

Положення автомобіля при цьому$t_{2}$ задається

\ [\ begin {масив} {l}
x_ {c}\ ліворуч (t_ {2}\ праворуч) =v_ {c 0} t_ {1} +v_ {c 0}\ ліворуч (t_ {2} -t_ {1}\ праворуч) +\ frac {1} {1} {6} b\ ліворуч (t_ {2} -t_ {1}\ праворуч) +\ frac {1} {3} b\ ліворуч (t_ {2} -t_ {1}\ праворуч) ^ {3}\\
x_ {c}\ ліворуч (t_ {2}\ праворуч) =v_ {c 0} t_ {1} +v_ {c 0}\ sqrt {-2 v_ {c 0}/b} +\ frac {1} {6} b\ ліворуч (-2 v_ {c 0}/b\ праворуч) ^ {3/2}\\ x_ {c}\ ліворуч (-2 v_ {c 0}/b\ праворуч) ^ {3/2}\\
x_ {c}\\ c}\ ліворуч (-2) _ {2 }\ праворуч) =v_ {c 0} t_ {1} +\ frac {2\ sqrt {2}\ ліворуч (v_ {c 0} ^ {3/2}\ праворуч)} {3 (-b) ^ {1/2}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

де ми використовували умову, що$t_{2}-t_{1}=\sqrt{-2 v_{c 0} / b}$. Підставляємо задані значення, потім дає

$$x_{c}\left(t_{2}\right)=v_{c 0} t_{1}+2 \frac{4 \sqrt{2}\left(v_{c 0}\right)^{3 / 2}}{3(-b)^{1 / 2}}=\left(12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)(1 \mathrm{s})+\frac{4 \sqrt{2}\left(\left(12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{3 / 2}\right.}{3\left(\left(6 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3}\right)\right)^{1 / 2}}=28 \mathrm{m} \nonumber$$

б) Оскільки велосипед рухається з постійною швидкістю з початковим положенням = −17 м, положення велосипеда задається$x_{b}(t)=-17 \mathrm{m}+v_{b} t$. Велосипед і$b_{0}$ автомобіль перетинаються за часом$t_{2}$ = 3 с, де$x_{b}\left(t_{2}\right)=x_{c}\left(t_{2}\right)$. Тому$-17 \mathrm{m}+v_{b}(3 \mathrm{s})=28 \mathrm{m}$. Так і швидкість велосипеда є$v_{b}=15 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$.