4.3: Швидкість

При описі руху об'єктів в природній мові вживаються такі слова, як «швидкість» і «швидкість», однак при введенні математичного опису руху нам потрібно точно визначити ці терміни. Наша процедура буде полягати у визначенні середніх величин для кінцевих інтервалів часу, а потім вивчити, що відбувається в межі, оскільки часовий інтервал стає нескінченно малим. Це призведе нас до математичного поняття про те, що швидкість в одну мить часу є похідною від позиції щодо часу.

Середня швидкість

Х -складова середньої швидкості, V _{x, ave,} для часового інтервалу Δ t визначається як зміщення Δ x, поділене на часовий інтервал Δ t,

$$v_{x, a v e} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t} \nonumber$$

Оскільки ми описуємо одновимірний рух, ми скинемо індекс x і позначимо $$v_{a v e}=v_{x, a v e} \nonumber$$ Коли ми введемо двовимірний рух, ми будемо розрізняти компоненти швидкості за індексами. Середня швидкість тоді

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{a v e} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}=v_{a v e} \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Одиницями СІ для середньої швидкості є метри в секунду [m⋅ s ^-1]. Середня швидкість необов'язково дорівнює відстані в проміжку часу Δ t пройденому поділеному на проміжок часу Δ t. Наприклад, протягом часового інтервалу об'єкт рухається в додатному напрямку x і потім повертається в початкове положення, зміщення об'єкта дорівнює нулю, але пройдена відстань - ненульова.

Миттєва швидкість

Розглянемо тіло, що рухається в одному напрямку. Протягом часового інтервалу [t, t + Δ t] середня швидкість відповідає нахилу лінії, що з'єднує точки (t, x (t)) і (t +Δ t, x (t + Δ t)). Нахил, підйом над пробігом, - це зміна положення, розділене на зміну часу, і дається

$$v_{a v e} \equiv \frac{\operatorname{rise}}{\operatorname{run}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \nonumber$$

Як Δ t → 0, нахил ліній, що з'єднують точки (t, x (t)) і (t + Δ t, x (t + Δ t)), наближення нахилу дотичної прямої до графіка функції x (t ) в момент t (рис.$\PageIndex{1}$).

Рисунок$\PageIndex{1}$: Графік позиції проти часу, що показує дотичну лінію за час t. (CC BY-NC; Відповідальний)

Граничне значення цієї послідовності визначається як х -складова миттєвої швидкості в момент часу$t$.

Х -складова миттєвої швидкості в момент t задається нахилом дотичної прямої до графіка функції положення в момент t:

$$v(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} v_{a v e}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \equiv \frac{d x}{d t} \nonumber$$

Миттєвий вектор швидкості тоді $$\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=v(t) \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$ Складова швидкості v (t) може бути позитивним, нульовим або негативним, залежно від того, чи рухається об'єкт у додатному напрямку x, миттєво у спокої або негативному напрямку x.

Приклад$\PageIndex{1}$: Determining Velocity from Position

Розглянемо об'єкт, який рухається вздовж осі x -координат з функцією позиції, заданою $$x(t)=x_{0}+\frac{1}{2} b t^{2} \nonumber$$ де x ₀ - початкове положення об'єкта при t = 0. Ми можемо явно обчислити х - складову миттєвої швидкості з Рівняння (4.3.5), попередньо обчисливши зміщення у напрямку x, Δ x = x (t + Δ t) − x (t). Нам потрібно обчислити позицію в момент t + Δ t,

$$x(t+\Delta t)=x_{0}+\frac{1}{2} b(t+\Delta t)^{2}=x_{0}+\frac{1}{2} b\left(t^{2}+2 t \Delta t+\Delta t^{2}\right) \nonumber$$

Тоді х-складова миттєвої швидкості дорівнює

$$v(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+\frac{1}{2} b\left(t^{2}+2 t \Delta t+\Delta t^{2}\right)\right)-\left(x_{0}+\frac{1}{2} b t^{2}\right)}{\Delta t} \nonumber$$

Цей вислів зводиться до

$$v(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(b t+\frac{1}{2} b \Delta t\right) \nonumber$$

Перший член не залежить від інтервалу Δ t, а другий член зникає, оскільки в межі, як Δ t → 0, член (1/ 2) b Δ t → 0 дорівнює нулю. Тому x -складова миттєвої швидкості $$v(t)=b t \nonumber$$ в момент t є На малюнку$\PageIndex{2}$ ми будуємо миттєву швидкість$v(t)$, як функцію часу$t$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Графік миттєвої швидкості в залежності від часу. (CC BY-NC; Відповідальний)

Приклад$\PageIndex{2}$: Mean Value Theorem

Розглянемо об'єкт, який рухається вздовж осі x -координат з функцією позиції, заданою

$$x(t)=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} b t^{2}. \nonumber$$

Графік$x(t)$ vs.$t$ показаний на рис$\PageIndex{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Теорема проміжних значень. (CC BY-NC; Відповідальний)

Х -складова миттєвої швидкості дорівнює

$$v(t)=\frac{d x(t)}{d t}=v_{0}+b t \nonumber$$

Для часового$[t_i ,t_f]$ проміжку зміщення об'єкта дорівнює

$$x\left(t_{f}\right)-x\left(t_{i}\right)=\Delta x=v_{0}\left(t_{f}-t_{i}\right)+\frac{1}{2} b\left(t_{f}^{2}-t_{i}^{2}\right)=v_{0}\left(t_{f}-t_{i}\right)+\frac{1}{2} b\left(t_{f}-t_{i}\right)\left(t_{f}+t_{i}\right) \nonumber$$

Нагадаємо, що х -складова середньої швидкості визначається умовою, що $$\Delta x=v_{a v e}\left(t_{f}-t_{i}\right) \nonumber$$ Ми можемо визначити середню швидкість шляхом підстановки Рівняння (4.3.15) в Рівняння (4.3.14), що дає

$$v_{a v e}=v_{0}+\frac{1}{2} b\left(t_{f}+t_{i}\right) \nonumber$$

Теорема про середнє значення з числення стверджує, що існує момент часу t ₁, з t _i < t ₁ < t _f, такий, що х -складова миттєвої швидкості, v (t ₁), задовольняє

$$\Delta x=v\left(t_{1}\right)\left(t_{f}-t_{i}\right) \nonumber$$

Геометрично це означає, що нахил прямої (синя лінія на рис.$\PageIndex{2}$), що з'єднує точки (t _i, _{x (t i})) до (t _{f, x (t f})) дорівнює нахилу дотичної лінії (Червона лінія на рис. 4.6) до графіка x (t) проти t в точці (t ₁, x (t ₁)) (рис. 4.6),

$$v\left(t_{1}\right)=v_{a v e} \nonumber$$

Ми знаємо з рівняння (4.3.13), що

$$v\left(t_{1}\right)=v_{0}+b t_{1} \nonumber$$

Ми можемо розв'язати за час t ₁ шляхом підстановки рівнянь (4.3.19) та (4.3.16) на рівняння (4.3.18), що дають

$$t_{1}=\left(t_{f}+t_{i}\right) / 2 \nonumber$$

Це проміжне значення v (t ₁) також дорівнює половині суми початкової швидкості і кінцевої швидкості

$$v\left(t_{1}\right)=\frac{v\left(t_{i}\right)+v\left(t_{f}\right)}{2}=\frac{\left(v_{0}+b t_{i}\right)+\left(v_{0}+b t_{f}\right)}{2}=v_{0}+\frac{1}{2} b\left(t_{f}+t_{i}\right)=v_{0}+b t_{1} \nonumber$$

Для будь-якого часового інтервалу величина$\left(v\left(t_{i}\right)+v\left(t_{f}\right)\right) / 2$ - це середнє арифметичне початкової швидкості і кінцевої швидкості (але, на жаль, також іноді називають середньою швидкістю). Середня швидкість, яку ми визначили як$v_{a v e}=\left(x_{f}-x_{i}\right) / \Delta t$, і середнє арифметичне$\left(v\left(t_{i}\right)+v\left(t_{f}\right)\right) / 2$, рівні лише в окремому випадку, коли швидкість є лінійною функцією у змінній t як у цьому прикладі (Equation (4.3.13)). Ми будемо використовувати лише термін середня швидкість, щоб означати зміщення, розділене на часовий інтервал.