Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

18.2: Затухаючий керований осцилятор

Лінійний демпфірованний керований генератор:

\ begin {рівняння}
\ ddot {x} +2\ лямбда\ точка {x} +\ омега_ {0} ^ {2} x =( f/м) e^ {i\ Omega t}
\ end {рівняння}

(Після позначення Ландау тут - зверніть увагу, що це означає, що фактична сила тертя є2λm˙x)

Дивлячись поблизу резонансу для розв'язків сталого стану на рушійній частоті, з амплітудоюb, фазовим відставаннямδ, тобто

x(t)=bei(Ωt+δ), знаходимо

\ begin {рівняння}
b e^ {i\ дельта}\ ліво (-\ Омега^ {2} +2 i\ лямбда\ Омега+\ омега_ {0} ^ {2}\ праворуч) =( f/m)
\ end {рівняння}

Для майже резонансної частоти водінняΩ=ω0+ε, і припускаючи, що демпфування буде досить малим, що ми можемо скинутиελ термін разом зε2, провідні терміни порядку дають

\ begin {рівняння}
b e^ {i\ дельта} =-f/2 м (\ варепсилон-i\ лямбда)\ omega_ {0}
\ end {рівняння}

тому реакція, залежність амплітуди коливань від частоти, до цієї точності

\ почати {рівняння}
b=\ frac {f} {2 м\ омега_ {0}\ sqrt {\ ліворуч (\ Омега-\ омега_ {0}\ праворуч) ^ {2} +\ лямбда-^ {2}} =\ frac {f} {2 м\ омега_ {0}\ sqrt {\ varepsilon^ {2} +\ лямбда ^ {2}}}
\ end {рівняння}

(Ми також можемо відзначити, що резонансна частота сама по собі знижується демпфуванням, але це ще один ефект другого порядку, який ми ігноруємо тут.)

clipboard_e0dd1a5c32347d3b9cb32c54a937c497c.png

Швидкість поглинання енергії дорівнює втраті на тертя. Сила тертя2λm˙x на масу, що˙x рухається при, робить роботу зі швидкістю:

\ begin {рівняння}
2\ лямбда м\ точка {\ точка {x}} ^ {2} =\ лямбда м b^ {2}\ Омега^ {2}
\ end {рівняння}

Половина ширини резонансної кривої як функція рушійної частотиΩ задається демпфуванням. Загальна площа під кривою не залежить від демпфування.

Для подальшого використання ми напишемо вищевказане рівняння для амплітуди як

b2(ε2+λ2)=f24m2ω20