Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

18: Керований осцилятор

Майкл Фаулер (уважно слідуючи Ландау, пункт 22)

Розглянемо одновимірний простий гармонічний генератор зі змінною зовнішньою силою, що діє, тому рівняння руху

¨x+ω2x=F(t)/m

який походить від Лагранжа

L=12m˙x212kx2+xF(t)

(Ландау «виводить» це як непостійний термін провідного порядку в залежному від часу зовнішньому потенціалі.)

Загальним рішенням диференціального рівняння єx=x0+x1, where x0=acos(ωt+α), рішення однорідного рівняння, іx1 є деяким особливим інтегралом неоднорідного рівняння.

Важливим випадком є періодична рушійна силаF(t)=fcos(γt+β). Пробне рішенняx1(t)=bcos(γt+β) yields b=f/m(ω2γ2) so 

x(t)=acos(ωt+α)+fm(ω2γ2)cos(γt+β)

Але що відбувається, колиγ=ω? Щоб дізнатися, візьміть частину першого рішення в друге, тобто

x(t)=acos(ωt+α)+fm(ω2γ2)[cos(γt+β)cos(ωt+β)]

Другий термін тепер переходить до0/0 as γω, так стає співвідношення його перших похідних по відношенню доω (або, еквівалентно,γ).

x(t)=acos(ωt+α)+f2mωtsin(ωt+β)

Амплітуда коливань з часом лінійно зростає. Очевидно, що ця теорія малих коливань врешті-решт зазнає краху.

Але що робити, якщо частота зовнішньої сили трохи відключена від резонансу?

Тоді (реальна частина зрозуміла)

x=Aeiωt+Bei(ω+ε)t=(A+Beiεt)eiωt,A=aeiα,B=beiβ

зa,b,α,β реальними.

Амплітуда хвилі в квадраті

C2=|A+Beiεt|2=a2+b2+2abcos(εt+βα)

Ми бачимо удари, з частотою ударівε. Зверніть увагу, що якщо генератор починається з початкуx(t=0)=0, тоA+B=0 і амплітуда періодично йде до нуля, це, очевидно, відбувається тільки тоді, коли|A|=|B|.

Енергія обмінюється вперед і назад з рушійною зовнішньою силою.