18: Керований осцилятор

Майкл Фаулер (уважно слідуючи Ландау, пункт 22)

Розглянемо одновимірний простий гармонічний генератор зі змінною зовнішньою силою, що діє, тому рівняння руху

\(\ddot{x}+\omega^{2} x=F(t) / m\)

який походить від Лагранжа

\(L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} k x^{2}+x F(t)\)

(Ландау «виводить» це як непостійний термін провідного порядку в залежному від часу зовнішньому потенціалі.)

Загальним рішенням диференціального рівняння є\(x=x_{0}+x_{1}, \text { where } x_{0}=a \cos (\omega t+\alpha)\), рішення однорідного рівняння, і\(x_{1}\) є деяким особливим інтегралом неоднорідного рівняння.

Важливим випадком є періодична рушійна сила\(F(t)=f \cos (\gamma t+\beta)\). Пробне рішення\(x_{1}(t)=b \cos (\gamma t+\beta) \text { yields } b=f / m\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right) \text { so }\)

\(x(t)=a \cos (\omega t+\alpha)+\frac{f}{m\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right)} \cos (\gamma t+\beta)\)

Але що відбувається, коли\(\gamma=\omega ?\) Щоб дізнатися, візьміть частину першого рішення в друге, тобто

\(x(t)=a^{\prime} \cos \left(\omega t+\alpha^{\prime}\right)+\frac{f}{m\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right)}[\cos (\gamma t+\beta)-\cos (\omega t+\beta)]\)

Другий термін тепер переходить до\(0 / 0 \text { as } \gamma \rightarrow \omega\), так стає співвідношення його перших похідних по відношенню до\(\omega\) (або, еквівалентно,\(\gamma\)).

\(x(t)=a^{\prime} \cos \left(\omega t+\alpha^{\prime}\right)+\frac{f}{2 m \omega} t \sin (\omega t+\beta)\)

Амплітуда коливань з часом лінійно зростає. Очевидно, що ця теорія малих коливань врешті-решт зазнає краху.

Але що робити, якщо частота зовнішньої сили трохи відключена від резонансу?

Тоді (реальна частина зрозуміла)

\(x=A e^{i \omega t}+B e^{i(\omega+\varepsilon) t}=\left(A+B e^{i \varepsilon t}\right) e^{i \omega t}, \quad A=a e^{i \alpha}, \quad B=b e^{i \beta}\)

з\(a, b, \alpha, \beta\) реальними.

Амплітуда хвилі в квадраті

\(C^{2}=\left|A+B e^{i \varepsilon t}\right|^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b \cos (\varepsilon t+\beta-\alpha)\)

Ми бачимо удари, з частотою ударів\(\varepsilon\). Зверніть увагу, що якщо генератор починається з початку\(x(t=0)=0\), то\(A+B=0\) і амплітуда періодично йде до нуля, це, очевидно, відбувається тільки тоді, коли\(|A|=|B|\).

Енергія обмінюється вперед і назад з рушійною зовнішньою силою.