18: Керований осцилятор
Майкл Фаулер (уважно слідуючи Ландау, пункт 22)
Розглянемо одновимірний простий гармонічний генератор зі змінною зовнішньою силою, що діє, тому рівняння руху
¨x+ω2x=F(t)/m
який походить від Лагранжа
L=12m˙x2−12kx2+xF(t)
(Ландау «виводить» це як непостійний термін провідного порядку в залежному від часу зовнішньому потенціалі.)
Загальним рішенням диференціального рівняння єx=x0+x1, where x0=acos(ωt+α), рішення однорідного рівняння, іx1 є деяким особливим інтегралом неоднорідного рівняння.
Важливим випадком є періодична рушійна силаF(t)=fcos(γt+β). Пробне рішенняx1(t)=bcos(γt+β) yields b=f/m(ω2−γ2) so
x(t)=acos(ωt+α)+fm(ω2−γ2)cos(γt+β)
Але що відбувається, колиγ=ω? Щоб дізнатися, візьміть частину першого рішення в друге, тобто
x(t)=a′cos(ωt+α′)+fm(ω2−γ2)[cos(γt+β)−cos(ωt+β)]
Другий термін тепер переходить до0/0 as γ→ω, так стає співвідношення його перших похідних по відношенню доω (або, еквівалентно,γ).
x(t)=a′cos(ωt+α′)+f2mωtsin(ωt+β)
Амплітуда коливань з часом лінійно зростає. Очевидно, що ця теорія малих коливань врешті-решт зазнає краху.
Але що робити, якщо частота зовнішньої сили трохи відключена від резонансу?
Тоді (реальна частина зрозуміла)
x=Aeiωt+Bei(ω+ε)t=(A+Beiεt)eiωt,A=aeiα,B=beiβ
зa,b,α,β реальними.
Амплітуда хвилі в квадраті
C2=|A+Beiεt|2=a2+b2+2abcos(εt+β−α)
Ми бачимо удари, з частотою ударівε. Зверніть увагу, що якщо генератор починається з початкуx(t=0)=0, тоA+B=0 і амплітуда періодично йде до нуля, це, очевидно, відбувається тільки тоді, коли|A|=|B|.
Енергія обмінюється вперед і назад з рушійною зовнішньою силою.