Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

18.1: Більш загальний енергетичний обмін

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75147

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми виведемо формулу для енергії, що подається в осцилятор за допомогою довільної зовнішньої сили, залежної від часу.

    Рівняння руху можна записати

    \(\frac{d}{d t}(\dot{x}+i \omega x)-i \omega(\dot{x}+i \omega x)=\frac{1}{m} F(t)\)

    і\(\xi=\dot{x}+i \omega x\) визначаючи, це

    \(d \xi / d t-i \omega \xi=F(t) / m\)

    Це рівняння першого порядку інтегрується в

    \(\xi(t)=e^{i \omega t}\left(\int_{0}^{t} \frac{1}{m} F\left(t^{\prime}\right) e^{-i \omega t^{\prime}} d t^{\prime}+\xi_{0}\right)\)

    Енергія осцилятора дорівнює

    \(E=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\omega^{2} x^{2}\right)=\frac{1}{2} m|\xi|^{2}\)

    Так що, якщо ми керуємо осцилятором протягом усього часу, з початковою енергією нуль,

    \(E=\frac{1}{2 m}\left|\int_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{-i \omega t} d t\right|^{2}\)

    Це еквівалентно результату квантової механічної теорії збурень, залежного від часу:\(\xi, \xi^{*}\) еквівалентні операторам анігіляції та створення.