17.5: Три з'єднані маятники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 17.4: Принцип суперпозиції
- 17.6: Нормальні координати

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Давайте тепер перейдемо до випадку трьох рівних мас з'єднаних маятників, середній один з'єднаний з двома іншими, але вони не пов'язані один з одним.

Лагранж - це

\ begin {рівняння}
L=\ розриву {1} {2} м\ ell^ {2}\ точка {\ тета} _ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ точка {2} ^ {2} ^ {2} +\ гідророзриву {1} {2} м\ ell^ {2}\ точка {2}\ тета} _ {3} ^ {2} -\ фракція {1} {2} м г\ ell\ тета_ {1} ^ {2} -\ фракція {1} {2} м г\ ell\ theta_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2} m g\ ell\ theta_ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2} {2} C\ left (\ тета_ {1} -\ тета_ {2} \ праворуч) ^ {2} -\ frac {1} {2} C\ ліворуч (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ праворуч) ^ {2}
\ end {рівняння}

Покладання $\omega_{0}^{2}=g / \ell, \quad k=C / m \ell^{2}$

\ (\ почати {рівняння}
L=\ гідророзриву {1} {2}\ точка {\ тета} _ {1} ^ {2} +\ гідророзриву {1} {2}\ точка {\ тета} _ {2} ^ {2} +\ frac {1} {2}\ точка {\ тета} _ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ omega_ {0} ^ {2}\ тета_ {1} ^ {2} -\ розриву {1} {2}\ омега_ {0} ^ {2}\ тета_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ омега_ {0} ^ {2}\ theta_ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2} {2} ліворуч (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ праворуч) ^ {2} -\ гідророзриву {1} {2} k\ ліворуч (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ праворуч) ^ {2}
\ end {рівняння}\)

Рівняння руху є

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
\ ddot {\ тета} _ {1} =-\ омега_ {0} ^ {2}\ тета_ {1} -k\ ліворуч (\ тета_ {1} -\ тета_ {2}\ справа)
\\ ddot {\ тета} _ {2} =-\ омега_ {0} ^ {2}\ тета_ {2} -k\ лівий (\ тета_ {2} -\ тета_ {1}\ вправо) -k\ лівий (\ тета_ {2} -\ тета_ {3}\ справа)\
\ ddot {\ тета} _ {3 } =-\ омега_ {0} ^ {2}\ тета_ {3} -k\ left (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ праворуч)
\ end {масив}
\ end {рівняння}

Поставивши $\theta_{i}(t)=A_{i} e^{i \omega t}$ , рівняння можна записати в матричному вигляді

\ почати {рівняння}
\ лівий (\ почати {масив} {ccc}
\ омега_ {0} ^ {2} +k & -k & 0\\
-k &\\ омега_ {0} ^ {0} ^ {0} +k\ end {масив}\
праворуч) =\ омега_ {0} ^ {2} +k
\ end {масив}\ праворуч) =\ омега_ {0} ^ {2} 2}\ ліворуч (\ begin {масив} {CCC}
1 & 0 & підсилювач; 0\\
0 & 1\ 0\
0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч) +k\ лівий (\ begin {масив} {ccc}
1 &
-1 & 0\ -1 & 1\\
0 & -1 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець { рівняння}

Нормальні режими коливання задаються власнимистанами цієї другої матриці.

Єдиний очевидний нормальний режим - це всі маятники, що розгойдуються разом, на початковій частоті $\omega_{0}$ , тому пружини залишаються на решті довжини і не грають ніякої ролі. Для цього режиму, очевидно, друга матриця має нульове значення, а власні вектори (1,1,1).

Повне рівняння власних значень

\ begin {рівняння}
\ left|\ begin {масив} {ccc}
1-\ лямбда &
-1 & 0\\ -1 & 2-\ лямбда & -1\\
0 & -1 & 1-\ лямбда
\ кінець {масив}\ right|= 0
\ кінець {рівняння}

тобто,

\ begin {рівняння}
(1-\ лямбда) ^ {2} (2-\ лямбда) -2 (1-\ лямбда) =0 =( 1-\ лямбда) [(1-\ лямбда) (2-\ лямбда) -2] =( 1-\ лямбда)\ ліво (\ лямбда ^ {2} -3\ лямбда\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

так що власні значення $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=3$ , з частотами

\ почати {рівняння}
\ омега_ {1} ^ {2} =\ омега_ {0} ^ {2},\ омега_ {2} ^ {2} =\ омега_ {0} ^ {2} +k,\ омега_ {3} ^ {2} =\ омега_ {0} ^ {2} ^ {2} +3 k
\ кінець {рівняння}

Нормальний режим задовольняє власні вектори

\ begin {рівняння}
\ left (\ begin {масив} {ccc}
1-\ лямбда & -1 & 0\\
-1 & 2-\ лямбда & -1\\
0 & -1 & 1-\ лямбда
\ кінець {масив}\ вправо)\ ліворуч (\ begin {масив} {c} {c}
A_ {1}\
A_ {2}\ A_ {2}\
A_ {3}
\ end {масив}\ праворуч) =0
\ end {рівняння}

Вони є $(1,1,1) / \sqrt{3}, \quad(1,0,-1) / \sqrt{2}, \quad(1,-2,1) / \sqrt{6}$ , нормалізуючи їх до єдності.

Рівняння руху лінійні, тому загальним рішенням є накладання нормальних режимів:

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ begin {масив} {c}
\ theta_ {1}
\\ theta_ {2}
\\ theta_ {3}
\ кінець {масив}\ праворуч) =\ frac {1} {\ sqrt {3}}\ лівий (\ begin {масив} {c}

1\\
1
\ кінець {масив}\ праворуч)\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (C_ {1} e^ {i\ omega_ {1} t}\ справа) +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {масив} {c}
1\\\

-1
\ end {масив}\ право)\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (C_ {2} e^ {i\ omega_ {2} t}\ праворуч) +\ frac {1} {\ sqrt {6}}\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
1\\
-2\\
1
\ end {масив}\ праворуч)\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (C_ {3} e^ {i\ omega_ {3} t}\ праворуч)
\ end {рівняння}