Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.4: Принцип суперпозиції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75644

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівняння руху - це лінійні рівняння, тобто якщо помножити рішення на константу, це все одно рішення, і якщо у вас є два різні рішення рівняння, сума двох також є рішенням. Це називається принципом суперпозиції.

    Таким чином, загальний рух системи

    \ begin {рівняння}
    \ почати {масив} {л}
    \ тета_ {1} (t) =А е^ {i\ омега_ {0} т} +Б е^ {i\ sqrt {\ омега_ {0} ^ {2} +2 к} т}\
    \ тета_ {2} (t) =A e^ {i\ omega_ {0} t} -B ^ {i\ sqrt {\ омега_ {0} ^ {2} +2 k} t}
    \ кінець {масив}
    \ кінець {рівняння}

    де розуміється, що A, B - комплексні числа, а фізичний рух - дійсна частина.

    Це чотирипараметричне рішення: початкові положення і швидкості можна задавати довільно, повністю визначаючи рух.

    Вправа: починайте з одного маятника прямо вниз, інший зміщений, обидва на мить в спокої. Знайдіть значення для A, B і опишіть подальший рух.

    Рішення: На\(t=0\), маятники знаходяться в\(A \pm B . \text { Take } A=B=1\). Це також забезпечує нульові початкові швидкості, оскільки фізичні параметри є реальними частинами комплексного рішення, а в початковий момент похідні є чистими уявними.

    Рішенням для руху першого маятника є

    \ begin {рівняння}
    \ тета_ {1} (t) =\ cos\ омега_ {0} t+\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} +2 к\ вправо) ^ {\ frac {1} {2}} t=2\ cos\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} праворуч) ^ {\ frac {1} {2}} +\ омега_ {0}\ праворуч) t\ cos\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} +2 k\ праворуч) ^ {\ frac {1} {2}} -\ omega_ {0}\ праворуч) t
    \ кінець {рівняння}

    і для малих\(k\),

    \ begin {рівняння}
    \ тета_ {1} (t)\ cong 2\ cos\ omega_ {0} t\ cos\ left (k/\ omega_ {0}\ праворуч) t
    \ end {рівняння}

    Тут маятник коливається приблизно\(\omega_{0}\), але другий член встановлює загальну амплітуду коливань: вона повільно змінюється, періодично збирається до нуля (в цей момент інший маятник має максимальну кінетичну енергію).

    Подумати про: Що станеться, якщо вони мають різні маси? Чи ми все ще отримуємо ці удари - чи може більший маятник передати всю свою кінетичну енергію меншій?

    Вправа: спробуйте маятники різної довжини, підвішені так боби знаходяться на одному рівні, мала амплітуда коливань, така ж пружина, як вище.