17.6: Нормальні координати

Ландау пише$Q_{\alpha}=\operatorname{Re} C_{\alpha} e^{i \omega_{\alpha} t}$. (Насправді він приносить в проміжну змінну$\Theta_{\alpha}$, але ми пропустимо це.) Ці «нормальні координати» можуть мати будь-яку амплітуду і фазу, але коливатися на одній частоті$\ddot{Q}_{\alpha}=-\omega_{\alpha}^{2} Q_{\alpha}$.

Компоненти вищевказаного векторного рівняння читають:

\ почати {рівняння}
\ почати {масив} {л}
\ тета_ {1} =Q_ {1}/\ sqrt {3} +Q_ {2}/\ sqrt {2} +Q_ {3}/
\ sqrt {6}/\\ theta_ {2} =Q_ {1}/\ sqrt {3}\
\ тета_ {3} =Q_ {1}/\ sqrt {3} -Q_ {2}/\ sqrt {2} +Q_ {3}/\ sqrt {6}
\ end {масив}
\ кінець {рівняння}

Варто пройти вправу написання Лагранжа з точки зору нормальних координат:

нагадаємо лагранжа:

\ почати {рівняння}
L=\ розриву {1} {2}\ точка {\ тета} _ {1} ^ {2} +\ гідророзриву {1} {2}\ точка {\ тета} _ {2} ^ {2} +\ frac {1} {2}\ точка {\ тета} _ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ omega_ {0} ^ {2}\ тета_ {1} ^ {2} -\ розрив {1} {2}\ омега_ {0} ^ {2}\ тета_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ омега_ {0} ^ {2}\ theta_ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2} {2} k\ left (\ тета_ {1} -\ тета_ {2}\ право) ^ {2} -\ гідророзриву {1} {2} k\ ліворуч (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ праворуч) ^ {2}
\ end {рівняння}

Введення вищевказаних виразів для$\theta_{\alpha}$, після деякої алгебри

\ почати {рівняння}
L=\ розрив {1} {2}\ лівий [\ точка {Q} _ {1} ^ {2} -\ омега_ {0} ^ {2} ^ {2}\ праворуч] +\ розрив {1} {2} {2}\ лівий [\ точка {Q} _ {2} ^ {2} -\ лівий (\ omega_ {0} {2} +k\ праворуч) Q_ {2} ^ {2}\ праворуч] +\ розрив {1} {2}\ лівий [\ точка {Q} _ {3} ^ {2} -\ лівий (\ омега_ {0} ^ {2} +3 k\ праворуч) Q_ {3} ^ {2}\ праворуч]
\ кінець {рівняння}

Ми досягли поділу змінних. Лагранж - це явно сума трьох простих гармонійних осциляторів, які можуть мати незалежні амплітуди і фази. До речі, це безпосередньо призводить до змінних кута дії - нагадаємо, що для простого гармонічного генератора дія$I=E / \omega$, а кут - це обертання у фазовому просторі.