Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.3: Звичайні режими

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75661

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Фізичний рух, відповідний амплітудам власного вектора (1,1), має дві константи інтеграції (амплітуду і фазу), часто записуються через одне комплексне число, тобто

    \ begin {рівняння}\ left (\ begin {масив} {l}\ theta_ {1} (t)\\ theta_ {2} (t)\ кінець {масив}\ справа) =\ left (\ begin {масив} {l} 1\ end {масив}\ право)\ ім'я оператора {Re} B e^ {i\ omega_ {0} t} =\ (\ begin {масив} {l} A\ cos\ лівий (\ omega_ {0} t+\ дельта\ праворуч)\\ A\ cos\ лівий (\ omega_ {0} t+\ дельта\ праворуч)\ кінець {масив}\ праворуч),\ quad B = A ^ {i\ delta}
    \ end {рівняння}

    з\(A, \delta \text { real. }\)

    Зрозуміло, що це режим, в якому два маятники синхронно, коливаються на своїй власній частоті, при цьому пружина не грає ніякої ролі.

    У фізиці це математичне власнийстан матриці називається нормальним режимом коливань. У нормальному режимі всі частини системи коливаються з однією частотою, заданою власним значенням.

    Інший нормальний режим,

    \ begin {рівняння}
    \ left (\ begin {масив} {c}
    \ theta_ {1} (t)
    \\ theta_ {2} (t)
    \ кінець {масив}\ справа) =\ left (\ begin {масив} {c}
    1\
    -1
    \ end {масив}\ право)\ ім'я оператора {Re} B e^ {i\ omega^ {\ прайм} t = ліворуч (\ begin {масив} {c}
    A\ cos\ ліворуч (\ омега^ {\ прайм} t+\ дельта\ праворуч)\\
    -A\ cos\ ліворуч (\ омега^ {\ прайм} t+\ дельта
    \ праворуч)\ кінець {масив}\ праворуч),\ квад B = A ^ {i\ дельта}
    \ кінець {рівняння}

    де ми написали\(\omega^{\prime}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+2 k}\). Тут система коливається з однією частотою\(\omega^{\prime}\), маятники тепер точно поза фазою, тому, коли вони частина, пружина тягне їх назад до центру, тим самим збільшуючи частоту коливань системи.

    Структура матриці може бути уточнена, відокремивши весняний внесок:

    \ begin {рівняння}
    \ mathbf {М} =\ ліво (\ почати {масив} {cc}
    \ омега_ {0} ^ {2}
    +k &\\ -k\\ -k &\
    \ омега_ {0} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {0}\ лівий (\ початок {масив} {cc}
    1 & 0\\
    0 & 1
    \ end {масив}\ праворуч) +k\ ліворуч (\ begin {масив} {cc}
    1 & -1\
    -1 & 1
    \ end {масив}\ праворуч)
    \ end {рівняння}

    Всі вектори є власними векторами ідентичності, звичайно, тому перша матриця якраз\(\omega_{0}^{2}\) сприяє власному значенню. Друга матриця легко знайти, щоб мати власні значення 0,2, а власні стани (1,1) і (1, −1).