17.3: Звичайні режими

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 17.2: Два з'єднані маятники
- 17.4: Принцип суперпозиції

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Фізичний рух, відповідний амплітудам власного вектора (1,1), має дві константи інтеграції (амплітуду і фазу), часто записуються через одне комплексне число, тобто

\ begin {рівняння}\ left (\ begin {масив} {l}\ theta_ {1} (t)\\ theta_ {2} (t)\ кінець {масив}\ справа) =\ left (\ begin {масив} {l} 1\ end {масив}\ право)\ ім'я оператора {Re} B e^ {i\ omega_ {0} t} =\ (\ begin {масив} {l} A\ cos\ лівий (\ omega_ {0} t+\ дельта\ праворуч)\\ A\ cos\ лівий (\ omega_ {0} t+\ дельта\ праворуч)\ кінець {масив}\ праворуч),\ quad B = A ^ {i\ delta}
\ end {рівняння}

з $A, \delta \text { real. }$

Зрозуміло, що це режим, в якому два маятники синхронно, коливаються на своїй власній частоті, при цьому пружина не грає ніякої ролі.

У фізиці це математичне власнийстан матриці називається нормальним режимом коливань. У нормальному режимі всі частини системи коливаються з однією частотою, заданою власним значенням.

Інший нормальний режим,

\ begin {рівняння}
\ left (\ begin {масив} {c}
\ theta_ {1} (t)
\\ theta_ {2} (t)
\ кінець {масив}\ справа) =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ право)\ ім'я оператора {Re} B e^ {i\ omega^ {\ прайм} t = ліворуч (\ begin {масив} {c}
A\ cos\ ліворуч (\ омега^ {\ прайм} t+\ дельта\ праворуч)\\
-A\ cos\ ліворуч (\ омега^ {\ прайм} t+\ дельта
\ праворуч)\ кінець {масив}\ праворуч),\ квад B = A ^ {i\ дельта}
\ кінець {рівняння}

де ми написали $\omega^{\prime}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+2 k}$ . Тут система коливається з однією частотою $\omega^{\prime}$ , маятники тепер точно поза фазою, тому, коли вони частина, пружина тягне їх назад до центру, тим самим збільшуючи частоту коливань системи.

Структура матриці може бути уточнена, відокремивши весняний внесок:

\ begin {рівняння}
\ mathbf {М} =\ ліво (\ почати {масив} {cc}
\ омега_ {0} ^ {2}
+k &\\ -k\\ -k &\
\ омега_ {0} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {0}\ лівий (\ початок {масив} {cc}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {масив}\ праворуч) +k\ ліворуч (\ begin {масив} {cc}
1 & -1\
-1 & 1
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Всі вектори є власними векторами ідентичності, звичайно, тому перша матриця якраз $\omega_{0}^{2}$ сприяє власному значенню. Друга матриця легко знайти, щоб мати власні значення 0,2, а власні стани (1,1) і (1, −1).