17.1: Частинка в свердловині

Почнемо з одновимірного випадку частинки, що коливається близько локального мінімуму потенційної енергії$V(x)$. Ми припустимо, що поблизу мінімуму, назвіть це$x_{0}$ потенціал добре описаний провідним терміном другого порядку,$V(x)=\frac{1}{2} V^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}$ тому ми приймаємо нуль потенціалу при$x_{0}$, припускаючи, що друга похідна$V^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, і (поки що) нехтуючи умовами вищого порядку.

Щоб спростити рівняння, ми також перемістимо$x$ початок$x_{0}$, так що

\ begin {рівняння}
м\ ddot {x} =-V^ {\ prime\ prime} (0) x = -k x
\ end {рівняння}

заміна другої похідної стандартним виразом «константа пружини».

Це рівняння має рішення

\ begin {рівняння}
x = A\ cos (\ омега t+\ дельта),\ текст {або} x =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (B e^ {i\ omega t}\ праворуч),\ квад B = E ^ {i\ delta},\ quad\ omega=\ sqrt {k/m}
\ кінець {рівняння}

(Це, звичайно, також може бути похідним від Лагранжа, легко показаного бути$L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$.