17.1: Частинка в свердловині
- Page ID
- 75645
Почнемо з одновимірного випадку частинки, що коливається близько локального мінімуму потенційної енергії\(V(x)\). Ми припустимо, що поблизу мінімуму, назвіть це\(x_{0}\) потенціал добре описаний провідним терміном другого порядку,\(V(x)=\frac{1}{2} V^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}\) тому ми приймаємо нуль потенціалу при\(x_{0}\), припускаючи, що друга похідна\(V^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0\), і (поки що) нехтуючи умовами вищого порядку.
Щоб спростити рівняння, ми також перемістимо\(x\) початок\(x_{0}\), так що
\ begin {рівняння}
м\ ddot {x} =-V^ {\ prime\ prime} (0) x = -k x
\ end {рівняння}
заміна другої похідної стандартним виразом «константа пружини».
Це рівняння має рішення
\ begin {рівняння}
x = A\ cos (\ омега t+\ дельта),\ текст {або} x =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (B e^ {i\ omega t}\ праворуч),\ квад B = E ^ {i\ delta},\ quad\ omega=\ sqrt {k/m}
\ кінець {рівняння}
(Це, звичайно, також може бути похідним від Лагранжа, легко показаного бути\(L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}\).