Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.1: Частинка в свердловині

  • Page ID
    75645
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Почнемо з одновимірного випадку частинки, що коливається близько локального мінімуму потенційної енергії\(V(x)\). Ми припустимо, що поблизу мінімуму, назвіть це\(x_{0}\) потенціал добре описаний провідним терміном другого порядку,\(V(x)=\frac{1}{2} V^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}\) тому ми приймаємо нуль потенціалу при\(x_{0}\), припускаючи, що друга похідна\(V^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0\), і (поки що) нехтуючи умовами вищого порядку.

    clipboard_e8df4511c7b38ade1befaacc74199faf2.png

    Щоб спростити рівняння, ми також перемістимо\(x\) початок\(x_{0}\), так що

    \ begin {рівняння}
    м\ ddot {x} =-V^ {\ prime\ prime} (0) x = -k x
    \ end {рівняння}

    заміна другої похідної стандартним виразом «константа пружини».

    Це рівняння має рішення

    \ begin {рівняння}
    x = A\ cos (\ омега t+\ дельта),\ текст {або} x =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (B e^ {i\ omega t}\ праворуч),\ квад B = E ^ {i\ delta},\ quad\ omega=\ sqrt {k/m}
    \ кінець {рівняння}

    (Це, звичайно, також може бути похідним від Лагранжа, легко показаного бути\(L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}\).