17.2: Два з'єднані маятники

Візьмемо два рівних маятника, з'єднаних легкої пружиною. Приймаємо зусилля відновлення пружини прямо пропорційно кутової різниці між маятниками. (Виявляється, це гарне наближення.)

Для малих кутів коливання ми беремо Лагранжа, щоб бути

\ begin {рівняння}
L=\ розриву {1} {2} м\ елл^ {2}\ точка {\ тета} _ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ точка {2} ^ {2} -\ гідророзриву {1} {2} м г\ ell\ theta_ {1} ^ {2}} -\ гідророзриву {1} {2} м г\ ell\ theta_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2} C\ ліворуч (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ праворуч) ^ {2}
\ end {рівняння}

Позначаючи одиничну частоту маятника по$\omega_{0}$, рівняння руху є (пишуть$\omega_{0}^{2}=g / \ell, k=C / m \ell^{2}$, так$\left.[k]=T^{-2}\right)$

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
\ ddot {\ тета} _ {1} =-\ омега_ {0} ^ {2}\ тета_ {1} -k\ ліворуч (\ тета_ {1} -\ тета_ {2}\ справа)\\
ddot {\ тета} _ {2} =-\ омега_ {0} ^ {2}\ theta_ {2} -k\ left (\ theta_ {2} -\ theta_ {1}\ праворуч)
\ end {масив}
\ end {рівняння}

Шукаємо періодичне рішення, пишемо

\ begin {рівняння}
\ тета_ {1} (t) =A_ {1} e^ {i\ омега t},\ квад\ тета_ {2} (t) =A_ {2} e^ {i\ omega t}
\ end {рівняння}

(Остаточні фізичні кутові рішення будуть реальною частиною.)

Рівняння стають (в матричних позначеннях):

\ begin {рівняння}
\ омега^ {2}\ лівий (\ почати {масив} {c} A_ {1}\
A_ {2}\ кінець {масив}\ справа) =\ лівий (
\ begin {масив} {cc}\
омега_ {0} ^ {2} +k\\ -k
\\ -k &\\ omega_ {0} ^ {2} +k\ -k\\ -k &\\ omega_ {0} ^ {2}
+k\ -k\\ -k &
\\ omega_ {0} ^ {2}\ праворуч)\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Позначаючи$2 \times 2 \text { matrix by } \mathbf{M}$

\ begin {рівняння}
\ mathbf {M}\ vec {A} =\ омега^ {2}\ vec {A},\ quad\ vec {A} =\ left (\ begin {масив} {l}
A_ {1}\
A_ {2}
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

Це власновекторне рівняння, з$\omega^{2}$ власним значенням, знайдене за стандартною процедурою:

\ begin {рівняння}
\ ім'я оператора {det}\ ліворуч (\ mathbf {M} -\ омега^ {2}\ mathbf {I}\ праворуч) =\ ліворуч |\ почати {масив} {cc}\ омега_ {0} ^ {2} +k-
\ омега^ {2} & -k\\ -k &\\ omega_ {0} ^ {2}
+k\\ -k &\ omega_ {0} ^ {2}} +k-\ омега^ {2}
\ end {масив}\ right|=0
\ end {рівняння}

Рішення$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+k \pm k$, тобто

\ begin {рівняння}
\ омега^ {2} =\ омега_ {0} ^ {2},\ квад\ омега^ {2} =\ омега_ {0} ^ {2} +2 k
\ end {рівняння}

Відповідними власними векторами є (1,1) та (1, −1).