12.1: Повернутися до простору налаштувань...
- Page ID
- 75466
Встановлено, що дія, яка розглядається як функція її координат, кінцевих точок і часу, задовольняє
\ begin {рівняння}
\ часткове S\ ліве (q_ {i}, t\ праворуч)/\ часткове t+h (q, p, t) =0
\ end {рівняння}
і одночасно\(p_{i}=\partial S\left(q_{i}, t\right) / \partial q_{i}, \text { so } S\left(q_{i}, t\right)\) підпорядковується диференціальному рівнянню першого порядку
\ почати {рівняння}
\ розрив {\ частковий S} {\ частковий t} +H\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {s}}; t\ праворуч) =0
\ кінець {рівняння}
Це рівняння Гамільтона-Якобі.
Зверніть увагу, що ми тепер повернулися в конфігураційному просторі!
Наприклад, рівняння Гамільтона-Якобі для простого гармонічного осцилятора в одному вимірі дорівнює
\ begin {рівняння}
\ розрив {\ частковий S (x, t)} {\ частковий t} +\ розрив {1} {2} x^ {2} +\ frac {1} {2}\ лівий (\ frac {\ частковий S (x, t)} {\ частковий х}\ праворуч) ^ {2} =0
\ кінець {рівняння}
(Зверніть увагу, що це має деяку схожість з рівнянням Шредінгера для тієї ж системи.)
Якщо гамільтоніан не має явної залежності від часу,\(\partial S / \partial t+H(q, p)=0 \text { becomes just } \partial S / \partial t=-E\) то дія має вигляд\(S=S_{0}(q)-E t\), а рівняння Гамільтона-Якобі дорівнює
\ begin {рівняння}
H\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {s}}\ праворуч) =E
\ кінець {рівняння}
(Це аналогічно незалежному від часу рівнянню Шредінгера для енергетичних власних станів.)
Таким чином, рівняння Гамільтона-Якобі є третім повним описом динаміки, еквівалентною рівнянням Лагранжа та рівнянням Гамільтона.
Оскільки з'являється\(S\) лише диференційованим, якщо у нас є рішення рівняння, ми завжди можемо додати довільний постійний член, щоб дати однаково дійсне рішення. Для загального випадку буде ще s константи інтеграції, тому повне рішення має вигляд
\ почати {рівняння}
S\ ліворуч (q_ {i}, t\ праворуч) =f\ ліворуч (t, q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ праворуч) +A
\ end {рівняння}
α і\(A\) будучи константами інтеграції. Ми не говоримо, що це легко вирішити цей диференціал в цілому, просто що ми знаємо, скільки констант інтеграції має бути в остаточному рішенні. Так як дія визначає рух системи повністю, то константи інтеграції будуть визначатися заданими початковою і кінцевою координатами, або, вони в рівній мірі могли б розглядатися як функції початкових координат і моментів (самі початкові моменти визначаються заданим початковим. і кінцеві координати).