12.1: Повернутися до простору налаштувань...

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 12: Рівняння Гамільтона-Якобі
- 12.2: Центральна роль цих констант інтеграції

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Встановлено, що дія, яка розглядається як функція її координат, кінцевих точок і часу, задовольняє

\ begin {рівняння}
\ часткове S\ ліве (q_ {i}, t\ праворуч)/\ часткове t+h (q, p, t) =0
\ end {рівняння}

і одночасно $p_{i}=\partial S\left(q_{i}, t\right) / \partial q_{i}, \text { so } S\left(q_{i}, t\right)$ підпорядковується диференціальному рівнянню першого порядку

\ почати {рівняння}
\ розрив {\ частковий S} {\ частковий t} +H\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {s}}; t\ праворуч) =0
\ кінець {рівняння}

Це рівняння Гамільтона-Якобі.

Зверніть увагу, що ми тепер повернулися в конфігураційному просторі!

Наприклад, рівняння Гамільтона-Якобі для простого гармонічного осцилятора в одному вимірі дорівнює

\ begin {рівняння}
\ розрив {\ частковий S (x, t)} {\ частковий t} +\ розрив {1} {2} x^ {2} +\ frac {1} {2}\ лівий (\ frac {\ частковий S (x, t)} {\ частковий х}\ праворуч) ^ {2} =0
\ кінець {рівняння}

(Зверніть увагу, що це має деяку схожість з рівнянням Шредінгера для тієї ж системи.)

Якщо гамільтоніан не має явної залежності від часу, $\partial S / \partial t+H(q, p)=0 \text { becomes just } \partial S / \partial t=-E$ то дія має вигляд $S=S_{0}(q)-E t$ , а рівняння Гамільтона-Якобі дорівнює

\ begin {рівняння}
H\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {s}}\ праворуч) =E
\ кінець {рівняння}

(Це аналогічно незалежному від часу рівнянню Шредінгера для енергетичних власних станів.)

Таким чином, рівняння Гамільтона-Якобі є третім повним описом динаміки, еквівалентною рівнянням Лагранжа та рівнянням Гамільтона.

Оскільки з'являється $S$ лише диференційованим, якщо у нас є рішення рівняння, ми завжди можемо додати довільний постійний член, щоб дати однаково дійсне рішення. Для загального випадку буде ще s константи інтеграції, тому повне рішення має вигляд

\ почати {рівняння}
S\ ліворуч (q_ {i}, t\ праворуч) =f\ ліворуч (t, q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ праворуч) +A
\ end {рівняння}

α і $A$ будучи константами інтеграції. Ми не говоримо, що це легко вирішити цей диференціал в цілому, просто що ми знаємо, скільки констант інтеграції має бути в остаточному рішенні. Так як дія визначає рух системи повністю, то константи інтеграції будуть визначатися заданими початковою і кінцевою координатами, або, вони в рівній мірі могли б розглядатися як функції початкових координат і моментів (самі початкові моменти визначаються заданим початковим. і кінцеві координати).