Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.1: Повернутися до простору налаштувань...

  • Page ID
    75466
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Встановлено, що дія, яка розглядається як функція її координат, кінцевих точок і часу, задовольняє

    \ begin {рівняння}
    \ часткове S\ ліве (q_ {i}, t\ праворуч)/\ часткове t+h (q, p, t) =0
    \ end {рівняння}

    і одночасно\(p_{i}=\partial S\left(q_{i}, t\right) / \partial q_{i}, \text { so } S\left(q_{i}, t\right)\) підпорядковується диференціальному рівнянню першого порядку

    \ почати {рівняння}
    \ розрив {\ частковий S} {\ частковий t} +H\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {s}}; t\ праворуч) =0
    \ кінець {рівняння}

    Це рівняння Гамільтона-Якобі.

    Зверніть увагу, що ми тепер повернулися в конфігураційному просторі!

    Наприклад, рівняння Гамільтона-Якобі для простого гармонічного осцилятора в одному вимірі дорівнює

    \ begin {рівняння}
    \ розрив {\ частковий S (x, t)} {\ частковий t} +\ розрив {1} {2} x^ {2} +\ frac {1} {2}\ лівий (\ frac {\ частковий S (x, t)} {\ частковий х}\ праворуч) ^ {2} =0
    \ кінець {рівняння}

    (Зверніть увагу, що це має деяку схожість з рівнянням Шредінгера для тієї ж системи.)

    Якщо гамільтоніан не має явної залежності від часу,\(\partial S / \partial t+H(q, p)=0 \text { becomes just } \partial S / \partial t=-E\) то дія має вигляд\(S=S_{0}(q)-E t\), а рівняння Гамільтона-Якобі дорівнює

    \ begin {рівняння}
    H\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {s}}\ праворуч) =E
    \ кінець {рівняння}

    (Це аналогічно незалежному від часу рівнянню Шредінгера для енергетичних власних станів.)

    Таким чином, рівняння Гамільтона-Якобі є третім повним описом динаміки, еквівалентною рівнянням Лагранжа та рівнянням Гамільтона.

    Оскільки з'являється\(S\) лише диференційованим, якщо у нас є рішення рівняння, ми завжди можемо додати довільний постійний член, щоб дати однаково дійсне рішення. Для загального випадку буде ще s константи інтеграції, тому повне рішення має вигляд

    \ почати {рівняння}
    S\ ліворуч (q_ {i}, t\ праворуч) =f\ ліворуч (t, q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ праворуч) +A
    \ end {рівняння}

    α і\(A\) будучи константами інтеграції. Ми не говоримо, що це легко вирішити цей диференціал в цілому, просто що ми знаємо, скільки констант інтеграції має бути в остаточному рішенні. Так як дія визначає рух системи повністю, то константи інтеграції будуть визначатися заданими початковою і кінцевою координатами, або, вони в рівній мірі могли б розглядатися як функції початкових координат і моментів (самі початкові моменти визначаються заданим початковим. і кінцеві координати).