12.3: Поділ змінних для центрального потенціалу; Циклічні змінні

Ландау докладно представляє метод поділу змінних для\(1/r\) потенціалу, цікавий тут, оскільки він призводить до рівнянь, які ви зустрічали раніше - ті, що виникають при стандартній квантовій обробці атома водню.

Як ми можемо досягти будь-якого прогресу з цими грізними диференціальними рівняннями? Одна з можливостей полягає в тому, що деякі координати є циклічними, тобто,\(q_{1}\) скажімо, не відображається явно в гамільтоніанському - наприклад, змінна кута в сферично симетричному полі. Тоді ми маємо відразу, що відповідний імпульс\(p_{1}=\partial S / \partial q_{1}=\alpha_{1}\), константа.

Гамільтоніан для центрального потенціалу:

\ почати {рівняння}
Н =\ розрив {1} {2 м}\ ліворуч (p_ {r} ^ {2} +\ гідророзрив {p_ {\ тета} ^ {2}} {r^ {2}}} {r^ {2}\ sin ^ {2}\ sin ^ {2}\ тета}\ праворуч) +V (r)
\ кінець рівняння}

Отже, рівняння Гамільтона-Якобі

\ begin {рівняння}
\ розрив {1} {2 м}\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {0}}} {\ частковий r}\ праворуч) ^ {2} +V (r) +\ frac {1} {2}}\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {0}}} {\ частковий\ тета}\ правий) ^ {2} +\ frac c {1} {2 м r^ {2}\ sin ^ {2}\ тета}\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {0}} {\ частковий\ phi}\ праворуч) ^ {2} =E
\ end {рівняння}

Перше, що слід зазначити,\(\phi\) це циклічний (він не з'являється в гамільтоніані), тому ми можемо негайно замінити\(\partial S_{0} / \partial \phi \text { with a constant } p_{\phi}\).

Тоді у нас є:

\ begin {рівняння}
\ розрив {1} {2 м}\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {0}}} {\ частковий r}\ правий) ^ {2} +V (r) +\ frac {1} {2 м r^ {2}}\ лівий [\ frac {\ частковий S_ {0}} {\ частковий\ тета}\ праворуч) ^ {2} +\ розрив {p_ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2}\ тета}\ справа] = E
\ end {рівняння}

Тепер шукаємо рішення форми

\ begin {рівняння}
S_ {0} (r,\ тета,\ фі) =S_ {r} (r) +S_ {\ тета} (\ тета) +p_ {\ phi}\ phi
\ end {рівняння}

Підставивши в рівняння, зверніть увагу, що вираз в квадратних дужках стане

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {\ тета}} {\ частковий\ тета}\ правий) ^ {2} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2}\ тета}
\ кінець {рівняння}

незалежно від\(r\), але на множення повного рівняння на\(r^{2}\), і дивлячись на результат, ми бачимо, що насправді це чисто функція\(r\). Це означає, що це константа, скажімо

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {\ тета}} {\ частковий\ тета}\ правий) ^ {2} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2}\ тета} =\ бета
\ кінець {рівняння}

а потім

\ begin {рівняння}
\ розрив {1} {2 м}\ лівий (\ розрив {\ частковий S_ {r}}} {\ частковий r}\ праворуч) ^ {2} +V (r) +\ frac {\ beta} {2 m r^ {2}} =E
\ кінець {рівняння}

Ці рівняння першого порядку можуть бути вирішені, принаймні чисельно (і, звичайно, саме для деяких випадків). Фізично,\(\beta=\ell^{2}, \quad \ell\) будучи загальним моментом імпульсу, і\(E\) є загальна енергія.

Примітка: нагадаємо, що в квантовій механіці, наприклад при розв'язанні рівняння Шредінгера для атома водню, поділ змінних досягався шляхом запису хвильової функції як добутку функцій, що належать різним змінним. Тут ми використовуємо суму —пам'ятайте, що дія тісно відповідає фазі квантової механічної системи, тому сума дій аналогічна добутку хвильових функцій.