12.2: Центральна роль цих констант інтеграції

Щоб описати час розвитку динамічної системи найпростішим способом, бажано знайти параметри, які є постійними або змінюються простим способом. Наприклад, рух у сферично симетричному потенціалі описується термінами (постійними) складовими моменту.

Тепер ці\(α\) константи є функціями початкових координат і моментів. Оскільки вони залишаються постійними під час руху, вони, очевидно, є одними з «змінних», які описують динамічний розвиток найпростішим способом. Отже, нам потрібно побудувати канонічне перетворення з нашого поточного набору змінних (кінцевих координат і моментів) до нового набору змінних, що включає ці константи інтеграції «моментів». (Відповідні канонічні «позиції» будуть надані шляхом диференціації генеруючої функції щодо «моментів».)

Як ми знаходимо генеруючу функцію для цього перетворення? Підказка походить від тієї, яку ми вже обговорювали: що відповідає розвитку в часі, переходячи від початкового набору змінних до кінцевого набору, або назад. Ця трансформація була породжена самою дією, вираженою в терміні двох наборів позицій. Тобто ми дозволили обом кінцям інтегрального шляху дії змінюватися, і написали дію як функцію кінцевої (2) та початкової (1) змінної кінцевої точки та часу:

\ почати {рівняння}
д S\ ліворуч (q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, q_ {i} ^ {(1)},\ квад t_ {1}\ праворуч) =\ sum_ {i} p_ {i} ^ {(2)} d q_ {i} ^ {(2)} -H ^ {(2)} -\ sum_ {i} p_ {i} ^ {(1)} d q_ {i} ^ {(1)} +H ^ {(1)} d t_ {1}
\ end {рівняння}

У цьому розділі кінцеві позиції кінцевих точок позначаються\(t, q_{1}, \ldots, q_{s}\) просто такими ж, як і раніше\(t_{2}, q_{1}^{(2)}, \ldots, q_{s}^{(2)}\). Явно, ми пишемо

\ почати {рівняння}
S\ ліворуч (q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, q_ {i} ^ {(1)}, t_ {1}\ праворуч)\ equiv S\ ліворуч (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, t, q_ {1} ^ {(1)},\ ldots q_ {s} ^ {s} (1)}, t_ {1}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Порівняйте цей вираз для дії з формальним виразом, який ми щойно вивели з рівняння Гамільтона Якобі,

\ почати {рівняння}
S\ ліворуч (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, t\ праворуч) =f\ ліворуч (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, t;\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ праворуч) +A
\ end {рівняння}

Ці два вирази для\(S\) мають однакову форму: дія виражається як функція змінних позиції кінцевої точки, плюс інші\(s\) змінні, необхідні для однозначного визначення руху. На цей раз, замість змінних вихідної позиції, хоча, другий набір змінних є ці константи інтеграції, в\(\alpha_{i}\).

Тепер, як ми показали, що дія породила перетворення (у будь-якому випадку) між початковим набором координат та моментів та кінцевим набором, вона також генерує канонічне перетворення з кінцевого набору координат та моментів до іншого канонічного набору, маючи ці як нові «моменти».\(\alpha\) Ми позначимо нові «координати» (канонічні сполучення\(\alpha\)\(\beta_{1}, \ldots, \beta_{s}\)

Беручи потім дію (нехтуючи константою,\(A\) яка нічого не робить)\(S=f\left(t, q_{1}, \ldots, q_{s} ; \quad \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{s}\right)\) як генеруючу функцію, це залежить від старих координат\(q_{i}\) і нових моментів\(\alpha_{i}\). Це той самий набір змінних - старі координати та нові моменти - як у (раніше обговорюваної) функції генерування\(\Phi(q, P, t)\).

Згадати

\ begin {рівняння}
d\ Phi (q, P, t) =p d Q+Q d Р+\ ліворуч (H^ {\ prime} -H\ праворуч) d t
\ end {рівняння}

так ось

\ begin {рівняння}
d f\ лівий (q_ {i},\ alpha_ {i}, t\ праворуч) =p_ {i} d q_ {i} +\ beta_ {i} d\ alpha_ {i} +\ лівий (H ^ {\ правий} -Н\ праворуч) d t
\ кінець {рівняння}

і

\ begin {рівняння}
p_ {i} =\ частковий f/\ частковий q_ {i},\ quad\ beta_ {i} =\ частковий f/\ частковий\ alpha_ {i},\ квад H ^ {\ prime} =H+\ частковий f/\ частковий t
\ кінець {рівняння}

Це визначає нові «координати»\ (\ begin {рівняння}
\ beta_ {i}
\ end {рівняння}\) і гарантує, що перетворення є канонічним.

Щоб знайти новий гамільтоніан\ (\ begin {рівняння}
H^ {\ prime},\ text {нам потрібно знайти}\ partial f/\ partial t\ text {і додати його до} H
\ end {рівняння}\).

Але

\ почати {рівняння}
S\ ліворуч (q_ {i}, t\ праворуч) =f\ ліворуч (t, q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ праворуч) +A
\ end {рівняння}

де\(A\) просто константа, так

\ begin {рівняння}
\ часткова f/\ часткова t=\ часткова S/\ часткова t
\ кінець {рівняння}

Перше рівняння в цьому розділі було

\ begin {рівняння}
\ часткова S/\ часткова t+h (q, p, t) =0
\ кінець {рівняння}

тому новий гамільтоніан

\ begin {рівняння}
H^ {\ prime} =H+\ часткова f/\ часткова t = H+\ часткова S/\ часткова t = 0
\ кінець {рівняння}

Ми зробили канонічну трансформацію, яка призвела до нульового гамільтоніана!

Що це означає? Це означає, що ні нові моменти, ні нові координати не змінюються в часі:

\ begin {рівняння}
\ точка {\ альфа} _ {i} =\ лівий [H,\ alpha_ {i}\ праворуч] =0,\ точка {\ бета} _ {i} =\ лівий [H,\ beta_ {i}\ праворуч] =0
\ кінець {рівняння}

(Той факт, що всі моменти та координати зафіксовані в цьому поданні, не означає, що система не рухається - як стане очевидним у наступному простому прикладі, вихідні координати є функціями цих нових (незмінних!) змінні і час.)

\(s\)Рівняння потім\(\partial f / \partial \alpha_{i}=\beta_{i}\) можуть бути використані для пошуку функцій\(q_{i}\) як\(\alpha_{i}, \beta_{i}, t\) Щоб побачити, як все це працює, необхідно попрацювати на прикладі.

Простий приклад рівняння Гамільтона-Якобі: рух під гравітацією

Гамільтоніан для руху під дією сили тяжіння у вертикальній площині

\ begin {рівняння}
H=\ розрив {1} {2 м}\ ліворуч (p_ {x} ^ {2} +p_ {z} ^ {2}\ праворуч) +m g z
\ end {рівняння}

тому рівняння Гамільтона-Якобі

\ begin {рівняння}
\ розрив {1} {2 м}\ ліворуч (\ лівий (\ frac {\ частковий S (x, z, t)} {\ частковий x}\ праворуч) ^ {2} +\ лівий (\ frac {\ частковий S (x, z, t)} {\ частковий z}\ правий) ^ {2}\ праворуч) +m g z+\ frac {\ частковий Z}\ правий) (x, z, t)} {\ часткове t} =0
\ кінець {рівняння}

По-перше, цей гамільтоніан не має явної залежності від часу (гравітація не змінюється!) , Таким чином\(\partial S / \partial t+H(q, p)=0=\partial S / \partial t+E\), ми можемо замінити останній член в рівнянні на\(-E\).

Просте поділ змінних

Оскільки термін потенційної енергії залежить тільки від\(z\), рівняння можна розв'язати за допомогою поділу змінних. Щоб побачити це працює, спробуйте

\(S(x, z, t)=W_{x}(x)+W_{z}(z)-E t\)

Поставивши цю форму в рівняння, отриманий перший член залежить тільки від змінної\(x\), другий плюс третій залежить тільки від\(z\), останній член якраз і є постійною\(−E\). Функція, що залежить лише від,\(x\) може дорівнювати лише функції, незалежно від того,\(x\) якщо обидві є константами, аналогічно для\(z\).

Маркування констант\(\alpha_{x}, \alpha_{z}\)

\(\frac{1}{2 m}\left(\frac{d W_{x}(x)}{d x}\right)^{2}=\alpha_{x}, \quad \frac{1}{2 m}\left(\frac{d W_{z}(z)}{d z}\right)^{2}+m g z=\alpha_{z}, \quad E=\alpha_{x}+\alpha_{z}\)

Отже,\(α\) це константи руху, вони є нашими новими «моментами» (хоча вони мають розміри енергії).

Рішення,

W_ {x} (x) =\ пм х\ sqrt {2 м\ alpha_ {x}},\ квадрат W_ {z} (z) =\ пм\ sqrt {\ frac {8} {9 м g^ {2}}}\ ліворуч (\ альфа_ {z} -м г г\ праворуч) ^ {3/2}

(Ми могли б додати константи інтеграції, але додавання констант до дії нічого не змінює.)

Отже, тепер у нас є

\(S=S\left(x, z, \alpha_{x}, \alpha_{z}, t\right)=W_{x}\left(x, \alpha_{x}\right)+W_{z}\left(z, \alpha_{z}\right)-\left(\alpha_{x}+\alpha_{z}\right) t\)

Це наша генеруюча функція (еквівалентна\(\Phi(q, P, t)\)), з точки зору старих координат та цих нових «моментів»,\(\boldsymbol{\alpha}_{x}, \boldsymbol{\alpha}_{z}\) Після аналізу Гамільтона-Якобі ця дія генерує канонічне перетворення, яке зводить гамільтоніан до нуля, що означає, що не тільки ці нові моменти залишаються постійними, але так роблять їх сполучені «координатні» змінні,

\(\beta_{x}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{x}}=\pm x \sqrt{\frac{m}{2 \alpha_{x}}}-t, \quad \beta_{z}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{z}}=\pm \sqrt{\frac{2\left(\alpha_{z}-m g z\right)}{m g^{2}}}-t\)

Ці рівняння вирішують задачу. Переставляючи, траєкторія

\ почати {рівняння}
х =\ пм\ sqrt {\ frac {2\ alpha_ {x}} {м}}\ ліворуч (\ бета_ {x} +t\ праворуч),\ квад z=\ frac {\ alpha_ {z}} {m g} -\ frac {g} {2}\ ліворуч (\ beta_ {z} +t\ праворуч) ^ {2}
\ кінець {рівняння}

Чотири «константи руху» однозначно\(\alpha_{x}, \alpha_{z}, \beta_{x}, \beta_{z}\) фіксуються початковими координатами і швидкостями, і вони параметризують подальшу часову еволюцію системи.