Епілог

Ця книга представила потужні аналітичні методи у фізиці, які засновані на застосуванні варіаційних принципів до принципу дії Гамільтона. Ці методи були першопрохідцями класичної механіки Лейбніцем, Лагранжем, Ейлером, Гамільтоном та Якобі під час чудової епохи Просвітництва і досягли повного результату на початку$20^{th}$ століття.

Філософська дорожня карта, показана вище, ілюструє ієрархію філософських підходів, доступних при використанні принципу дії Гамільтона для виведення рівнянь руху системи. Первинний$\mathbf{Stage1}$ використовує функціонал дії Гамільтона,$S = \int^{t_f}_{t_i} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)dt$ щоб вивести функціонал Лагранжа та Гамільтонів. $\mathbf{Stage1}$забезпечує найбільш фундаментальний і складний рівень розуміння і передбачає визначення всіх активних ступенів свободи, а також взаємодій, що беруть участь. $\mathbf{Stage2}$використовує функціонал Лагранжа або Гамільтона, похідні при$\mathbf{Stage1}$, щоб вивести рівняння руху для системи, що цікавить. $\mathbf{Stage3}$потім використовує похідні рівняння руху для розв'язання для руху системи з урахуванням заданої множини початкових граничних умов.

Ньютон постулював рівняння руху для нерелятивістської класичної механіки, ідентичні тим, що отримані шляхом застосування варіаційних принципів до принципу Гамільтона. Однак закони руху Ньютона застосовні лише до нерелятивістської класичної механіки і не можуть використовувати переваги використання більш фундаментального принципу дії Гамільтона, Лагранжа та Гамільтоніана. Ньютонівська механіка вимагає, щоб усі активні сили були включені в рівняння руху, і передбачає справу з векторними величинами, що складніше, ніж використання скалярних функціоналів, дії, Лагранжа або Гамільтоніана. Механіка Лагранжа, заснована на принципі д'Аламберта, не використовує всіх переваг, наданих принципом дії Гамільтона.

Значні переваги є результатом отримання рівнянь руху, заснованих на принципі Гамільтона, а не на основі їх постульованих Законів руху Ньютона. Значно простіше використовувати варіаційні принципи для обробки скалярних функціоналів, дії, Лагранжа та Гамільтоніана, ніж починати з векторних диференціальних рівнянь Ньютона. Три ієрархічні етапи аналітичної механіки полегшують розміщення додаткових ступенів свободи, симетрії, обмежень та інших взаємодій. Наприклад, симетрії, визначені теоремою Нетера, легше розпізнати під час первинної «дії» та вторинної стадії «Гамільтонія/Лагранжа», ніж на наступному етапі «рівнянь руху». Сили обмеження, і наближення, введені при$\mathbf{Stage1}$ або$\mathbf{Stage2}$, легше реалізувати, ніж при наступних$\mathbf{Stage3}$. Відповідність дії Гамільтона в класичній та квантовій механіці, а також релятивістська інваріантність є вирішальними перевагами для використання аналітичного підходу в релятивістській механіці, русі рідини, квантовій та теорії поля.

Філософськи ньютонівську механіку просто зрозуміти, оскільки вона використовує векторні диференціальні рівняння руху, які пов'язують миттєві сили з миттєвими прискореннями. Більш того, поняття імпульсу плюс сила інтуїтивно зрозумілі для візуалізації, і причина і наслідок вбудовані в ньютонівську механіку. На жаль, ньютонівська механіка несумісна з квантовою фізикою, вона порушує релятивістські поняття простору-часу і не дає єдиного опису сили тяжіння плюс руху планет як геодезичного руху в чотиривимірній рімановій структурі.

Чудові філософські наслідки, вбудовані в застосуванні варіаційних принципів до принципу Гамільтона, засновані на дивовижному припущенні, що рух обмеженої системи в природі йде шляхом, який мінімізує інтеграл дії. Як наслідок, рішення рівнянь руху зводиться до знаходження оптимального шляху, який мінімізує інтеграл дії. Той факт, що природа слідує принципам оптимізації, є неінтуїтивним і вважався метафізичним багатьма вченими і філософами протягом$19^{th}$ століття, що відклало повне прийняття аналітичної механіки аж до розвитку Теорії відносності та квантової механіки. Варіаційні формулювання тепер стали видатним підходом у сучасній фізиці, і вони скинули ньютонівську механіку з трону класичної механіки, яку вона займала протягом двох століть.

Обсяг цієї книги виходить за рамки типового підручника класичної механіки, щоб проілюструвати, як динаміка Лагранжа та Гамільтона забезпечує основу, на якій будується сучасна фізика. Знання аналітичної механіки має важливе значення для вивчення сучасної фізики. Методи та фізика, обговорювані в цій книзі, знову з'являються в різних формах у багатьох галузях, але основна фізика незмінна, що ілюструє інтелектуальну красу, філософські наслідки та єдність галузі фізики. Широта фізики, розглянута варіаційними принципами в класичній механіці, і основна єдність поля, уособлюються широким діапазоном вимірів, енергій та складності, що беруть участь. Розміри варіюються від таких великих$10^{27}$$m$, як, до квантових аналогів класичної механіки систем, що охоплюють розміри аж до планковської довжини$1.62 \times 10^{−35}$$m$. Окремі частинки були виявлені з кінетичними енергіями в діапазоні від нуля до більших, ніж$10^{15}$ еВ. Складність класичної механіки охоплює від одного тіла до статистичної механіки систем багатьох тіл. Як наслідок, аналітичні варіаційні методи стали головним підходом до опису систем від найбільших до найменших та від динамічних систем одного тіла до багатьох тіл.

Мета цієї книги полягала в тому, щоб проілюструвати дивовижну силу аналітичних варіаційних методів для розуміння фізики, що лежить в основі класичної механіки, а також розширень до сучасної фізики. Однак даний розповідь залишається незавершеним у тому, що фундаментальні філософські та технічні питання не розглядалися. Наприклад, аналітична механіка заснована на обгрунтованості передбачуваного принципу економії. У цій книзі не розглядалося філософське питання: «Чи є принцип економіки основним законом природи, чи це випадковий наслідок фундаментальних законів природи? »

Підсумовуючи, принцип дії Гамільтона, який вбудований у механіку Лагранжа та Гамільтона, в поєднанні з наявністю широкого арсеналу варіаційних принципів та математичних методів, забезпечує надзвичайно потужний підхід для виведення рівнянь рухів, необхідних для визначення відгуку систем широкого та різноманітного спектру застосування в науці та техніці.