10.3: Амплітуди розсіювання, зв'язані стани, резонанси
- Page ID
- 76836
Низькоенергетичні наближення для матриці S
У цьому розділі розглядаються властивості матриці частково-хвильового розсіювання\[ S_l(k)=1+2ikf_l(k) \label{10.3.1}\]
для комплексних значень змінної імпульсу\(k\). Звичайно, загальні комплексні значення\(k\) не відповідають фізичному розсіюванню, але виявляється, що розсіювання фізичних хвиль часто можна найбільш просто зрозуміти з точки зору домінантних сингулярностей в складній\(k\) площині.
Почнемо зі складного\(k\) зв'язку між (позитивною енергією) розсіювання і (негативна енергія) зв'язаними станами. Асимптотична форма\(l=0\) частинної хвильової функції в експерименті з розсіянням (з попередньої лекції)\[ \frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-ikr}}{r}-\frac{S_0(k)e^{+ikr}}{r}\right) .\label{10.3.2}\]
\(l=0\)Зв'язаний стан має асимптотичну хвильову функцію\[ \frac{Ce^{-\kappa r}}{r} \label{10.3.3}\]
де\(C\) - константа нормалізації.
Зверніть увагу, що це нагадує «вихідну хвилю» з уявним імпульсом\(k=i\kappa\). Якщо аналітично продовжити хвильову функцію розсіювання з реального\(k\) в комплекс\(k\) - площину, то отримаємо як експоненціально зростаючі, так і зменшуються хвильові функції, не маючи фізичного сенсу. Але є виняток з цього загального спостереження: якщо матриця розсіювання\(S_0(k)\) стає нескінченною при якомусь комплексному значенні\(k\), експоненціально спадний член буде нескінченно більше експоненціально зростаючого члена. Іншими словами, у нас буде тільки зменшується хвильова функція - пов'язаний стан. Ми знаємо, що енергія пов'язаного стану повинна бути реальною і негативною, а також дорівнює\(\hbar^2k^2/2m\), тому це може статися тільки для\(k\) чистого уявного,\(k=i\kappa\).
Тепер існування низькоенергетичного зв'язаного стану означає, що матриця\(S\) - має полюс (на уявній осі) близький до початку, тому це сильно вплине на низькоенергетичне (поблизу походження, але реальне\(k\)) розсіювання. Давайте подивимося, як це працює, використовуючи низькоенергетичне наближення, розглянуте раніше. Нагадаємо, що\(l=0\) часткова амплітуда хвилі\[ f_0(k)=\frac{1}{k(\cot\delta_0(k)-i)}, \label{10.3.4}\]
і при низькій енергії\(\delta_0(k)=-ka\), тому\[ f_0(k)=\frac{1}{k((-1/ka)-i)}=-\frac{1}{ik+1/a}, \label{10.3.5}\]
і\[ S_0(k)=1+2ikf_0(k)=-\frac{k+(i/a)}{k-(i/a)}. \label{10.3.6}\]
Відзначимо\(k\to 0\), що\(S\to 1\) як, як треба, починаючи з\(\delta_0(k)=-ka\to 0\) і\(S_0(k)=e^{2i\delta_0(k)}\). Відзначимо також, що це наближення правильно дає\(|S_0(k)|=1\).
Це\(S_0(k)\) має полюс в комплексній площині при\(k=i/a\), і якщо це відповідає пов'язаному стану\(\kappa =1/a\), що має, то енергія зв'язку\(\hbar^2\kappa^2/2m=\hbar^2/2ma^2\). Насправді, однак, ми стикаємося з проблемою: ми отримуємо таку ж форму\(S_0(k)\) при низьких енергіях навіть для відштовхуючого потенціалу, який, безумовно, не має зв'язаного стану! Полюс в означає\(S_0(k)\) лише те, що ми можемо мати асимптотичну хвильову функцію правильної форми, але це не гарантує, що ця асимптотична форма плавно перейде до несингулярної поведінки на початку. Для відштовхуючого потенціалу легко побачити, що хвильова функція нульової (або негативної) енергії на інтеграції з походження нахиляється все більш круто вгору, тому ніколи, зі збільшенням\(r\), перейти до асимптотичного розпаду.
Ефективний діапазон
Наближення низької енергії вище може бути записано\[ k\cot\delta_0(k)\simeq -1/a. \label{10.3.7}\]
Тепер ми виведемо краще наближення,\[ k\cot\delta_0(k)\simeq -(1/a)+\frac{1}{2}r_0k^2, \label{10.3.8}\]
де\(r_0\), званий «ефективним діапазоном», дає деяку міру ступеня потенціалу (на відміну від того\(a\), який, як ми бачили, може бути як завгодно великим, навіть для потенціалу малої дальності).
Корисним математичним інструментом, необхідним на даний момент, є Вронський. Для двох функцій\(f(x)\)\(g(x)\) Вронський визначається як\[ W(f,g)=fg'-f'g, \label{10.3.9}\]
просте, що позначає диференціацію як зазвичай. З цього\(W'(f,g)=fg''-f''g\), і якщо\(f(x), g(x)\) задовольнити те ж диференціальне рівняння другого порядку (як рівняння Шредінгера з тією ж енергією)\(W'=0\), то, так\(W(f,g)\) само постійна, незалежна від\(x\).
Для радіального рівняння Шредінгера асимптотично\[ u(k,r)\to C\sin(kr+\delta_0)≡v(k,r) \label{10.3.10}\]
де ми зараз показуємо\(k\) явно. Ця асимптотична функція\(v(k,r)\) задовольняє рівнянню Шредінгера для нульового потенціалу, але не має правильної фізичної граничної поведінки при\(r=0\).
Оскільки в межі низьких енергій\(\delta_0(k)=-ka\)\(k=0\) асимптотична хвильова функція\[ v(0,r)=1-r/a \label{10.3.11}\]
(Беручи\(C=1/sin\delta_0\)).
З рівняння Шредінгера\[ -u''(k,r)+(2mV(r)/\hbar^2)u(k,r)=k^2u(k,r) \label{10.3.12}\]
легко перевірити, що Вронскіан\(u(k,r)\) з відповідною функцією нульової енергії\(u(0,r)\) задовольняє:\[ \frac{d}{dr}W[u(k,r),u(0,r)]=k^2u(k,r)u(0,r). \label{10.3.13}\]
(Термін, що включає потенціал,\(dW/dr\) скасований: тут ненульовий, оскільки ці дві функції не задовольняють одному диференціальному рівнянню, енергетичні терміни різні.)
Відповідні функції\(v(k,r), v(0,r)\) задовольняють тому ж рівнянню Вронського:\[ \frac{d}{dr}W[v(k,r),v(0,r)]=k^2v(k,r)v(0,r). \label{10.3.14}\]
Ми можемо знайти формулу ефективного діапазону,\(r_0\) інтегруючи різницю між цими двома рівняннями від\(r=0\) до нескінченності: два розв'язки\(u,v\) відрізняються лише в межах діапазону потенціалу, і відповідним чином нормалізуючи їх, потім приймаючи різницю, дає міру цього діапазон.
Так\[ \begin{matrix} \{ W[v(k,r),v(0,r)]-W[u(k,r),u(0,r)]\}^{r=\infty}_{r=0} \\ =k^2\int_{0}^{\infty} [v(k,r)v(0,r)-u(k,r)u(0,r)] dr \end{matrix} \label{10.3.15}\]
Для\(r\) великих\(u(k,r)\to v(k,r)\), так є нульовий внесок з верхнього кінця. Бо\(r\to 0\), правильно поведені\(u\) функції йдуть в нуль,\(v\) функції\[ v(k,r)=C\sin(kr+\delta_0) =\sin(kr+\delta_0)/sin\delta_0 \label{10.3.16}\]
з якого, з\[ \delta_0(k)=-ka,\;\; v(0,r)=1-r/a. \label{10.3.17}\]
відразу випливає, що\[ W[v(k,r),v(0,r)]_{r=0}=-\frac{1}{a}-k\cot\delta_0 \label{10.3.18}\]
і тому\[ k\cot\delta_0=-\frac{1}{a}+k^2\int_{0}^{\infty} [v(k,r)v(0,r)-u(k,r)u(0,r)] dr \label{10.3.19}\]
з обмеженням низької енергії\[ k\cot\delta_0=-\frac{1}{a}+\frac{1}{2}k^2r_0 \label{10.3.20}\]
де\[ r_0=2\int_{0}^{\infty} [v^2(0,r)-u^2(0,r)] dr. \label{10.3.21}\]
Тепер, за визначенням\(u(0,r), v(0,r)\) збігаються поза діапазоном потенціалу, але рухаючись від цього регіону до походження, вони розлучаються з компанією, коли потенціал починає працювати, з\(u\to 0\),\(v\to 1\) як\(r\to 0\). Тому інтеграл вище є грубою мірою фактичного діапазону potential— близько половини його (отже, фактор\(2\) у визначенні\(r_0\)). Знову зверніть увагу на контраст з\(a\), який може бути нескінченним для потенціалу короткого діапазону.
Кулонівське розсіяння та пов'язані стани атома водню
Один конкретний набір зв'язаних станів у потенціалі, на який ми витратили багато часу, - це стани атома водню, і цікаво подивитися, як вони пов'язані з розсіюванням. Нагадаємо, що асимптотична форма хвильової функції зв'язаного стану є:\[ R_{nl}(r)\sim r^n\frac{e^{-r/na_0}}{r}. \label{10.3.22}\]
Але це не має обмеженої форми стану ми знайшли вище з аналітичного продовження аргументу, є додаткове\(r^n\)! Що відбувається? Проблема полягає в тому, що у всіх наших попередніх роботах ми припускали, що якщо ми дивимося досить далеко від центру потенціалу, радіальне рівняння Шредінгера може бути прийнято таким, що для нульового потенціалу, з будь-якою бажаною точністю. Потенціал Кулона, однак, не розпадається досить швидко з відстанню, щоб це було правдою. Наприклад, він має зв'язані стани, що мають довільно великі радіуси.
Написання
\[ \kappa =\frac{1}{na_0}=\frac{me^2}{n\hbar^2} \label{10.3.23}\]
у нас є
\[ R_{nl}(r)\sim \frac{1}{r}e^{-\kappa r+(me^2/\hbar^2\kappa )\ln r}. \label{10.3.24}\]
Зверніть увагу, що додатковий термін в експоненті продовжує зростати, без обмежень! Ми ніколи не вільні від потенціалу.
Але як цей аналіз хвильових функцій атома водню пов'язаний зі станами розсіювання позитивної енергії? Ми можемо просто аналітично продовжити цей результат назад до реального\(k\), щоб з'ясувати. Заміна\(-\kappa\) на\(ik\) дає:
\[ R_{nl}(r)\sim \frac{1}{r}e^{i(kr+(me^2/\hbar^2k)\ln r)}. \label{10.3.25}\]
Отже, ми маємо стани розсіювання, які також не мають стандартної форми - фазовий зсув нескінченний, і не чітко визначено. Але ми виявили, що цей результат аналітично продовжується від пов'язаних станів атома водню. Давайте перевіримо це: давайте подивимося на радіальне рівняння Шредінгера для позитивних енергій в цілому\(r\). Пишемо,\(R(r)=u(r)/r\) як завжди, давайте також поставимо\(u(r)=e^{ikr}v(r)\) для великих\(r\), і ми також можемо ігнорувати термін відцентрового бар'єру, тому\[-\frac{\hbar^2}{2m}u''-\frac{e^2}{r}u=Eu=\frac{\hbar^2k^2}{2m}u. \label{10.3.26}\]
Рівняння\(v(r)\) для
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}(2ikv'+v'')-\frac{e^2}{r}v=0 \label{10.3.27}\]
і оскільки повільно\(v(r)\) змінюється, другу похідну можна ігнорувати, тому
\[ v'\cong \frac{ime^2}{\hbar^2kr}v \label{10.3.28}\]
Це призводить відразу до тієї ж форми, яку ми знайшли аналітичним продовженням.
Резонанси та пов'язані нулі
Нагадаємо, в першому семестрі ми обговорювали\(\alpha\) - розпад:\(\alpha\) частинку у важкому ядрі можна вважати захопленою в потенційній ядрі, породженої привабливими ядерними силами. Сферична квадратна свердловина є працездатним наближенням, за винятком того, що ця квадратна свердловина знаходиться на вершині пагорба - поза ядром, відштовхуючий електростатичний потенціал\((Z-2)2e^2/r\), нахилений вниз від краю свердловини до нуля, як\(r\to \infty\). Це означає, що для радіоактивного ядра, хоча рівень енергії буде негативною енергією для квадратної свердловини на рівній землі, насправді це вище дна електростатичного пагорба, і\(r\to \infty\) хвильова функція не буде руйнуватися, а коливатися. Ця асимптотична хвиля, звичайно, дуже крихітна, оскільки, як правило, шанси виявити\(\alpha\) лунку поза ядром, тобто розпаду, становить один на мільйони років.
Тепер розглянемо зворотний процес: уявіть, що ми бомбардуємо згниле ядро\(\alpha\) частинками. Якщо ми послали в одну точно потрібну енергію (дуже важко—це розумовий експеримент!) хвильова функція була б точно такою ж, як і для\(\alpha\) розпаду. Хвильова функція всередині ядра була б величезною порівняно з тим, що зовні, ми ніколи не побачимо нашу\(\alpha\) знову. Менш різко, якщо ми послали одну, близьку до цієї енергії, хвильова функція все одно була б дуже великою всередині ядра, а це означає, що частинка буде проводити довгий час всередині, перш ніж вийти знову. (Нагадаємо, що для частинки потенціалу американських гірок в одному вимірі хвильова функція велика, де частинка витрачає багато часу - саме там ви, швидше за все, її знайдете.) Це резонанс: при правильній енергії амплітуда хвильової функції всередині потенціалу стає дуже великою, аналогічною амплітуді класичного керованого генератора, оскільки частота руху регулюється до частоти власне генератора.
Чи можемо ми зрозуміти це з точки зору полюсів в\(S\) - матриці? Розглядається як функція енергії, матриця\(S\) - має полюси при негативних енергіях, що відповідають зв'язаним станам. Але це позитивна енергія - і\(|S(k)|=1\) для позитивних енергій: це режим реального фізичного розсіювання. Що він може мати, - це полюс поблизу позитивної енергії, у складній площині. Щоб зберегти\(|S(k)|=1\), тоді він повинен мати нуль у точці дзеркального відображення, тобто бути локально форми\[ S_l(E)=e^{2i\delta_l(E)}=\frac{E-E_0-i\Gamma /2}{E-E_0+i\Gamma /2}. \label{10.3.29}\]
З цього\[ \tan\delta_l(E)=-\Gamma /2(E-E_0), \label{10.3.30}\]
так\[ \delta_l(E_0)=\pi/2, \label{10.3.31}\]
і перетин розсіювання досягає максимально можливого значення, нагадаємо
\[ \sigma =4\pi\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)|f_l(k)|^2=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)\sin^2\delta_l, \label{10.3.32}\]
тому
\[ \sigma^{max}_l=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1) .\label{10.3.33}\]
Для вузького резонансу (малого\(\Gamma\)) фазовий зсув швидко\(\delta_l(E)\) йде від\(0\) до\(\pi\), коли енергія збільшується\(E_0\). Велика частина варіації відбувається в межах\(\Gamma\) енергетичного діапазону\(E_0\),\(\Gamma\) називається шириною резонансу. Якщо резонанс накладається на повільно змінюється фоновий зсув фаз\(\delta\), то він викликає збільшення від\(\delta\) до\(\delta+\pi\). Це буде проходити через\(0\) або\(\pi\), в залежності від початкового знака\(\delta\), тому максимальне розсіювання при зсуві фаз\(\pi/2\) буде пов'язане з ним енергією, при якій відбувається нульове розсіювання. Для істотного фону\(\delta\) нуль може бути близьким до піку, як показано нижче:
