10.4: Ідентичні частинки - симетрія та розсіювання

Вступ

Для двох однакових частинок, обмежених одновимірною коробкою, ми встановили раніше, що нормована двочастинкова хвильова функція\(\psi(x_1,x_2)\), яка дає ймовірність знаходження одночасно однієї частинки\(dx_1\) на нескінченно малій довжині в,\(x_1\) а іншу в\(dx_2\) at\(x_2\) as \(|\psi(x_1,x_2)|^2dx_1dx_2\), має сенс лише тоді\(|\psi(x_1,x_2)|^2=|\psi(x_2,x_1)|^2\), коли, оскільки ми не знаємо, яку з двох нерозрізнених частинок ми знаходимо де. З цього випливає, що можливі дві симетрії хвильової функції:\(\psi(x_1,x_2)=\psi(x_2,x_1)\) або\(\psi(x_1,x_2)=-\psi(x_2,x_1)\). Виявляється, якщо дві однакові частинки мають симетричну хвильову функцію в якомусь стані, частинки такого типу завжди мають симетричні хвильові функції, і називаються бозонами. (Якби в якомусь іншому стані вони мали антисиметричну хвильову функцію, то лінійна суперпозиція цих станів не була б ні симетричною, ні антисиметричною, і тому не могла задовольнити\(|\psi(x_1,x_2)|^2=|\psi(x_2,x_1)|^2\).) Аналогічно частинки, що мають антисиметричні хвильові функції, називаються ферміонами. (Насправді, ми могли б в принципі мати\(\psi(x_1,x_2)=e^{i\alpha}\psi(x_2,x_1)\), з\(\alpha\) постійною фазою, але тоді ми не повернемося до вихідної хвильової функції на обмін частинками двічі. Деякі двовимірні теорії, що використовуються для опису квантового ефекту Холла, насправді мають збудження такого роду, звані anyons, але всі звичайні частинки є бозонами або ферміонами.)

Для побудови хвильових функцій для трьох або більше ферміонів ми спочатку припускаємо, що ферміони не взаємодіють один з одним і обмежені спіннезалежним потенціалом, таким як кулонівське поле ядра. Тоді гамільтоніан буде симетричним у змінних ферміонів,\[ H=\vec{p}^2_1/2m+\vec{p}^2_2/2m+\vec{p}^2_3/2m+\dots +V(\vec{r}_1)+V(\vec{r}_2)+V(\vec{r}_3)+\dots \tag{10.4.1}\]

а розв'язки рівняння Шредінгера є добутками власних функцій одночастинкового гамільтоніана\(H=\vec{p}^2/2m+V(\vec{r})\). Однак ці вироби, наприклад\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)\), не володіють необхідним властивістю антисиметрії. Тут\(a,b,c,\dots\) позначають одночастинкові власні стани, і\(1, 2, 3, \dots\) позначають як простір, так і спінові координати окремих частинок, так що 1 означає\((\vec{r}_1,s_1)\). Необхідна антисиметризація для частинок 1, 2 досягається шляхом віднімання тієї ж хвильової функції продукту з частинками 1 і 2, зміненими місцями, тому\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)\) замінюється на\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)-\psi_a(2)\psi_b(1)\psi_c(3)\), ігноруючи загальну нормалізацію поки що.

Але, звичайно, хвильова функція повинна бути антисиметризованою щодо всіх можливих обмінів частинок, тому для 3 частинок ми повинні скласти разом всі 3! перестановки 1, 2, 3 в стані\(a,b,c\) з коефіцієнтом -1 для кожного обміну частинок, необхідні для того, щоб дістатися до конкретного впорядкування від початкового порядку 1 в\(a\), 2 в\(b\) і 3 в\(c\). По суті, така сума над перестановками якраз і є визначенням детермінанти, так, при відповідному нормалізації коефіцієнта:\[ \psi_{abc}(1,2,3)=\frac{1}{\sqrt{3!}}\begin{vmatrix} \psi_a(1)& \psi_b(1)& \psi_c(1) \\ \psi_a(2)& \psi_b(2)& \psi_c(2) \\ \psi_a(3)& \psi_b(3)& \psi_c(3) \end{vmatrix} \tag{10.4.2}\]

де\(a,b,c\) позначають три (різні) квантові стани і 1, 2, 3 позначають три ферміони. Детермінантна форма дає зрозуміти антисиметрію хвильової функції щодо обміну будь-якими двома частинами, оскільки обмін двома рядами детермінанта множить її на -1.

Ми також бачимо з детермінантної форми, що всі три стани\(a,b,c\) повинні бути різними, бо інакше два стовпці були б однаковими, а визначник був би нулем. Це лише принцип виключення Паулі: жодні два ферміони не можуть перебувати в одному стані. Хоча ці детермінантні хвильові функції (іноді їх називають детермінантами Слейтера) є лише суворо правильними для невзаємодіючих ферміонів, вони є корисним початком для опису електронів в атомах (або в металі), при цьому електронно-електронне відштовхування наближено потенціалом однієї частинки. Наприклад, кулонівське поле в атомі, як видно зовнішніми електронами, частково екрановано внутрішніми електронами, і відповідне\(V(r)\) може бути побудовано самопослідовно, обчислюючи власні стани одночастинкових і знаходячи пов'язані з ними щільності заряду.

Функції простору та спінових хвиль

Припустимо, у нас є два електрони в деякому спін-незалежному потенціалі\(V(r)\) (наприклад, в атомі). Ми знаємо, що хвильова функція двох електронів є антисиметричною. Тепер гамільтоніан не має спін-залежності, тому ми повинні вміти побудувати сукупність загальних власних станів гамільтоніана, загального спина і\(z\) - складової загального спина.

Для двох електронів існує чотири базисних стани в спіновий просторі. Власні\(S\) стани і\(S_z\) є синглетним станом\[ \chi_S(s_1,s_2)  =  |S_{tot}=0,S_z=0\rangle   =  (1/\sqrt{2})(|\uparrow\downarrow\rangle -|\downarrow\uparrow\rangle ) \tag{10.4.3}\]

і триплет держав\[ \chi^1_T(s_1,s_2)  =  |1,1\rangle   =  |\uparrow\uparrow\rangle ,\;\; |1,0\rangle =  (1/\sqrt{2})(|\uparrow\downarrow\rangle +|\downarrow\uparrow\rangle ),\;\; |1,-1\rangle =|\downarrow\downarrow\rangle \tag{10.4.4}\]

де перша стрілка в кеті відноситься до спина частинки 1, друга до частки 2.

З огляду видно, що функція синглетної спінової хвилі є антисиметричною у двох частинках, триплетної симетричною. Загальна хвильова функція для двох електронів у загальному власному стані\(S, S_z\) та гамільтоніана\(H\) має вигляд:\[ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,s_1,s_2)=\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\chi(s_1,s_2) \tag{10.4.5}\]

і\(\Psi\) повинні бути антисиметричними. Звідси випливає, що пара електронів в стані синглетного спина повинна володіти симетричною просторовою хвильовою функцією,\(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)=\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_1),\) тоді як електрони в триплетному стані, тобто при паралельних їх спинами, мають антисиметричну просторово-хвильову функцію.

Динамічні наслідки симетрії

Ця загальна вимога антисиметрії фактично визначає магнітні властивості атомів. Магнітний момент електрона вирівнюється з його спіном, і хоча спінові змінні не з'являються в гамільтоніані, енергія власних станів залежить від відносної орієнтації спина. Це виникає внаслідок електростатичної енергії відштовхування між електронами. У просторово-антисиметричному стані два електрони мають нульову ймовірність перебувати на одному місці і знаходяться в середньому далі один від одного, ніж у просторово-симетричному стані. Тому електростатичне відштовхування піднімає енергію просторово-симетричного стану вище енергії просторово-антисиметричного стану. Звідси випливає, що нижчий енергетичний стан має спини, спрямовані в ту ж сторону. Цей аргумент все ще справедливий для більш ніж двох електронів, і призводить до правила Гунда про намагнічування неповністю заповнених внутрішніх оболонок електронів в атомах перехідних металів і рідкісноземельних: якщо оболонка заповнена наполовину або менше, все спини вказують в одному напрямку. Це перший крок у розумінні феромагнетизму.

Інший приклад важливості антисиметрії загальної хвильової функції для ферміонів наводиться питомою теплотою газоподібного водню. Це виявляється сильно залежним від того, чи два протони (спін одна половина) у молекулі H ₂ мають свої спини паралельні або антипаралельні, хоча це вирівнювання включає лише дуже крихітну енергію взаємодії. Якщо протонні спини є антипаралельними, тобто в синглетному стані, молекула називається парагідрогеном. Триплетний стан називається ортоводневим. Ці два різні гази надзвичайно стабільні - за відсутності магнітних домішок пара-орто переходи займають тижні.

Фактична енергія взаємодії протонних спінів, звичайно, абсолютно незначна в питомій теплоті. Важливим внеском у питому теплоту є звичайний термін кінетичної енергії та енергія обертання молекули. Тут відіграє певну роль загальна (простір × спін) антисиметрична хвильова функція для протонів. Нагадаємо, що парність стану з обертальним моментом\(l\) дорівнює\((-1)^l\). Тому парагідроген з антисиметричною функцією протонної спінової хвилі повинен мати симетричну протонну функцію космічної хвилі, і тому може мати лише рівні значення обертального моменту. Ортогідроген може мати тільки непарні значення. Енергія обертального рівня з кутовим імпульсом\(l\) є\(E^{rot}_l=\hbar^2l(l+1)/I\), тому два види водневого газу мають різні набори рівнів енергії обертання, а отже, і різні питомі нагрівання.

Симетрія триелектронних хвильових функцій

Речі стають складнішими, коли ми йдемо до трьох електронів. Зараз у просторі спіна є 2 ³ = 8 основних станів. Чотири з них припадають на стан спина 3/2 з усіма спинами, що вказують в одному напрямку. Це, очевидно, симетричний стан, тому його потрібно помножити на антисиметричну просторову хвильову функцію, детермінанту. Але інші чотири держави - це дві пари загальних спінових\(1/2\) станів. Вони ортогональні до стану симетричного спина 3/2, тому вони не можуть бути симетричними, але вони також не можуть бути антисиметричними, оскільки в кожному такому стані два спини повинні бути спрямовані в одному напрямку! Прикладом такого стану (за Баймом, стор. 407) є\[ \chi(s_1,s_2,s_3)  =   |\uparrow_1\rangle (1/\sqrt{2})(|\uparrow_2\downarrow_3\rangle -|\downarrow_2\uparrow_3\rangle ). \tag{10.4.6}\]

Очевидно, це потрібно помножити на просторову хвильову функцію, симетричну в 2 і 3, але для отримання загальної хвильової функції із загальною антисиметрією необхідно додати більше термінів:\[ \Psi(1,2,3)=\chi(s_1,s_2,s_3)\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,\vec{r}_3)+\chi(s_2,s_3,s_1)\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_3,\vec{r}_1)+\chi(s_3,s_1,s_2)\psi(\vec{r}_3,\vec{r}_1, \vec{r}_2) \tag{10.4.7}\]

(з Байма). Вимагати симетричної функції\(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,\vec{r}_3)\) просторової хвилі у 2, 3 достатньо, щоб гарантувати загальну антисиметрію загальної хвильової функції\(\Psi\). Ентузіастам частинок може бути цікаво відзначити, що функції саме так виникають при побудові хвильової функції спін/аромату для протона в моделі кварка (Griffiths, Вступ до елементарних частинок, сторінка 179).

Для більш ніж трьох електронів подібні міркування дотримуються. Змішані симетрії просторових хвильових функцій і спінових хвильових функцій, які разом утворюють абсолютно антисиметричну хвильову функцію, досить складні і описуються діаграмами Янга (або таблицею). Існує просте вступ, включаючи узагальнення до SU (3), в Сакураї, розділ 6.5. Див. Також\(\S\) 63 Ландау і Ліфшиц.

Розсіювання однакових частинок

В якості попередньої вправи розглянемо класичну картину розсіювання між двома позитивно зарядженими частинками, наприклад\(\alpha\) - частинками, розглянутими в центрі маси кадру. Якщо вихідний\(\alpha\) виявлено під кутом\(\theta\) до шляху вхідного\(\alpha\) #1, він може бути відхилений наскрізь\(\theta\) #1 або #2 відхилений наскрізь\(\pi-\theta\). (Див. Малюнок). Класично, ми могли б сказати, який саме він був, спостерігаючи за зіткненням, як це сталося, і відстежуючи.

Однак у процесі квантового механічного розсіювання ми не можемо відстежувати частинки, якщо не бомбардуємо їх фотонами, довжина хвилі яких значно менша за відстань найближчого наближення. Це так само, як виявлення електрона в конкретному місці, коли в одновимірній коробці є два електрони: амплітуда ймовірності знаходження\(\alpha\) виходить під кутом\(\theta\) до вхідного напрямку одного з них - сума амплітуд (а не сума ймовірності!) для розсіювання через\(\theta\) і\(\pi-\theta\).

Запис асимптотичної хвильової функції розсіювання в стандартній формі для розсіювання від нерухомої цілі,\[ \psi(\vec{r})\approx e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \tag{10.4.8}\]

двочастинкова хвильова функція в центрі кадру мас, через відносну координату, задається симетризуванням:\[ \psi(\vec{r})\approx e^{ikz}+e^{-ikz}+(f(\theta)+f(\pi-\theta))\frac{e^{ikr}}{r}. \tag{10.4.9}\]

Як симетрія частинок впливає на фактичну швидкість розсіювання під кутом\(\theta\)? Якби частинки були помітні, диференціальний перетин був би\[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{distinguishable}=|f(\theta)|^2+|f(\pi-\theta)|^2, \tag{10.4.10}\]

але квантово механічно\[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)=|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2. \tag{10.4.11}\]

Це робить велику різницю! Наприклад, для розсіювання через 90°\(f(\theta)=f(\pi-\theta)\), де швидкість квантового механічного розсіювання вдвічі перевищує класичне (помітне) прогнозування.

Крім того, якщо зробити стандартне розширення амплітуди розсіювання\(f(\theta)\) за частковими хвилями,\[ f(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_lP_l(\cos\theta) \tag{10.4.12}\]

потім\[ \begin{matrix} f(\theta)+f(\pi-\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_l(P_l(\cos\theta)+P_l(cos(\pi-\theta))) \\ =\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_l(P_l(\cos\theta)+P_l(-\cos\theta)) \end{matrix} \tag{10.4.13}\]

і оскільки\(P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\) розсіювання відбувається лише в парціальних хвильових станах. Це те ж саме, що говорити про те, що загальна хвильова функція двох однакових бозонів симетрична, тому якщо вони знаходяться у власних станах сумарного моменту моменту, від\(P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\) нього має бути стан парного\(l\).

Для ферміонів в антисиметричному спіновому стані, таких як протонне розсіювання з двома протонними спинами, що утворюють синглет, просторова хвильова функція симетрична, і аргумент такий же, як і для випадку бозона вище. Однак для паралельних спінових протонів функція просторової хвилі повинна бути антисиметричною, а амплітуда розсіювання тоді буде\(f(\theta)-f(\pi-\theta)\). У цьому випадку відбувається нульове розсіювання при 90°!

Зверніть увагу, що для (нерелятивістських) частинок рівної маси кут розсіювання в центрі кадру маси вдвічі перевищує кут розсіювання у фіксованій цільовій (лабораторній) рамці. Це легко побачити на схемі нижче. Чотири чорні стрілки рівної довжини, два в, два з, утворюючи X, є центром маси momenta. Лабораторні моменти задаються шляхом додавання (тієї ж довжини) синьої пунктирної стрілки до кожної, зменшуючи один з вхідних моментів до нуля, і даючи (червона стрілка) лабораторні моменти (трохи зміщені для наочності). Вихідні лабораторні моменти - це діагоналі ромбів (рівнобічні паралелограми), отже, під прямим кутом і бісекцією центру маси кутів розсіювання.