Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.4: Представлення взаємодії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76793

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Нагадаємо, що в першій частині цієї послідовності курсу ми обговорювали тут уявлення про квантову механіку Шредінгера та Гейзенберга. У поданні Шредінгера оператори є незалежними від часу (за винятком явно залежних від часу потенціалів), у часі розвиваються кети, що представляють квантові стани. У поданні Гейзенберга кети залишаються незмінними, залежність від часу знаходиться в операторах. Ці різні уявлення описують одну і ту ж фізику - матричні елементи операторів між кетами повинні бути однаковими в обох. Найбільш природне у використанні залежить від наявної проблеми. У класичній границі, наприклад, оператори Гейзенберга мають часову залежність відповідних класичних операторів.

    Насправді для задач теорії збурень з залежним від часу потенціалом дуже зручно проміжне уявлення - представлення взаємодії. Використовуючи індекс\(S\) для позначення подання Шредінгера,

    \[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle =H_S|\psi_S(t)\rangle =(H_S^0+V_S(t))|\psi_S(t)\rangle, \label{9.4.1}\]

    визначаємо представлення взаємодії унітарним перетворенням

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =e^{iH^0_St/\hbar} |\psi_S(t)\rangle \label{9.4.2}\]

    Таким чином, взаємодія представлення kets і шредінгер представлення kets збігаються в\(t=0\), і якщо взаємодія була нульовою, взаємодія представлення kets були б постійними в часі, як і в поданні Гейзенберга.

    Тоді для ненульових\(V(t)\), час розвитку взаємодій представлення kets повністю обумовлений\(V(t)\), і легко знайти шляхом диференціації обох сторін рівняння:

    \[ \begin{matrix} i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle =-H^0|\psi_I(t)\rangle+e^{iH^0_St/\hbar} i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle \\ =-H^0|\psi_I(t)\rangle+e^{iH^0_St/\hbar} (H^0_S+V_S(t))e^{-iH^0_St/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \\ =e^{iH^0_St/\hbar} V_S(t)e^{-iH^0_St/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \\ =V_I(t)|\psi_I(t)\rangle, \end{matrix} \label{9.4.3}\]

    де ми ввели оператор представлення взаємодії\(V_I(t)\), що визначається\[ V_I(t)=e^{iH^0_St/\hbar} V_S(t)e^{-iH^0_St/\hbar}. \label{9.4.4}\]

    Оператори в цьому поданні повинні мати цю залежність часу відносно операторів Шредінгера, щоб гарантувати, що елементи матриці, єдині величини фізичної значущості, однакові в двох уявленнях. Тобто, ми повинні мати

    \[ \langle f^0_I|O_I|i^0_I\rangle = \langle f^0_S|O_S|i^0_S\rangle, \label{9.4.5}\]

    два уявлення повинні передбачати однакову амплітуду ймовірності для будь-якого переходу. Інтегруючи обидві сторони диференціального рівняння,

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)|\psi_I(t′)\rangle . \label{9.4.6}\]

    Це не рішення - ми тільки що перейшли від диференціального рівняння до інтегрального рівняння. Це варто робити тільки в тому випадку, якщо\(V_I\) воно невелике, і в цьому випадку інтегральне рівняння може бути вирішено ітераційно.

    Тоді нульове наближення

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle. \label{9.4.7}\]

    Введення цього значення в малий член праворуч від інтегрального рівняння дає рішення першого порядку,\[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(t_0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)|\psi_I(0)\rangle . \label{9.4.8}\]

    Рішення другого порядку тепер дається шляхом введення рішення першого порядку в інтеграл праворуч:

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)\left( |\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^{t′}dt′′V_I(t′′)|\psi_I(0)\rangle \right)  . \label{9.4.9}\]

    \(T\)Символ означає, що при розширенні експоненціальної, оператори в різний час розташовуються в порядку часу, останні зліва, не турбуючись про комутатори. Якщо просто сліпо розширити експоненту, то отримаємо, наприклад, термін третього порядку

    \[ T\frac{1}{3!}\left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)\right) \left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′′V_I(t′′)\right) \left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′′′V_I(t′′′)\right) . \label{9.4.10}\]

    \(T\)Оператор говорить нам переставити\(V_I(t)\) 'и в хронологічному порядку. Оскільки їх три, вони чітко з'являються у всіх можливих\(T\) замовленнях перед операціями, тобто їх 3! різні впорядковані терміни, що\(T\) робить те ж саме. Це просто красиво скасовує 3! в експоненціальному розширенні, щоб дати нам вираз, який ми знайшли за допомогою ітерації.

    Таким чином, ця експоненціальна за часом є пропагандатором представлення взаємодії:

    \[ |\psi_I(t)\rangle =U_I(t,0)|\psi_I(0)\rangle,\;\; U_I(t,0)=T \exp\left( -i\hbar \int_0^t dt′V_I(t′)\right) . \label{9.4.11}\]