1.5: Електрон у коробці

Рішення площинних хвиль

Найкращий спосіб отримати розуміння рівняння Шредінгера - це вирішити його для різних потенціалів. Найпростіша - це одновимірна задача «частка в коробці». Відповідний потенціал становить\(V(x) = 0\)\(x\) від 0,\(L\) а\(V(x) = \infty\) інакше - тобто є нескінченно високі стіни при\(x = 0\) і\(x = L\), і частинка знаходиться в пастці між ними. Це виявляється досить хорошим наближенням для електронів в довгій молекулі, а тривимірний варіант є розумною картиною для електронів в металах.

Між\(x = 0\) і\(x = L\) ми маємо\(V = 0\), так що хвильове рівняння просто

\[ i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi (x,t)}{\partial x^2}. \tag{1.5.1} \]

Можливе рішення плоских хвиль

\[ \psi (x,t) =Ae^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}. \tag{1.5.2} \]

Вставивши це в рівняння Шредінгера з нульовим потенціалом вище, ми знаходимо\(E=p^2/2m\), як ми очікуємо.

Дуже важливо помітити, що складний сполучений, пропорційний\(e^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\), не є рішенням рівняння Шредінгера! Якщо сліпо покласти його в рівняння, ми отримаємо

\[E=\dfrac{-p^2}{2m}\]

Однак це нефізичний результат.

Однак хвильова функція пропорційна\(e^{-\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\) дає\(E=p^2/2m\), тому ця плоска хвиля є рішенням рівняння.

Тому два дозволених плоскохвильових розв'язку рівняння Шредінгера з нульовим потенціалом пропорційні\(e^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\) і\(e^{-\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\) відповідно.

Зверніть увагу, що ці два рішення мають однакову часову залежність\(e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}}\).

Щоб вирішити відповідне рішення нашої проблеми електрона в коробці, ми, звичайно, повинні принести в стіни - те, що вони означають, що\(\psi=0\) для\(x < 0\) і для,\(x > L\) тому що пам'ятайте,\(|\psi|^2\) говорить нам про ймовірність знайти частинку в будь-якому місці, і, оскільки вона знаходиться в коробці, це в пастці між стінами, тому існує нульова ймовірність знайти його зовні.

Умова\(\psi=0\) при\(x = 0\) і\(x = L\) нагадує нам про вібруючу струну з двома фіксованими кінцями - рішення хвильового рівняння струни є стоячими хвилями синусоїдальної форми. Насправді, взяття різниці двох дозволених плоскохвильових форм вище дає рішення такого типу:

\[ \psi(x,t)=A\sin \dfrac{px}{\hbar}e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.3} \].

Ця хвильова функція задовольняє рівняння Шредінгера між стінками, вона зникає біля\(x = 0\) стіни, вона також зникне за\(x = L\) умови, що змінна імпульсу задовольняє:

\[ \dfrac{pL}{\hbar}=\pi, \, 2\pi, \, 3\pi... \tag{1.5.4} \]

Таким чином, допустимі значення\(p\) є\(hn/2L\), де\(n = 1, 2, 3…\), і від\(E=p^2/2m\) дозволених енергетичних рівнів частинки складають:

\[ E=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,\; \dfrac{4}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,\; \dfrac{9}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,... \tag{1.5.5} \]

Зверніть увагу, що ці енергетичні рівні стають все більш широко розподіленими при високих енергіях, на відміну від потенціалу атома водню. (Як ми побачимо, потенціал гармонійного осцилятора дає однаково розташовані рівні енергії, тому, вивчаючи, як інтервал рівнів енергії змінюється в залежності від енергії, ми можемо дізнатися щось про форму потенціалу.)

А як щодо загальної мультиплікативної\(A\) константи в хвильовій функції? Це може бути реальним або складним. Щоб знайти його значення, зверніть увагу, що в фіксований час\(t = 0\), скажімо, ймовірність знаходження електрона між\(x\) і\(x + dx\) є\(|\psi|^2dx\) або

\[ |A|^2\sin^2 \dfrac{px}{\hbar}dx \tag{1.5.6} \]

Загальна ймовірність того, що частка знаходиться десь між 0,\(L\) повинна бути одиницею:

\[ |\psi|^2dx\]

або

\[ \int\limits_{x=0}^{x=L} |A|^2\sin^2 \dfrac{px}{\hbar}dx=1, \: so\: \dfrac{1}{2}L|A|^2=1 \tag{1.5.7} \]

Звідси

\[ \psi(x,t)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \dfrac{px}{\hbar}e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.8} \]

Коли\(A\) фіксується таким чином, вимагаючи, щоб повна ймовірність знаходження частки десь була одиницею, це називається постійною нормалізації.

Стаціонарні стани

Зверніть увагу, що в більш пізній час розподіл ймовірностей для хвильової функції\[ \psi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{px}{\hbar}e^{-\frac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.9} \]

те саме, тому що час з'являється лише як фазовий фактор у цій функції, що залежить від часу, і тому не впливає\(|\psi|^2\).

Стаціонарним станом називають стан з незалежним від часу розподілом ймовірностей.

Стани з рухомими розподілами ймовірностей

Нагадаємо, що рівняння Шредінгера є лінійним рівнянням, а сума будь-яких двох розв'язків також є рішенням рівняння. Це означає, що ми можемо додати два рішення, що мають різні енергії, і все ще мають правову хвильову функцію. Встановлюємо, що в цьому випадку розподіл ймовірностей змінюється в часі.

Найпростіший спосіб побачити, як це повинно бути - подивитися на прикладі. Додамо до першого збудженого стану подрібнене стан, і нормалізуємо суму:\[ \psi(x,t)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( \sin\frac{\pi x}{L}e^{-\frac{i\pi ht}{4mL^2}}+\sin\frac{2\pi x}{L}e^{-\frac{i\pi ht}{mL^2}} \right) \tag{1.5.10} \]

\[ note: \; h, \; not \; \hbar. \]

(Ви можете перевірити константу нормалізації в\(t=0\)). Загалом\(x\), два члени в дужці обертаються в комплексній площині з різною швидкістю, тому їх сума має величину, що змінюється в часі. Тобто\(|\psi(x,t)|^2\) змінюється в часі, тому частинка повинна рухатися навколо - це не нерухомий стан.

Вправа: Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що\(t=0\) у хвильової функції є:\[ \psi(x,0)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( \sin\frac{\pi x}{L}+\sin\frac{2\pi x}{L} \right) \tag{1.5.11} \]

і намалюйте цю функцію: частка, швидше за все, буде знайдена в лівій половині коробки.

Тепер, припустимо, час є\(t=4mL^2/h\), так\(e^{-\frac{i\pi ht}{4mL^2}}=-1\). В цей час\[ \psi(x,2L^2/h)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( -\sin\frac{\pi x}{L}+\sin\frac{2\pi x}{L} \right) \tag{1.5.11} \]

і нескладно помітити, що частка швидше знаходиться в правій половині.

Тобто ця хвильова функція, лінійна сума хвильових функцій, що відповідають різним енергіям, має розподіл ймовірностей, який нахиляється вперед і назад у вікні: і будь-яка спроба описати рух частинок класичного типу, підстрибуючи вперед і назад, обов'язково передбачає додавання кванта хвильові функції різних енергій. Зауважимо, що частота ухиляючого руху залежить від різниці двох енергій: наскільки конструктивно заважають дві складові, залежить від різниці фаз в енергіях в той час. Функція однієї енергетичної хвилі завжди має статичний розподіл ймовірностей.

Звичайно, повна ймовірність знаходження частки десь в коробці залишається одиницею: константа нормалізації незалежна від часу.

Незалежне від часу рівняння Шредінгера: власні стани та власні значення

Єдиний спосіб запобігти\(|\psi(x,t)|^2\) зміні в часі - це мати всі його частини зміни фази в часі з однаковою швидкістю. Це означає, що всі вони відповідають одній і тій же енергії. Якщо обмежити наші міркування такими стаціонарними станами, хвильова функція може бути факторизована\[ \psi(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.12} \]

і поставивши цю хвильову функцію в рівняння Шредінгера, ми знаходимо\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{1.5.13} \]

Це незалежне від часу рівняння Шредінгера, і його розв'язками є просторові хвильові функції для стаціонарних станів, станів певної енергії. Їх часто називають власнимистанами рівняння.

Значення енергії, відповідні цим власнимстанам, називаються власними значеннями.

Важливий момент: Що саме відбувається біля стіни?

Розглянемо ще раз хвильову функцію для найнижчого енергетичного стану частинки, обмеженої між стінками в\(x=0\) і\(x=L\). Читач повинен намалювати хвильову функцію з якоїсь точки зліва\(x=0\) над праворуч від\(x=L\). Зліва від хвильова\(x=0\) функція рівно дорівнює нулю, потім у\(x=0\) неї злітає праворуч (всередині коробки) у вигляді синусоїдальної кривої. Іншими словами, у початку нахил хвильової функції\(\psi\) дорівнює нулю вліво, ненульовий - вправо. Відбувається розрив нахилу біля початку: це означає, що друга похідна\ (\ psi\) нескінченна на початку. Вивчаючи незалежне від часу рівняння Шредінгера вище, ми бачимо, що рівняння може бути задоволене лише у початку, оскільки потенціал стає нескінченним там - стіна є нескінченним потенціалом. (І, власне, оскільки\(\psi\) стає нульовим при наближенні до початку зсередини коробки, до межі потрібно ставитися уважно.)

Тепер стає очевидним, що якщо коробка не має нескінченних стін, а лише високих,\(\psi\) описуючи обмежену частинку, не може раптово піти на нуль біля стін: друга похідна повинна залишатися кінцевою. Для нескінченних стін\(\psi\) і її похідна повинна бути суцільною при вході в стіну. Це має важливий фізичний наслідок, який\(\psi\) буде ненульовим принаймні на деяку відстань в стіну, навіть якщо класично обмежена частка не має достатньо енергії, щоб «піднятися на стіну». (Що це не так, якщо він обмежений.) Таким чином, у квантовій механіці існує незникаюча ймовірність знаходження частинки в області, яка «класично заборонена» в тому сенсі, що їй не вистачає енергії, щоб потрапити туди.

Дописувач

• Template:ContribFowler