5.2: Невзаємодіючі частинки

Загалом, ми очікуємо, що гамільтоніан багаточастинкової системи прийме форму $$\label{ex10} H(x_1,x_2,\ldots, x_N, t) = \sum_{i=1,N}\frac{p_i^{\,2}}{2\,m_i} + V(x_1,x_2,\ldots, x_N, t).$$ Тут перший член з правого боку представляє загальну кінетичну енергію системи, тоді як потенціал$V$ визначає характер взаємодії між різними частинками, що утворюють вгору по системі, а також взаємодія частинок з будь-якими зовнішніми силами.

Припустимо, що частинки не взаємодіють один з одним. Це означає, що кожна частинка рухається в загальному потенціалі: тобто, $$V(x_1,x_2,\ldots, x_N,t) = \sum_{i=1,N} V(x_i,t).$$ Отже, ми можемо написати $$\label{ex11} H(x_1,x_2,\ldots, x_N,t)=\sum_{i=1,N} H_i(x_i,t),$$ де $$\label{ex12} H_i = \frac{p_i^{\,2}}{2\,m_i} + V(x_i,t).$$ Іншими словами, для випадку невзаємодіючих частинок багаточастинковий гамільтоніан системи може бути записаний як сума$N$ незалежні одночастинкові гамільтоніани. Тут,$H_i$ являє собою енергію$i$ ї частинки, і повністю не впливає на енергії інших частинок. Крім того, враховуючи, що різні частинки, що складають систему, не взаємодіють, ми очікуємо, що їх миттєві позиції будуть повністю некорелювати один з одним. Це відразу означає, що багаточастинкова хвильова функція$\psi(x_1,x_2,\ldots x_N,t)$ може бути записана як добуток$N$ незалежних одночастинкових хвильових функцій:$|\psi_i(x_i,t)|^{\,2}\,dx_i$ тобто $$\label{ex13} \psi(x_1,x_2,\ldots, x_N, t) = \psi_1(x_1,t)\,\psi_2(x_2,t)\ldots\psi_N(x_N,t).$$ тут є ймовірність знаходження$i$ ї частинки між$x_i$ і$x_i+dx_i$ на час$t$. На цю ймовірність абсолютно не впливають положення інших частинок. Очевидно, що$\psi_i(x_i,t)$ має задовольняти обмеження нормалізації $$\int_{-\infty}^\infty |\psi_i(x_i,t)|^{\,2}\,dx_i = 1.$$ Якщо це так, то обмеження нормалізації ([en1]) для багаточастинкової хвильової функції автоматично задовольняється. Рівняння ([ex13]) ілюструє важливий момент у квантовій механіці: а саме те, що ми можемо, як правило, записати загальну хвильову функцію системи багатьох ступенів свободи як добуток різних хвильових функцій, відповідних кожному ступеню свободи.

Згідно з рівняннями ([ex11]) і ([ex13]), залежне від часу рівняння Шредінгера ([ex7]) для системи$N$ невзаємодіючих частинок факторизується на$N$ незалежні рівняння виду $${\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial \psi_i}{\partial t} = H_i\,\psi_i.$$ Припускаючи$V(x,t)\equiv V(x)$, що незалежні від часу Рівняння Шредінгера ([ex9]) також розставляє на множники$\psi_i(x_i,t) = \psi_{E_i}(x_i)\,\exp(-{\rm i}\, E_i\,t/\hbar)$, щоб дати $$H_i\,\psi_{E_i} =E_i\,\psi_{E_i},$$ де, і$E_i$ є енергією$i$ ї частинки. Значить, багаточастинковий стан певної енергії$E$ має хвильову функцію виду, $$\psi(x_1,x_2,\ldots, x_n, t) =\psi_E(x_1,x_2,\ldots, x_N)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E\,t/\hbar},$$ де $$\psi_E(x_1,x_2,\ldots, x_N) = \psi_{E_1}(x_1)\,\psi_{E_2}(x_2)\ldots\psi_{E_N}(x_N),$$ і $$E = \sum_{i=1,N} E_i.$$ Ясно, для випадку невзаємодіючих частинок енергія всієї системи - це просто сума енергій складових частинок.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick