Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.2: Невзаємодіючі частинки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76950

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Загалом, ми очікуємо, що гамільтоніан багаточастинкової системи прийме форму \[\label{ex10} H(x_1,x_2,\ldots, x_N, t) = \sum_{i=1,N}\frac{p_i^{\,2}}{2\,m_i} + V(x_1,x_2,\ldots, x_N, t).\]Тут перший член з правого боку представляє загальну кінетичну енергію системи, тоді як потенціал\(V\) визначає характер взаємодії між різними частинками, що утворюють вгору по системі, а також взаємодія частинок з будь-якими зовнішніми силами.

    Припустимо, що частинки не взаємодіють один з одним. Це означає, що кожна частинка рухається в загальному потенціалі: тобто,\[V(x_1,x_2,\ldots, x_N,t) = \sum_{i=1,N} V(x_i,t).\] Отже, ми можемо написати \[\label{ex11} H(x_1,x_2,\ldots, x_N,t)=\sum_{i=1,N} H_i(x_i,t),\]де \[\label{ex12} H_i = \frac{p_i^{\,2}}{2\,m_i} + V(x_i,t).\]Іншими словами, для випадку невзаємодіючих частинок багаточастинковий гамільтоніан системи може бути записаний як сума\(N\) незалежні одночастинкові гамільтоніани. Тут,\(H_i\) являє собою енергію\(i\) ї частинки, і повністю не впливає на енергії інших частинок. Крім того, враховуючи, що різні частинки, що складають систему, не взаємодіють, ми очікуємо, що їх миттєві позиції будуть повністю некорелювати один з одним. Це відразу означає, що багаточастинкова хвильова функція\(\psi(x_1,x_2,\ldots x_N,t)\) може бути записана як добуток\(N\) незалежних одночастинкових хвильових функцій:\(|\psi_i(x_i,t)|^{\,2}\,dx_i\) тобто \[\label{ex13} \psi(x_1,x_2,\ldots, x_N, t) = \psi_1(x_1,t)\,\psi_2(x_2,t)\ldots\psi_N(x_N,t).\]тут є ймовірність знаходження\(i\) ї частинки між\(x_i\) і\(x_i+dx_i\) на час\(t\). На цю ймовірність абсолютно не впливають положення інших частинок. Очевидно, що\(\psi_i(x_i,t)\) має задовольняти обмеження нормалізації\[\int_{-\infty}^\infty |\psi_i(x_i,t)|^{\,2}\,dx_i = 1.\] Якщо це так, то обмеження нормалізації ([en1]) для багаточастинкової хвильової функції автоматично задовольняється. Рівняння ([ex13]) ілюструє важливий момент у квантовій механіці: а саме те, що ми можемо, як правило, записати загальну хвильову функцію системи багатьох ступенів свободи як добуток різних хвильових функцій, відповідних кожному ступеню свободи.

    Згідно з рівняннями ([ex11]) і ([ex13]), залежне від часу рівняння Шредінгера ([ex7]) для системи\(N\) невзаємодіючих частинок факторизується на\(N\) незалежні рівняння виду\[{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial \psi_i}{\partial t} = H_i\,\psi_i.\] Припускаючи\(V(x,t)\equiv V(x)\), що незалежні від часу Рівняння Шредінгера ([ex9]) також розставляє на множники\(\psi_i(x_i,t) = \psi_{E_i}(x_i)\,\exp(-{\rm i}\, E_i\,t/\hbar)\), щоб дати\[H_i\,\psi_{E_i} =E_i\,\psi_{E_i},\] де, і\(E_i\) є енергією\(i\) ї частинки. Значить, багаточастинковий стан певної енергії\(E\) має хвильову функцію виду,\[\psi(x_1,x_2,\ldots, x_n, t) =\psi_E(x_1,x_2,\ldots, x_N)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E\,t/\hbar},\] де\[\psi_E(x_1,x_2,\ldots, x_N) = \psi_{E_1}(x_1)\,\psi_{E_2}(x_2)\ldots\psi_{E_N}(x_N),\] і\[E = \sum_{i=1,N} E_i.\] Ясно, для випадку невзаємодіючих частинок енергія всієї системи - це просто сума енергій складових частинок.

    Автори та атрибуція