1.2: Поєднання ймовірностей

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76862

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо два різних можливих результату\(Y\),\(X\) і, спостереження, зробленого в системі\(S\), з ймовірностями виникнення\(P(X)\) і\(P(Y)\), відповідно. Визначимо ймовірність отримання або результату,\(X\) або результату\(Y\), який позначимо\(P(X\mid Y)\). З основного визначення ймовірності,\[P(X\mid Y) =\lim_{{\mit\Omega}({\mit\Sigma})\rightarrow\infty} \frac{ {\mit\Omega}(X \mid Y)}{{\mit\Omega}({\mit\Sigma})},\] де\({\mit\Omega}(X \mid Y)\) знаходиться кількість систем в ансамблі, які демонструють або результат,\(X\) або результат\(Y\). Тепер,

\[{\mit\Omega}(X\mid Y) = {\mit\Omega}(X) + {\mit\Omega}(Y)\]якщо результати\(X\) і\(Y\) є взаємовиключними (що повинно бути у випадку, якщо вони два різних результату). Таким чином,\[P(X\mid Y) = P(X) + P(Y), \label{x2.4}\] це означає, що ймовірність отримання або результату,\(X\) або результату\(Y\) є сумою індивідуальних ймовірностей\(X\) і\(Y\). Наприклад, з шестигранною матрицею ймовірність кинути будь-яке конкретне число (від одного до шести) є\(1/6\), тому що всі можливі результати вважаються однаково ймовірними. Звідси випливає, з щойно сказаного, що ймовірність кинути або одиницю, або двійку просто\(1/6+1/6\), яка дорівнює\(1/3\).

Позначимо всі\(M\), скажімо, можливі результати спостереження, зробленого в системі\(S\) шляхом\(X_i\), де\(i\) проходить від\(1\) до\(M\). Визначимо ймовірність отримання будь-якого з цих результатів. Ця величина є одиницею, від основного визначення ймовірності, тому що кожна з систем в ансамблі повинна демонструвати один з можливих результатів. Але, ця величина також дорівнює сумі ймовірностей всіх окремих результатів, за рівнянням ([x2.4]), тому зробимо висновок, що ця сума дорівнює одиниці: тобто \[\sum_{i=1,M} P(X_i) =1.\label{x2.5}\]попередній вираз називається умовою нормалізації, і повинен задовольнятися будь-яким повним набором ймовірностей.

Є ще один спосіб, за допомогою якого ми можемо поєднувати ймовірності. Припустимо, що ми робимо спостереження за системою, підібраною навмання з ансамблю, а потім підбираємо другу подібну систему, повністю самостійно, і робимо ще одне спостереження. Ми припускаємо, що перше спостереження ніяк не впливає на друге спостереження. Іншими словами, ці два спостереження є статистично незалежними один від одного. Визначимо ймовірність отримання результату\(X\) в першій системі і отримання результату\(Y\) в другій системі, яку позначимо\(P(X\otimes Y)\). Для того щоб визначити цю ймовірність, ми повинні сформувати ансамбль з усіх можливих пар систем, які ми могли б вибрати з ансамблю\(