1.2: Поєднання ймовірностей

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.1: Що таке ймовірність?
- 1.3: Середнє, дисперсія та стандартне відхилення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розглянемо два різних можливих результату $Y$ , $X$ і, спостереження, зробленого в системі $S$ , з ймовірностями виникнення $P(X)$ і $P(Y)$ , відповідно. Визначимо ймовірність отримання або результату, $X$ або результату $Y$ , який позначимо $P(X\mid Y)$ . З основного визначення ймовірності, $P(X\mid Y) =\lim_{{\mit\Omega}({\mit\Sigma})\rightarrow\infty} \frac{ {\mit\Omega}(X \mid Y)}{{\mit\Omega}({\mit\Sigma})},$ де ${\mit\Omega}(X \mid Y)$ знаходиться кількість систем в ансамблі, які демонструють або результат, $X$ або результат $Y$ . Тепер,

${\mit\Omega}(X\mid Y) = {\mit\Omega}(X) + {\mit\Omega}(Y)$ якщо результати $X$ і $Y$ є взаємовиключними (що повинно бути у випадку, якщо вони два різних результату). Таким чином, $P(X\mid Y) = P(X) + P(Y), \label{x2.4}$ це означає, що ймовірність отримання або результату, $X$ або результату $Y$ є сумою індивідуальних ймовірностей $X$ і $Y$ . Наприклад, з шестигранною матрицею ймовірність кинути будь-яке конкретне число (від одного до шести) є $1/6$ , тому що всі можливі результати вважаються однаково ймовірними. Звідси випливає, з щойно сказаного, що ймовірність кинути або одиницю, або двійку просто $1/6+1/6$ , яка дорівнює $1/3$ .

Позначимо всі $M$ , скажімо, можливі результати спостереження, зробленого в системі $S$ шляхом $X_i$ , де $i$ проходить від $1$ до $M$ . Визначимо ймовірність отримання будь-якого з цих результатів. Ця величина є одиницею, від основного визначення ймовірності, тому що кожна з систем в ансамблі повинна демонструвати один з можливих результатів. Але, ця величина також дорівнює сумі ймовірностей всіх окремих результатів, за рівнянням ([x2.4]), тому зробимо висновок, що ця сума дорівнює одиниці: тобто $\sum_{i=1,M} P(X_i) =1.\label{x2.5}$ попередній вираз називається умовою нормалізації, і повинен задовольнятися будь-яким повним набором ймовірностей.

Є ще один спосіб, за допомогою якого ми можемо поєднувати ймовірності. Припустимо, що ми робимо спостереження за системою, підібраною навмання з ансамблю, а потім підбираємо другу подібну систему, повністю самостійно, і робимо ще одне спостереження. Ми припускаємо, що перше спостереження ніяк не впливає на друге спостереження. Іншими словами, ці два спостереження є статистично незалежними один від одного. Визначимо ймовірність отримання результату $X$ в першій системі і отримання результату $Y$ в другій системі, яку позначимо $P(X\otimes Y)$ . Для того щоб визначити цю ймовірність, ми повинні сформувати ансамбль з усіх можливих пар систем, які ми могли б вибрати з ансамблю\(