1.5: Вправи
- Page ID
- 76866
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- Покажіть, що ймовірність кинути 6 очок або менше з трьома (шестигранними) кубиками є\(5/54\).
- Батарея загальної ЕРС\(V\) підключається до резистора\(R\). В результаті в резисторі\(P=V^{\,2}/R\) розсіюється кількість потужності. Сама батарея складається з\(N\) окремих осередків, з'єднаних послідовно, так що\(V\) дорівнює сумі ЕРС всіх цих осередків. Однак акумулятор старий, так що не всі елементи знаходяться в ідеальному стані. Таким чином, існує ймовірність\(p\) того, що ЕРС будь-якої окремої комірки має своє нормальне значення\(v\); і ймовірність\(1-p\) того, що ЕРС будь-якої окремої комірки дорівнює нулю, оскільки комірка стала внутрішньо короткою. Окремі клітини статистично незалежні один від одного. У цих умовах показують, що середня потужність\(\langle P\rangle\), розсіюється в резисторі, становить\[\langle P\rangle= \frac{p^{\,2}\, V^{\,2}}{R}\left[1 +\frac{(1-p)}{N\,p}\right].\]
- У «грі» російської рулетки гравець вставляє одну кулю в барабан револьвера, залишаючи інші п'ять камер барабана порожніми. Потім гравець обертає барабан, цілиться на його/її голову і натискає на курок.
- Яка ймовірність того, що гравець все ще живий після гри в ігрові\(N\) часи?
- Яка ймовірність того, що гравець переживе\(N-1\) повороти в цій грі, а потім буде розстріляний в\(N\) той час, коли він/вона натисне на курок?
- Яка середня кількість разів гравець отримує натискання на курок?
- Припустимо, що щільність ймовірності для швидкості\(s\), автомобіля на дорозі задається\[P(s) = A\,s\,\exp\left(-\frac{s}{s_0}\right),\] де\(0\leq s\leq \infty\). Тут\(A\) і\(s_0\) знаходяться позитивні константи. Більш явно,\(P(s)\,ds\) дає ймовірність того, що автомобіль має швидкість між\(s\) і\(s+ds\).
- \(A\)Визначте з точки зору\(s_0\).
- Яке середнє значення швидкості?
- Яка «найімовірніша» швидкість: тобто швидкість, для якої щільність ймовірності має максимум?
- Яка ймовірність того, що автомобіль має швидкість більш ніж в три рази більше середнього значення?
- Радіоактивний атом має рівномірну ймовірність розпаду в одиницю часу\(w\). Іншими словами, ймовірність розпаду в часовому проміжку\(dt\) є\(w\,dt\). Нехай\(P(t)\) буде ймовірність того, що атом не розпався в часі\(t\), враховуючи, що він був створений в той час\(t=0\). Продемонструйте це\[P(t) = {\rm e}^{-w\,t}.\] Який середній термін служби атома?