8.3: Підсилення та обертання

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 8.2: Кутовий момент
- 8.E: Обертання (вправи)

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Поясніть обертання та прискорення

Один мій родич закохався. Вона з хлопцем купила будинок в Підмосков'ї і народила дитину. Вони думають, що вийдуть заміж в якийсь пізніше. Інженер за освітою, каже, що не хоче зациклюватися на «порядку операцій». Для деяких математичних операцій порядок не має значення: $5 + 7$ такий же, як $7 + 5$ .

Обертання

Малюнок $\PageIndex{1}$ показує, що порядок операцій має значення для обертань. Обертається навколо $x$ осі, а потім $y$ дає інший результат, ніж $y$ наступний $x$ . Ми говоримо, що обертання некомутативні. Ось чому в ньютонівській механіці ми не маємо вектора кутового зміщення $∆θ$ ; вектори повинні бути адитивними, а додавання векторів - комутативним. Однак для малих обертань невідповідність, спричинена вибором одного порядку операцій, а не іншого, стає малим (порядку $θ^2$ ), тому ми можемо визначити нескінченно малий вектор переміщення $dθ$ , напрямок якого задається правилом правої руки, і кутову швидкість $ω = dθ/dt$ .

рис. 8.3.1.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Виконання обертань в одному порядку дає один результат, 3, а зворотний порядок дає інший результат, 5.

Як приклад того, як це працює для малих обертань, візьмемо вектор

$(0,0,1)$

і застосовувати операції, показані на малюнку $\PageIndex{1}$ , але з обертаннями лише $θ = 0.1$ радіанів, а не $90$ градусів. Поворот на цей кут навколо $x$ осі задається перетворенням

$(x,y,z) → (x,y \cos θ - z \sin θ,y \sin θ + z \cos θ)$

і застосування цього до вихідного вектора дає таке:

$(0.00000,-0.09983,0.99500)\; \; \; (\text{after }x)$

Після подальшого повороту на той же кут, на цей раз навколо $y$ осі, маємо

$(0.09933,-0.09983,0.99003) \; \; \; (\text{after }x, \text{then }y)$

Починаючи з початкового вектора на малюнку $\PageIndex{1.1}$ і виконуючи операції в протилежному порядку, ви отримаєте такі результати:

$(0.09983,0.00000,0.99500) \; \; \; (\text{after }y)$

$(0.09983,-0.09933,0.99003) \; \; \; (\text{after }y, \text{then }x)$

Невідповідність між ( $\PageIndex{1.3}$ ) і ( $\PageIndex{1.5}$ ) - це обертання на дуже майже $0.005$ радіани в $xy$ площині. Як стверджувалося, це на замовлення $θ^2$ (по суті, це майже точно $θ^2/2$ ). Єдиний приклад ніколи не може нічого довести, але це приклад загального правила, що обертання вздовж різних осей не комутуються, а для малих кутів невідповідність - це обертання в площині, визначеній двома осями, з величиною, максимальний розмір якої знаходиться на порядку $θ^2$ .

Підсилює

Щось подібне відбувається для підсилень. У $3 + 1$ розмірах починаємо з вектора

$(0,1,0,0)$

спрямовуючи уздовж $x$ осі. Збільшення Лоренца з $v = 0.1$ (Рівняння 1.4.1) у $x$ напрямку дає

$(0.10050,1.00504,0.00000,0.00000) \; \; \; (\text{after }x)$

і другий імпульс, тепер у $y$ напрямку, виробляє це:

$(0.10101,1.00504,0.01010,0.00000) \; \; \; (\text{after }x, \text{then }y)$

Починаючи з ( $\PageIndex{6}$ ) і виконуючи підсилення у зворотному порядку, ми маємо

$(0.00000,1.00000,0.00000,0.00000) \; \; \; (\text{after }y)$

$(0.10050,1.00504,0.00000,0.00000) \; \; \; (\text{after }y, \text{then }x)$

Невідповідність між ( $\PageIndex{8}$ ) і ( $\PageIndex{10}$ ) - це обертання в $xy$ площині на дуже майже $0.01$ радіани. Це приклад більш загального факту, який полягає в тому, що підсилювачі вздовж різних осей не коммутують, а для малих кутів невідповідність - це обертання в площині, визначеній двома посиленнями, з величиною, максимальний розмір якої знаходиться на порядку $v^2$ , в одиницях радіанів.

Томас Прецесія

$\PageIndex{2}$ На малюнку показано найважливіше фізичне наслідок всього цього. Гіроскоп направляється по периметру квадрата, з імпульсами, що забезпечуються молотковими кранами по кутах. Кожен імпульс може бути змодельований як імпульс Лоренца, позначений, наприклад, $L_x$ для поштовху в $x$ напрямку. Серію з чотирьох операцій можна записати як $L_yL_xL_{-y}L_{-x}$ , використовуючи нотаційну угоду про те, що перша застосована операція - це та, що знаходиться в правій частині списку. Якби підсилення були комутаційними, ми могли б поміняти дві операції посередині списку, даючи $L_yL_{-y}L_xL_{-x}$ . Він скасував $L_x$ би $L_{-x}$ , і скасував $L_y$ би $L_{-y}$ . Але підсилення не є комутативними, тому вектор, що представляє орієнтацію гіроскопа, обертається в $xy$ площині. Цей ефект називається прецесією Томаса, після Ллевелліна Томаса (1903-1992). Прецесія Томаса - це чисто релятивістський ефект, оскільки ньютонівський гіроскоп не змінює свою вісь обертання, якщо не піддається крутному моменту; якщо підсилення здійснюються силами, які діють в центрі гіроскопа, то немає нерелятивістського пояснення ефекту.

рис. 8.3.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Нерелятивістично гіроскоп не повинен обертатися до тих пір, поки сили від молотка передаються йому в його центрі маси.

Зрозуміло, що ми повинні бачити той же ефект, якщо ривковий рух в Фігуре $\PageIndex{2}$ було замінено рівномірним круговим рухом, і щось подібне повинно відбуватися в будь-якому випадку, коли обертається об'єкт відчуває зовнішню силу. У межі низьких швидкостей загальним виразом для кутової швидкості прецесії є $Ω = a×v$ , а в разі кругового руху $ω$ - частота кругового руху. $Ω = \frac{1}{2}v^2ω$

Якщо ми хочемо побачити цей ефект прецесії в реальному житті, нам слід шукати систему, в якій обидва $v$ і $a$ великі. Атом - це така система. Модель Бора, введена в 1913 році, ознаменувала перший кількісно вдалий, якщо концептуально заплутаний, опис рівнів атомної енергії водню. Продовжуючи приймати $c = 1$ , загальна шкала енергій була розрахована $m$ так $mα^2$ , щоб бути пропорційною, де маса електрона, і $α$ є постійною тонкої структури, визначеної раніше. При більш високій роздільній здатності кожен рівень збудженої енергії виявляється розділеним на кілька підрівнів. Переходи серед цих близьколежачих станів знаходяться в міліметровій області мікрохвильового спектра. Енергетична шкала цієї тонкої структури є $∼ mα^4$ . Це знижується на коефіцієнт в $α^2$ порівнянні з видимим світлом переходів, звідси і назва константи. Уленбек і Гудсміт показали в 1926 році, що розщеплення на такому порядку слід було очікувати через магнітну взаємодію між протоном і магнітним моментом електрона, орієнтованим уздовж його спіна. Ефект, який вони розрахували, однак, був занадто великим у два рази.

рис. 8.3.3.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : Стани у водні маркуються їх $l$ та $s$ квантовими числами, що представляють їх орбітальні та спінові кутові моменти в одиницях $\hbar$ . Держава з $s = +1/2$ має свій спіновий момент момент, узгоджений з його орбітальним моментом, тоді як $s = -1/2$ стан має два кутові моменти в протилежних напрямках. Напрямок і порядок розщеплення між двома $l = 1$ станами успішно пояснюється магнітними взаємодіями з протоном, але розрахунковий ефект занадто великий в 2 рази. Релятивістська прецесія Томаса скасовує половину ефекту.

Пояснення таємничого фактора двох насправді було неявним у розрахунку 1916 року Віллемом де Сіттером, одним з перших застосувань загальної теорії відносності. Де Сіттер розглядав систему земля-місяць як гіроскоп, і виявив прецесію її осі обертання, що частково було пов'язано з кривизною простору-часу і частково обумовлено типом обертання, описаним раніше в цьому розділі. Вплив на рух Місяця був некумулятивним і становив лише близько одного метра, що було занадто мало, щоб його можна було виміряти в той час. Однак у 1927 році Томас застосував подібні міркування до атома водню, причому спіновий вектор електрона грав роль гіроскопа. Оскільки спін електрона є $\hbar /2$ , то розщеплення енергії відбувається $\pm (\hbar /2) \Omega$ , в залежності від того, чи спин електрона знаходиться в тому ж напрямку, що і його орбітальний рух, або в протилежному напрямку. Це менше, ніж валова енергетична шкала атома $\hbar \omega$ на коефіцієнт $v^2/2$ , який є $∼ α^2$ . Прецесія Томаса скасовує половину магнітного ефекту, приводячи теорію в узгодження з експериментом.

Уленбек пізніше згадував: «... коли я вперше почув про [прецесію Томаса], здавалося неймовірним, що релятивістський ефект може дати фактор 2 замість чогось порядку $v/c$ ... Навіть співрозмовник теорії відносності (Ейнштейн включений!) були дуже здивовані. »