8.2: Кутовий момент

Цілі навчання

• Поясніть кутовий момент

Нерелятивістично кутовий момент частинки з імпульсом\(p\), у положенні\(r\) відносно якоїсь довільно фіксованої точки, є\(L = r×p\). Коли ми узагальнюємо це рівняння до відносності, ми стикаємося з низкою питань. Проблеми, обумовлені особливою відносністю:

1. Векторний перехресний добуток має сенс лише у трьох вимірах, тому він недостатньо чітко визначений у спеціальній теорії відносності (розділ 7.6)
2. Припускаючи, що ми обійдемо питання № 1, як ми знаємо, що ця кількість зберігається?

А з загальної теорії відносності:

3. У загальній теорії відносності лише нескінченно малі просторові або просторово-часові\(dr\) зсуви можуть розглядатися як вектори. Більші не можуть. Це пов'язано з тим, що просторовий час може бути вигнутим, а вектори не можуть бути використані для визначення переміщень на криволінійному просторі (наприклад, поверхні землі).
4. Якщо простір має нетривіальну топологію, то ми, можливо, не зможемо визначити орієнтацію (розділ 7.6)

Для точок 3 і 4 ми посилаємося на Хокінга та Елліса в розділі 3.5. Номер 2 розглядається в розділі 9.3. Для числа 2 нам знадобиться тензор напруження-енергії, який буде описаний в главі 9. Щоб ви не відчували себе повністю обдуреними, ми вирішимо проблему номер 1 у цьому розділі, але перш ніж ми це зробимо, давайте розглянемо цікавий приклад, з яким можна впоратися простішою математикою.

Релятивістська модель Бора

Якщо ми хочемо побачити цікавий реальний приклад релятивістського моменту моменту, нам потрібно щось, що обертається з релятивістськими швидкостями. У великих масштабах ми маємо астрофізичні приклади, такі як нейтронні зірки та аккреційні диски чорних дір, але вони включають гравітацію і тому потребують загальної теорії відносності. У мікроскопічних масштабах ми маємо такі системи, як адрони, ядра, атоми та молекули. Це квантово-механічна, і релятивістська квантова механіка є складною темою, яка виходить за рамки цієї книги, але ми можемо обійти це питання, використовуючи модель Бора атома. У моделі Бора водню ми припускаємо, що електрон має кругову орбіту, керовану законами Ньютона, не випромінює і має свій кутовий імпульс квантований в одиницях\(\hbar \). Узагальнимо модель Бора шляхом застосування відносності.

Буде зручно визначити константу\(\alpha = \frac{ke^2}{\hbar }\), відому як постійна тонкої структури, де\(k\) - константа Кулона і\(e\) є основним зарядом. Константа тонкої структури безодинична і приблизно\(1/137\). Вона по суті є мірою сили електромагнітної взаємодії, а в моделі Бора також виявляється швидкість електрона (в одиницях\(c\)) в основному стані водню. Оскільки ця швидкість невелика порівняно з\(1\), ми очікуємо, що релятивістські поправки у водні будуть невеликими - відносного розміру\(α^2\). Але у нас є цікава можливість отримати якусь додаткову і більш захоплюючу фізику, якщо розглядати воднеподібний атом, тобто іон з\(Z\) протонами в ядрі і тільки один електрон. Підняття\(Z\) кривошипів вгору по енергетичній шкалі і, отже, збільшує швидкість, а також.

Поєднуючи силовий закон Кулона з результатом Прикладу 4.5.1, для рівномірного кругового руху ми маємо

\[\dfrac{kZe^2}{r} = m\gamma v^2\]

де коефіцієнтом\(γ\) є релятивістська корекція. Імпульс електрона перпендикулярний вектору радіуса, тому ми припускаємо на той момент, що (як виявляється правдою), кутовий імпульс задається тим\(L = rp = mvγr\), де знову\(γ\) з'являється релятивістський поправочний коефіцієнт. Це квантується, так що нехай\(L = l\hbar\), де\(l\) є ціле число. Розв'язування цих рівнянь дає

\[v = \frac{Z\alpha }{l} \label{eq1}\]

\[r = \frac{l^2 \hbar}{mZ\alpha \gamma }\]

Вони відрізняються від нерелятивістських версій лише коефіцієнтом\(γ\) у другому рівнянні. Електрична енергія є\(U = -kZe^2/r\), а кінетична енергія\(K = m(γ - 1)\) (з\(c = 1\)). Нам буде зручно працювати з (позитивною) енергією зв'язку в одиницях маси електрона. Називайте цю кількість\(\varepsilon\). Після деякої алгебри результат

\[\varepsilon = 1 - \sqrt{1 - v^2}\]

Дивно, але це також точний результат, який дає релятивістська квантова механіка, якщо ми вирішимо рівняння Дірака для основного стану, або якщо ми візьмемо високоенергетичний (майже незв'язаний) стан з максимальним значенням\(l\), як це підходить для напівкласичної кругової орбіти. Тож ми бачимо, що хоча наша квантова механіка була грубою, наша відносність має певний сенс і дає розумні результати. Для малих\(Z\), наближення рядів Тейлора дає

\[E = v^2/2 + v^4/8 + ...\]

де термін четвертого порядку являє собою релятивістську корекцію.

Поки що добре, але тепер що, якщо ми провернемо значення,\(Z\) щоб зробити релятивістські ефекти сильними? Дуже тривожна річ трапляється, коли ми робимо\(Z \gtrsim 137 \approx 1/\alpha\). У наземному стані отримуємо\(v > 1\) і комплексне число для\(\varepsilon\). Очевидно, що щось зламалося, і наші результати більше не мають сенсу. Ми можемо бути схильні відхилити це як наслідок нашої сирої моделі, але пам'ятайте, що наші розрахунки давали той самий результат, що і рівняння Дірака, яке має реальну релятивістську квантову механіку. Ми повинні сприймати цю поломку як доказ реального фізичного зриву. Тлумачення виглядає наступним чином.

Згідно з квантовою механікою, вакуум насправді не є вакуумом. Пари частинок - античастинки постійно з'являються в порожньому просторі, а потім реанігілюють один одного. Їх тимчасове створення є порушенням збереження масової енергії, але лише тимчасовим порушенням, і це допускається часово-енергетичної формою принципу невизначеності Гейзенберга\(\Delta E \Delta t \gtrsim h\), поки\(∆t\) коротка. Це так, ніби ми крадемо трохи грошей, але поліція не ловить нас до тих пір, поки ми повернемо їх назад, перш ніж хтось може помітити. Оскільки ці частинки лише тимчасово знаходяться у нашому Всесвіті, ми називаємо їх віртуальними частинками, на відміну від реальних частинок, які мають потенційно постійне існування і можуть бути виявлені як бліпи на лічильнику Гейгера.

Але коли вакуум містить електричне поле, яке виходить за межі певної критичної сили, стає можливим створити електронно-антиелектронну пару, дозволити протилежним зарядам відокремлюватися і звільнити енергію, і погасити енергетичний борг без необхідності реанігілювати частинки. Це відомо як «іскріння вакууму». На момент написання цієї статті\(118\) були виявлені лише ядра з\(Z\) приблизно приблизно, і в будь-якому випадку критичне\(Z\) значення\(1/α ≈ 137\) було лише приблизною оцінкою. Але зіткнувшись з важкими ядрами, такими як свинець, можна хоча б тимчасово сформувати нестабільну сполукову систему з високим\(Z\), і робляться спроби пошуку прогнозованого ефекту в лабораторії.

Тензор кутового моменту

Як згадувалося раніше, не існує такого поняття, як векторний перехресний добуток у чотирьох вимірах, тому нерелятивістське визначення кутового моменту, як\(L = r×p\) потрібно модифікувати, щоб його можна було використовувати в відносності.

Враховуючи вектор положення\(r^a\) та вектор імпульсу\(p^b\), ми очікуємо, виходячи як на одиницях, так і на принципі відповідності, що релятивістське визначення кутового моменту має бути якимось добутком векторів. Виходячи з правил позначення індексу, у нас тут не так багато вільного простору. Єдині продукти\(r^a p^b\), які ми можемо сформувати, - це\(2\) ранг-тензор\(r^a p_a\), або скаляр. Оскільки нерелятивістський кутовий імпульс є трьома векторами, принцип відповідності говорить нам, що його релятивістське втілення не може бути скалярним - у скалярі просто не вистачило б інформації, щоб розповісти нам про те, що говорить нам нерелятивістський вектор кутового імпульсу: яка вісь обертання про, і в якому напрямку відбувається обертання.

Тензор\(r^a p^b\) також має проблему, але таку, яку можна виправити. Припустимо, що в певній системі відліку частка маси\(m \neq 0\) знаходиться в стані спокою біля початку. Тоді його положення чотири-вектор в той час\(t\) є\((t,0,0,0)\), а його енергія-імпульс вектор є\((m,0,0,0)\). Ці вектори паралельні. Тензор\(r^a p^b\) ненульовий і неконсервований з плином часу, але очевидно, що ми хочемо, щоб кутовий імпульс ізольованої частинки був збережений. Іншим прикладом було б, якби в певний момент часу ми мали\(r = (0,x,0,0)\) і\(p = (E,p,0,0)\), з обома\(x\) і\(p\) позитивними. Рух цієї частинки знаходиться безпосередньо від початку, тому її кутовий момент повинен бути нульовим за симетрією, але знову\(r^a p^b\) ж таки ненульовим.

Спосіб вирішення проблеми полягає в тому, щоб змусити добуток векторів позиції та імпульсу бути антисиметричним тензором:

\[L^{ab} = r^a p^b - r^b p^a\]

Антисиметричний означає те\(L^{ab} = -L^{ba}\), що, так що елементи на протилежних сторонам головної діагоналі однакові за винятком протилежних знаків. Швидка перевірка показує, що це дає очікуваний нульовий результат в обох наведених вище прикладах. Такий компонент, як\(L^{yz}\) вимірює величину обертання в\(y-z\) площині. У нерелятивістському контексті ми б описали це як\(x\)\(L_x\) складову тривектора кутового імпульсу, оскільки обертання\(y-z\) площини навколо початку є обертанням навколо\(x\) осі - таке обертання утримує\(x\) вісь нерухомою. Але в чотиривимірному просторовічасу обертання в\(y-z\) площині утримує всю\(t-x\) площину нерухомою, тому поняття обертання «про вісь» руйнується. (Зверніть увагу на візерунок: у двох вимірах ми обертаємо навколо точки, в трьох вимірах обертання - близько лінії, а в чотирьох вимірах ми обертаємо навколо фіксованої площини.) У розділі 9.3 ми показуємо,\(L^{ab}\) що збережено.

Якщо викласти тензор кутового моменту в матричному форматі, то це виглядає так:

\[\begin{pmatrix} 0 & L^{tx} & L^{ty} & L^{tz}\\ & 0 & L^{xy} & L^{xz}\\ & & 0 & L^{yz}\\ & & & 0 \end{pmatrix}\]

Нулі на головній діагоналі обумовлені антисиметризацією в визначенні. Я залишив пробіли нижче основної діагоналі, тому що, хоча ці компоненти можуть бути ненульовими, вони містять лише (заперечену) копію інформації, наданої тими, що знаходяться над діагоналлю. Ми бачимо, що насправді є лише\(6\) фрагменти інформації в цій\(4×4\) матриці, і ми вже фізично інтерпретували трикутне скупчення трьох компонентів простору в правому нижньому кутку.

Чому у нас вгорі рядок, що складається з компонентів часового простору, і що вони означають фізично? Високою відповіддю було б те, що це щось дуже глибоке, пов'язане з тим, що, як описано в розділі 8.3, обертання та лінійний рух не так чітко розділені в теорії відносності, як у нерелятивістській фізиці. Більш проста відповідь полягає в тому, що в більшості ситуацій ці компоненти насправді не дуже цікаві. Розглянемо хмару частинок,\(i = 1\) промаркованих наскрізь\(n\). Тоді для представницької складової з верхнього ряду маємо загальну величину.

\[L^{tx} = \sum t_i p_{i}^{x} - \sum x_i E_i\]

Тепер припустимо, що ми фіксуємо певну поверхню одночасності за часом\(t\). Сума стає

\[L^{tx} = t\sum p_{i}^{x} - \sum x_i E_i\]

Тут є інформація, але це не захоплююча інформація про кутовий момент, це нудна інформація про положення і рух центру мас системи. Якщо ми закріпимо систему відліку, в якій сумарний імпульс дорівнює нулю, тобто центр маси кадру, то у нас є\(\sum p_{i}^{x} = 0\). Давайте також визначимо положення центру маси як середню позицію, зважену масовою енергією, а не середньозваженим по масі, як це було б у ньютонівській механіці. Тоді\(\sum x_{i}E_i\) це константа, що стосується положення центру маси, і якщо нам подобається, ми можемо зробити його рівним нулю, вибравши походження наших просторових координат, щоб збігатися з центром маси.

За допомогою цих варіантів ми маємо набагато простіший тензор кутового моменту:

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ & 0 & L^{xy} & L^{xz}\\ & & 0 & L^{yz}\\ & & & 0 \end{pmatrix}\]

Якщо ми хочемо, ми можемо посипати трохи нотаційного цукру поверх всього цього, використовуючи тензор Levi-Civita, описаний у необов'язковому розділі 7.6. Визначимо новий тензор\(^\star L\) відповідно до

\[^\star L_{ij} = \frac{1}{2}\epsilon _{ijkl}L^{kl}\]

Тоді для спостерігача з вектором\(o^µ\) швидкості величина\(o_{\mu }^\star L^{\mu \nu }\) має вигляд\ (0, L^ {yz}, L^ {zx}, L^ {xy}). Тобто його просторові компоненти - це саме ті величини, які ми очікували б для нерелятивістського кутового імпульсу тривектора (використовуючи правильний релятивістський імпульс).