8.2: Кутовий момент
Цілі навчання
- Поясніть кутовий момент
Нерелятивістично кутовий момент частинки з імпульсомp, у положенніr відносно якоїсь довільно фіксованої точки, єL=r×p. Коли ми узагальнюємо це рівняння до відносності, ми стикаємося з низкою питань. Проблеми, обумовлені особливою відносністю:
- Векторний перехресний добуток має сенс лише у трьох вимірах, тому він недостатньо чітко визначений у спеціальній теорії відносності (розділ 7.6)
- Припускаючи, що ми обійдемо питання № 1, як ми знаємо, що ця кількість зберігається?
А з загальної теорії відносності:
- У загальній теорії відносності лише нескінченно малі просторові або просторово-часовіdr зсуви можуть розглядатися як вектори. Більші не можуть. Це пов'язано з тим, що просторовий час може бути вигнутим, а вектори не можуть бути використані для визначення переміщень на криволінійному просторі (наприклад, поверхні землі).
- Якщо простір має нетривіальну топологію, то ми, можливо, не зможемо визначити орієнтацію (розділ 7.6)
Для точок 3 і 4 ми посилаємося на Хокінга та Елліса в розділі 3.5. Номер 2 розглядається в розділі 9.3. Для числа 2 нам знадобиться тензор напруження-енергії, який буде описаний в главі 9. Щоб ви не відчували себе повністю обдуреними, ми вирішимо проблему номер 1 у цьому розділі, але перш ніж ми це зробимо, давайте розглянемо цікавий приклад, з яким можна впоратися простішою математикою.
Релятивістська модель Бора
Якщо ми хочемо побачити цікавий реальний приклад релятивістського моменту моменту, нам потрібно щось, що обертається з релятивістськими швидкостями. У великих масштабах ми маємо астрофізичні приклади, такі як нейтронні зірки та аккреційні диски чорних дір, але вони включають гравітацію і тому потребують загальної теорії відносності. У мікроскопічних масштабах ми маємо такі системи, як адрони, ядра, атоми та молекули. Це квантово-механічна, і релятивістська квантова механіка є складною темою, яка виходить за рамки цієї книги, але ми можемо обійти це питання, використовуючи модель Бора атома. У моделі Бора водню ми припускаємо, що електрон має кругову орбіту, керовану законами Ньютона, не випромінює і має свій кутовий імпульс квантований в одиницяхℏ. Узагальнимо модель Бора шляхом застосування відносності.
Буде зручно визначити константуα=ke2ℏ, відому як постійна тонкої структури, деk - константа Кулона іe є основним зарядом. Константа тонкої структури безодинична і приблизно1/137. Вона по суті є мірою сили електромагнітної взаємодії, а в моделі Бора також виявляється швидкість електрона (в одиницяхc) в основному стані водню. Оскільки ця швидкість невелика порівняно з1, ми очікуємо, що релятивістські поправки у водні будуть невеликими - відносного розміруα2. Але у нас є цікава можливість отримати якусь додаткову і більш захоплюючу фізику, якщо розглядати воднеподібний атом, тобто іон зZ протонами в ядрі і тільки один електрон. ПідняттяZ кривошипів вгору по енергетичній шкалі і, отже, збільшує швидкість, а також.
Поєднуючи силовий закон Кулона з результатом Прикладу 4.5.1, для рівномірного кругового руху ми маємо
kZe2r=mγv2
де коефіцієнтомγ є релятивістська корекція. Імпульс електрона перпендикулярний вектору радіуса, тому ми припускаємо на той момент, що (як виявляється правдою), кутовий імпульс задається тимL=rp=mvγr, де зновуγ з'являється релятивістський поправочний коефіцієнт. Це квантується, так що нехайL=lℏ, деl є ціле число. Розв'язування цих рівнянь дає
v=Zαl
r=l2ℏmZαγ
Вони відрізняються від нерелятивістських версій лише коефіцієнтомγ у другому рівнянні. Електрична енергія єU=−kZe2/r, а кінетична енергіяK=m(γ−1) (зc=1). Нам буде зручно працювати з (позитивною) енергією зв'язку в одиницях маси електрона. Називайте цю кількістьε. Після деякої алгебри результат
ε=1−√1−v2
Дивно, але це також точний результат, який дає релятивістська квантова механіка, якщо ми вирішимо рівняння Дірака для основного стану, або якщо ми візьмемо високоенергетичний (майже незв'язаний) стан з максимальним значеннямl, як це підходить для напівкласичної кругової орбіти. Тож ми бачимо, що хоча наша квантова механіка була грубою, наша відносність має певний сенс і дає розумні результати. Для малихZ, наближення рядів Тейлора дає
E=v2/2+v4/8+...
де термін четвертого порядку являє собою релятивістську корекцію.
Поки що добре, але тепер що, якщо ми провернемо значення,Z щоб зробити релятивістські ефекти сильними? Дуже тривожна річ трапляється, коли ми робимоZ≳. У наземному стані отримуємоv > 1 і комплексне число для\varepsilon. Очевидно, що щось зламалося, і наші результати більше не мають сенсу. Ми можемо бути схильні відхилити це як наслідок нашої сирої моделі, але пам'ятайте, що наші розрахунки давали той самий результат, що і рівняння Дірака, яке має реальну релятивістську квантову механіку. Ми повинні сприймати цю поломку як доказ реального фізичного зриву. Тлумачення виглядає наступним чином.
Згідно з квантовою механікою, вакуум насправді не є вакуумом. Пари частинок - античастинки постійно з'являються в порожньому просторі, а потім реанігілюють один одного. Їх тимчасове створення є порушенням збереження масової енергії, але лише тимчасовим порушенням, і це допускається часово-енергетичної формою принципу невизначеності Гейзенберга\Delta E \Delta t \gtrsim h, поки∆t коротка. Це так, ніби ми крадемо трохи грошей, але поліція не ловить нас до тих пір, поки ми повернемо їх назад, перш ніж хтось може помітити. Оскільки ці частинки лише тимчасово знаходяться у нашому Всесвіті, ми називаємо їх віртуальними частинками, на відміну від реальних частинок, які мають потенційно постійне існування і можуть бути виявлені як бліпи на лічильнику Гейгера.
Але коли вакуум містить електричне поле, яке виходить за межі певної критичної сили, стає можливим створити електронно-антиелектронну пару, дозволити протилежним зарядам відокремлюватися і звільнити енергію, і погасити енергетичний борг без необхідності реанігілювати частинки. Це відомо як «іскріння вакууму». На момент написання цієї статті118 були виявлені лише ядра зZ приблизно приблизно, і в будь-якому випадку критичнеZ значення1/α ≈ 137 було лише приблизною оцінкою. Але зіткнувшись з важкими ядрами, такими як свинець, можна хоча б тимчасово сформувати нестабільну сполукову систему з високимZ, і робляться спроби пошуку прогнозованого ефекту в лабораторії.
Тензор кутового моменту
Як згадувалося раніше, не існує такого поняття, як векторний перехресний добуток у чотирьох вимірах, тому нерелятивістське визначення кутового моменту, якL = r×p потрібно модифікувати, щоб його можна було використовувати в відносності.
Враховуючи вектор положенняr^a та вектор імпульсуp^b, ми очікуємо, виходячи як на одиницях, так і на принципі відповідності, що релятивістське визначення кутового моменту має бути якимось добутком векторів. Виходячи з правил позначення індексу, у нас тут не так багато вільного простору. Єдині продуктиr^a p^b, які ми можемо сформувати, - це2 ранг-тензорr^a p_a, або скаляр. Оскільки нерелятивістський кутовий імпульс є трьома векторами, принцип відповідності говорить нам, що його релятивістське втілення не може бути скалярним - у скалярі просто не вистачило б інформації, щоб розповісти нам про те, що говорить нам нерелятивістський вектор кутового імпульсу: яка вісь обертання про, і в якому напрямку відбувається обертання.
Тензорr^a p^b також має проблему, але таку, яку можна виправити. Припустимо, що в певній системі відліку частка масиm \neq 0 знаходиться в стані спокою біля початку. Тоді його положення чотири-вектор в той часt є(t,0,0,0), а його енергія-імпульс вектор є(m,0,0,0). Ці вектори паралельні. Тензорr^a p^b ненульовий і неконсервований з плином часу, але очевидно, що ми хочемо, щоб кутовий імпульс ізольованої частинки був збережений. Іншим прикладом було б, якби в певний момент часу ми малиr = (0,x,0,0) іp = (E,p,0,0), з обомаx іp позитивними. Рух цієї частинки знаходиться безпосередньо від початку, тому її кутовий момент повинен бути нульовим за симетрією, але зновуr^a p^b ж таки ненульовим.
Спосіб вирішення проблеми полягає в тому, щоб змусити добуток векторів позиції та імпульсу бути антисиметричним тензором:
L^{ab} = r^a p^b - r^b p^a
Антисиметричний означає теL^{ab} = -L^{ba}, що, так що елементи на протилежних сторонам головної діагоналі однакові за винятком протилежних знаків. Швидка перевірка показує, що це дає очікуваний нульовий результат в обох наведених вище прикладах. Такий компонент, якL^{yz} вимірює величину обертання вy-z площині. У нерелятивістському контексті ми б описали це якxL_x складову тривектора кутового імпульсу, оскільки обертанняy-z площини навколо початку є обертанням навколоx осі - таке обертання утримуєx вісь нерухомою. Але в чотиривимірному просторовічасу обертання вy-z площині утримує всюt-x площину нерухомою, тому поняття обертання «про вісь» руйнується. (Зверніть увагу на візерунок: у двох вимірах ми обертаємо навколо точки, в трьох вимірах обертання - близько лінії, а в чотирьох вимірах ми обертаємо навколо фіксованої площини.) У розділі 9.3 ми показуємо,L^{ab} що збережено.
Якщо викласти тензор кутового моменту в матричному форматі, то це виглядає так:
\begin{pmatrix} 0 & L^{tx} & L^{ty} & L^{tz}\\ & 0 & L^{xy} & L^{xz}\\ & & 0 & L^{yz}\\ & & & 0 \end{pmatrix}
Нулі на головній діагоналі обумовлені антисиметризацією в визначенні. Я залишив пробіли нижче основної діагоналі, тому що, хоча ці компоненти можуть бути ненульовими, вони містять лише (заперечену) копію інформації, наданої тими, що знаходяться над діагоналлю. Ми бачимо, що насправді є лише6 фрагменти інформації в цій4×4 матриці, і ми вже фізично інтерпретували трикутне скупчення трьох компонентів простору в правому нижньому кутку.
Чому у нас вгорі рядок, що складається з компонентів часового простору, і що вони означають фізично? Високою відповіддю було б те, що це щось дуже глибоке, пов'язане з тим, що, як описано в розділі 8.3, обертання та лінійний рух не так чітко розділені в теорії відносності, як у нерелятивістській фізиці. Більш проста відповідь полягає в тому, що в більшості ситуацій ці компоненти насправді не дуже цікаві. Розглянемо хмару частинок,i = 1 промаркованих наскрізьn. Тоді для представницької складової з верхнього ряду маємо загальну величину.
L^{tx} = \sum t_i p_{i}^{x} - \sum x_i E_i
Тепер припустимо, що ми фіксуємо певну поверхню одночасності за часомt. Сума стає
L^{tx} = t\sum p_{i}^{x} - \sum x_i E_i
Тут є інформація, але це не захоплююча інформація про кутовий момент, це нудна інформація про положення і рух центру мас системи. Якщо ми закріпимо систему відліку, в якій сумарний імпульс дорівнює нулю, тобто центр маси кадру, то у нас є\sum p_{i}^{x} = 0. Давайте також визначимо положення центру маси як середню позицію, зважену масовою енергією, а не середньозваженим по масі, як це було б у ньютонівській механіці. Тоді\sum x_{i}E_i це константа, що стосується положення центру маси, і якщо нам подобається, ми можемо зробити його рівним нулю, вибравши походження наших просторових координат, щоб збігатися з центром маси.
За допомогою цих варіантів ми маємо набагато простіший тензор кутового моменту:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ & 0 & L^{xy} & L^{xz}\\ & & 0 & L^{yz}\\ & & & 0 \end{pmatrix}
Якщо ми хочемо, ми можемо посипати трохи нотаційного цукру поверх всього цього, використовуючи тензор Levi-Civita, описаний у необов'язковому розділі 7.6. Визначимо новий тензор^\star L відповідно до
^\star L_{ij} = \frac{1}{2}\epsilon _{ijkl}L^{kl}
Тоді для спостерігача з векторомo^µ швидкості величинаo_{\mu }^\star L^{\mu \nu } має вигляд\ (0, L^ {yz}, L^ {zx}, L^ {xy}). Тобто його просторові компоненти - це саме ті величини, які ми очікували б для нерелятивістського кутового імпульсу тривектора (використовуючи правильний релятивістський імпульс).