4.5: Сила

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77273

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Поясніть силу і відносність

Сила - це поняття, яке рідко потрібно в теорії відносності, і саме тому цей розділ є необов'язковим.

Чотири сили

За аналогією з ньютонівською механікою визначено вектор релятивістської сили

\[F = m\cdot a\]

де\(a\) - чотиривекторне прискорення (розділ 3.5) і маса частинки, яка має\(m\) це прискорення в результаті сили\(F\). Це еквівалентно

\[F = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \tau }\]

де\(p\) - маса частки і\(τ\) її належний час. Оскільки часоподібна частина\(p\) - це масова енергія частинки, часова складова сили пов'язана з силою, витраченою силою. Ці визначення працюють лише для масивних частинок, оскільки для безмасової частинки ми не можемо визначити\(a\) або\(τ\). \(F\)було визначено з точки зору інваріантів Лоренца та чотирьох векторів, і тому він перетворюється як богобоязний чотиривекторний сам.

Сила, виміряна спостерігачем

Проблема з усім цим полягає в тому, що\(F\) ми насправді вимірюємо, коли вимірюємо силу, за винятком випадків, коли ми опинимося в системі відліку, яка на мить збігається з рештою кадру частинки. Як і у випадку зі швидкістю та прискоренням (розділ 3.7), у нас є чотиривекторний, який має прості стандартні властивості перетворення\(F_o\), але інший, який насправді вимірюється спостерігачем\(o\). Він визначається як

\[F_o = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t }\]

з a\(dt\) в знаменнику, а не a\(dτ\). Іншими словами, він вимірює швидкість передачі імпульсу відповідно до спостерігача, чиї часові координати є\(t\), ні\(τ\) - якщо спостерігач не рухається разом з частинкою. На відміну від трьох-векторів\(v_o\) і\(a_o\), чиї часоподібні складові за визначенням за визначенням спостерігача\(o\),\(F_o\) зазвичай має незникаючу часоподібну складову, яка є швидкістю зміни масової енергії частинки, тобто потужності. Ми можемо посилатися на космічну частину\(F_o\) як три сили.

Наступні два приклади показують, що об'єкт, що рухається з релятивістськими швидкостями, має меншу інерцію в поперечному напрямку, ніж в поздовжньому. Наслідком є те, що три-прискорення не повинно бути паралельним трьом силам.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Circular motion

Для частинки в рівномірному круговому русі,\(γ\) є постійною, і ми маємо

\[F_o = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t }(m\gamma v) = m\gamma \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\]

Масова енергія частинки є постійною, тому часовий компонент\(F_o\) дійсно буває нульовим у цьому прикладі. З точки зору трьох векторів\(v_o\) і\(a_o\) визначених у розділі 3.7, ми маємо

\[F_o = m\gamma \frac{\mathrm{d} v_o}{\mathrm{d} t} = m\gamma a_o\]

яка більша за ньютонівське значення за коефіцієнтом\(γ\). Як практичний приклад, в електронно-променевій трубці (ЕПТ), такій як трубка в старомодному осцилографі або телебаченні, промінь електронів прискорюється до релятивістської швидкості. Щоб намалювати малюнок на екрані, промінь повинен управлятися поперечними силами, а оскільки кути відхилення невеликі, світова лінія променя приблизно така, як рівномірний круговий рух. Сила, необхідна для відбиття променя, більша в рази\(γ\), ніж очікувалося б за законами Ньютона.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Linear motion

Для прискореного лінійного руху в напрямку x, ігноруючи\(y\) і\(z\), ми маємо вектор швидкості

\[v = \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau }\]

чиєю\(x\) складовою є\(γv\). Тоді

\[\begin{align*} F_{o,x} &= m\frac{\mathrm{d} (\gamma v)}{\mathrm{d} t}\\ &= m\frac{\mathrm{d} (\gamma )}{\mathrm{d} t}v + m\gamma \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\\ &= m\frac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} + m\gamma a\\ &= m\left ( v^2 \gamma ^3 a + \gamma a \right )\\ &= ma\gamma ^3 \end{align*}\]

Очевидна інерція частинки збільшується в рази\(γ^3\) завдяки відносності.

Результати наведених вище двох прикладів можна об'єднати наступним чином:

\[F_o = m\gamma a_{o,\perp } + m\gamma ^3 a_{o,\parallel }\]

де індекси\(\perp\) і\(\parallel\) відносяться до частин\(a_o\) перпендикулярно і паралельно\(v_o\).

Трансформація сили, виміряної спостерігачем

Визначте рамки\(o\) відліку для інерційної системи відліку спостерігача, який дійсно рухається разом з частинкою в певний момент часу. Потім те ж\(t\) саме\(τ\), що і те\(F_o\) ж саме, що і\(F\). У цьому кадрі частка на мить перебуває в стані спокою, тому робота, що виконується над нею, зникає, а часові складові\(F_o\) і\(F\) обидва нульові.

Припустимо, ми робимо перетворення Лоренца від o до нового кадру\(o'\), і припустимо, що імпульс паралельний\(F_o\) і\(F\) (які обидва чисто просторові в кадрі\(o\)). Називайте цей напрямок\(x\). Потім\(dp = (dp_t,dp_x) = (0,dp_x)\) перетворюється на\(dp' = (-γv dp_x,γ dp_x)\), так що\(F_{o',x} = dp'_x/dt' = (γ dp_x)/(γ dt) = F_{o,x}\). Два фактори\(γ\) скасування, і ми знаходимо це\(F_{o',x} = F_{o,x}\).

Тепер займемося справою, коли поштовх знаходиться в\(y\) напрямку, перпендикулярному силі. Трансформація Лоренца не змінюється\(dp_y\), тому

\[\begin{align*} F_{o',y} &= \frac{\mathrm{d} p'_y}{\mathrm{d} t'}\\ &= \frac{\mathrm{d} p_y}{(\gamma \mathrm{d} t)}\\ &= \frac{F_{o',y}}{\gamma } \end{align*}\]

Підсумок наших результатів виглядає наступним чином. \(F_o\)Дозволяти сила, що діє на частинку, як вимірюється в кадрі миттєво сумісний з частинкою. Тоді в кадрі відліку рухається відносно цього, у нас є

\[F_{o',\parallel } = F_{o,\parallel }\]

\[F_{o',\perp } = \frac{F_{o,\perp }}{\gamma }\]

де\(\parallel\) вказується напрямок, паралельний відносній швидкості двох кадрів, і напрямок,\(\perp\) перпендикулярний їй.

Працювати

Розглянемо одновимірний варіант трисилового,\(F = dp/dt\). Перевагою цієї величини є те, що вона дозволяє використовувати ньютонівську форму (одновимірного) відношення робота-кінетична енергія\(dE/dx = F\) без корекції. Доказ:

\[\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} p} \frac{F}{v}\]

Шляхом неявної диференціації визначення маси ми виявляємо, що\(dE/dp = p/E\), а це, в свою чергу, дорівнює\(v\) ідентичності, доведеній у прикладі 4.3.2. Це призводить до заявленого результату, який справедливий як для безмасових, так і для матеріальних частинок.