4.5: Сила

Цілі навчання

• Поясніть силу і відносність

Сила - це поняття, яке рідко потрібно в теорії відносності, і саме тому цей розділ є необов'язковим.

Чотири сили

За аналогією з ньютонівською механікою визначено вектор релятивістської сили

$$F = m\cdot a$$

де$a$ - чотиривекторне прискорення (розділ 3.5) і маса частинки, яка має$m$ це прискорення в результаті сили$F$. Це еквівалентно

$$F = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \tau }$$

де$p$ - маса частки і$τ$ її належний час. Оскільки часоподібна частина$p$ - це масова енергія частинки, часова складова сили пов'язана з силою, витраченою силою. Ці визначення працюють лише для масивних частинок, оскільки для безмасової частинки ми не можемо визначити$a$ або$τ$. $F$було визначено з точки зору інваріантів Лоренца та чотирьох векторів, і тому він перетворюється як богобоязний чотиривекторний сам.

Сила, виміряна спостерігачем

Проблема з усім цим полягає в тому, що$F$ ми насправді вимірюємо, коли вимірюємо силу, за винятком випадків, коли ми опинимося в системі відліку, яка на мить збігається з рештою кадру частинки. Як і у випадку зі швидкістю та прискоренням (розділ 3.7), у нас є чотиривекторний, який має прості стандартні властивості перетворення$F_o$, але інший, який насправді вимірюється спостерігачем$o$. Він визначається як

$$F_o = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t }$$

з a$dt$ в знаменнику, а не a$dτ$. Іншими словами, він вимірює швидкість передачі імпульсу відповідно до спостерігача, чиї часові координати є$t$, ні$τ$ - якщо спостерігач не рухається разом з частинкою. На відміну від трьох-векторів$v_o$ і$a_o$, чиї часоподібні складові за визначенням за визначенням спостерігача$o$,$F_o$ зазвичай має незникаючу часоподібну складову, яка є швидкістю зміни масової енергії частинки, тобто потужності. Ми можемо посилатися на космічну частину$F_o$ як три сили.

Наступні два приклади показують, що об'єкт, що рухається з релятивістськими швидкостями, має меншу інерцію в поперечному напрямку, ніж в поздовжньому. Наслідком є те, що три-прискорення не повинно бути паралельним трьом силам.

Приклад$\PageIndex{1}$: Circular motion

Для частинки в рівномірному круговому русі,$γ$ є постійною, і ми маємо

$$F_o = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t }(m\gamma v) = m\gamma \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$$

Масова енергія частинки є постійною, тому часовий компонент$F_o$ дійсно буває нульовим у цьому прикладі. З точки зору трьох векторів$v_o$ і$a_o$ визначених у розділі 3.7, ми маємо

$$F_o = m\gamma \frac{\mathrm{d} v_o}{\mathrm{d} t} = m\gamma a_o$$

яка більша за ньютонівське значення за коефіцієнтом$γ$. Як практичний приклад, в електронно-променевій трубці (ЕПТ), такій як трубка в старомодному осцилографі або телебаченні, промінь електронів прискорюється до релятивістської швидкості. Щоб намалювати малюнок на екрані, промінь повинен управлятися поперечними силами, а оскільки кути відхилення невеликі, світова лінія променя приблизно така, як рівномірний круговий рух. Сила, необхідна для відбиття променя, більша в рази$γ$, ніж очікувалося б за законами Ньютона.

Приклад$\PageIndex{2}$: Linear motion

Для прискореного лінійного руху в напрямку x, ігноруючи$y$ і$z$, ми маємо вектор швидкості

$$v = \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau }$$

чиєю$x$ складовою є$γv$. Тоді

$$\begin{align*} F_{o,x} &= m\frac{\mathrm{d} (\gamma v)}{\mathrm{d} t}\\ &= m\frac{\mathrm{d} (\gamma )}{\mathrm{d} t}v + m\gamma \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\\ &= m\frac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} + m\gamma a\\ &= m\left ( v^2 \gamma ^3 a + \gamma a \right )\\ &= ma\gamma ^3 \end{align*}$$

Очевидна інерція частинки збільшується в рази$γ^3$ завдяки відносності.

Результати наведених вище двох прикладів можна об'єднати наступним чином:

$$F_o = m\gamma a_{o,\perp } + m\gamma ^3 a_{o,\parallel }$$

де індекси$\perp$ і$\parallel$ відносяться до частин$a_o$ перпендикулярно і паралельно$v_o$.

Трансформація сили, виміряної спостерігачем

Визначте рамки$o$ відліку для інерційної системи відліку спостерігача, який дійсно рухається разом з частинкою в певний момент часу. Потім те ж$t$ саме$τ$, що і те$F_o$ ж саме, що і$F$. У цьому кадрі частка на мить перебуває в стані спокою, тому робота, що виконується над нею, зникає, а часові складові$F_o$ і$F$ обидва нульові.

Припустимо, ми робимо перетворення Лоренца від o до нового кадру$o'$, і припустимо, що імпульс паралельний$F_o$ і$F$ (які обидва чисто просторові в кадрі$o$). Називайте цей напрямок$x$. Потім$dp = (dp_t,dp_x) = (0,dp_x)$ перетворюється на$dp' = (-γv dp_x,γ dp_x)$, так що$F_{o',x} = dp'_x/dt' = (γ dp_x)/(γ dt) = F_{o,x}$. Два фактори$γ$ скасування, і ми знаходимо це$F_{o',x} = F_{o,x}$.

Тепер займемося справою, коли поштовх знаходиться в$y$ напрямку, перпендикулярному силі. Трансформація Лоренца не змінюється$dp_y$, тому

$$\begin{align*} F_{o',y} &= \frac{\mathrm{d} p'_y}{\mathrm{d} t'}\\ &= \frac{\mathrm{d} p_y}{(\gamma \mathrm{d} t)}\\ &= \frac{F_{o',y}}{\gamma } \end{align*}$$

Підсумок наших результатів виглядає наступним чином. $F_o$Дозволяти сила, що діє на частинку, як вимірюється в кадрі миттєво сумісний з частинкою. Тоді в кадрі відліку рухається відносно цього, у нас є

$$F_{o',\parallel } = F_{o,\parallel }$$

і

$$F_{o',\perp } = \frac{F_{o,\perp }}{\gamma }$$

де$\parallel$ вказується напрямок, паралельний відносній швидкості двох кадрів, і напрямок,$\perp$ перпендикулярний їй.

Працювати

Розглянемо одновимірний варіант трисилового,$F = dp/dt$. Перевагою цієї величини є те, що вона дозволяє використовувати ньютонівську форму (одновимірного) відношення робота-кінетична енергія$dE/dx = F$ без корекції. Доказ:

$$\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} p} \frac{F}{v}$$

Шляхом неявної диференціації визначення маси ми виявляємо, що$dE/dp = p/E$, а це, в свою чергу, дорівнює$v$ ідентичності, доведеній у прикладі 4.3.2. Це призводить до заявленого результату, який справедливий як для безмасових, так і для матеріальних частинок.