4.2: Е = мК²

Цілі навчання

• Релятивістська теорія гравітації і$E = mc^2$ пояснюється

Тепер ми знаємо релятивістський вираз для кінетичної енергії в граничному випадку ультрарелятивістської частинки: її енергія пропорційна «фактору розтягування»$D$ перетворення Лоренца. Як щодо проміжних випадків, як$v = c/2$?

Малюнок$\PageIndex{1}$: Сірник запалюється всередині баночки дзвінка. Він горить, і енергія виривається з баночки у вигляді світла. Після того як він перестане горіти, все ті ж атоми все одно знаходяться в баночці: ніхто не увійшов і не втік. На малюнку показаний результат, очікуваний до відносності, який полягав у тому, що маса, виміряна на балансі, залишиться точно такою ж. Це не те, що відбувається насправді.

Коли ми змушені возитися з перевіреною часом теорією, нашим першим інстинктом завжди слід возитися якомога консервативно. Хоча ми були змушені визнати, що кінетична енергія не змінюється, як$v^2/2$ при релятивістських швидкостях, наступна найбільш консервативна річ, яку ми могли б зробити, - це припустити, що єдина необхідна зміна - замінити фактор нерелятивістського$v^2/2$ вираження кінетичної енергії деякими іншими. функція, яка повинна була б діяти як$D$ або$1/D$ для$v \rightarrow \pm c$. Я підозрюю, що це те, що думав Ейнштейн, коли він завершив свою оригінальну роботу про відносність у 1905 році, тому що пізніше того ж року він опублікував другий документ, який показує, що цього все ще недостатньо змін для створення робочої теорії. Тепер ми знаємо, що є щось більше, що потрібно змінити щодо пререлятивістської фізики, і це припущення, що маса - це лише властивість матеріальних частинок, таких як атоми (малюнок$\PageIndex{1}$). Називайте це «гіпотезою лише атомів».

Тепер, коли ми знаємо правильний релятивістський спосіб знаходження енергії променя світла, виявляється, що ми можемо використовувати її, щоб знайти те, що шукали спочатку, а це була енергія матеріального об'єкта. Наступна дискусія уважно стежить за Ейнштейном.

Припустимо, що$O$ матеріальний об'єкт маси$m_o$, спочатку перебуваючи в спокої в певному кадрі$A$, випромінює два промені світла (або будь-який інший вид ультрарелятивістських частинок), кожен з яких має енергію$E/2$. За рахунок збереження енергії об'єкт повинен втратити кількість енергії, рівне$E$. За симетрії$O$ залишається в стані спокою.

Тепер ми переходимо на інший кадр відліку, що$B$ рухається з деякою довільною швидкістю, що відповідає коефіцієнту розтягування$D$. Зміна кадрів означає, що ми переслідуємо один промінь, так що його енергія зменшується до$\left ( \frac{E}{2} \right )D^{-1}$, тікаючи від іншого, чия енергія збільшується до$\left ( \frac{E}{2} \right )D$. У кадрі$B$, як і в$A$,$O$ зберігає таку ж швидкість після випромінювання світла. Але спостерігачі в кадрах$A$ і$B$ розходяться в думках про те, скільки енергії$O$ втратила, невідповідність бути

$$E\left [ \frac{1}{2} (D + D^{-1})-1\right ]$$

Це можна переписати за допомогою ідентифікатора [2] з розділу 3.6 як

$$E(\gamma -1)$$

Розглянемо випадок, коли швидкість B відносно A мала. Використовуючи наближення$\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2}$, наш результат приблизно

$$\frac{1}{2}Ev^2$$

нехтуючи умовами замовлення$v^4$ і вище. Тлумачення полягає$E$ в тому, що при$O$ зниженні його енергії, щоб зробити світлові промені, він зменшував свою масу від$m_o$$m_o - m$ туди, де$m = E$. Вставляючи необхідний фактор,$c^2$ щоб зробити це дійсним у одиницях$c \neq 1$, де ми маємо знаменитий Ейнштейн

$$E = mc^2$$

Це виведення спричинило за собою як наближення, так і деякі приховані припущення. Ці питання більш детально розглянуті в розділі 4.4. Результат виявляється справедливим для будь-якого ізольованого тіла.

Ми виявляємо, що маса - це не просто вбудована властивість частинок, що складають об'єкт, причому маса об'єкта є сумою мас його частинок. Швидше, маса і енергія рівнозначні, так що якщо експеримент по фігурі а провести з досить точним балансом, показання впадуть через масового еквівалента енергії, що випромінюється у вигляді світла.

Рівняння$E = mc^2$ говорить нам, скільки енергії еквівалентно скільки маси: коефіцієнт перетворення - квадрат швидкості світла,$c$. Оскільки$c$ велике число, ви отримуєте дійсно велике число, коли ви помножите його сам по собі, щоб отримати$c^2$. Це означає, що навіть невелика кількість маси еквівалентно дуже великій кількості енергії. І навпаки, звичайна кількість енергії відповідає надзвичайно малій масі, і саме тому ніхто не виявив ненульового результату експериментів, як той, який був на малюнку$\PageIndex{1}$ сотні років тому.

Великою подією тут є еквівалентність маси енергії, але ми також можемо отримати результат для енергії матеріальної частинки, що рухається з певною швидкістю. Ми маємо$m(γ - 1)$ для різниці між$O$ енергією в кадрі$B$ та її енергією, коли вона знаходиться в стані спокою, тобто її кінетичною енергією. Але оскільки маса і енергія еквівалентні, ми$O$ призначаємо енергію m, коли вона знаходиться в стані спокою. Результатом є те, що енергія

$$E = m\gamma$$

(Або$mγc^2$ в одиницях с$c \neq 1$).

Приклад$\PageIndex{1}$: Electron-positron annihilation

Природна радіоактивність в землі виробляє позитрони, які схожі на електрони, але мають протилежний заряд. Форма антиречовини, позитрони анігілюють електронами для отримання гамма-променів, форма високочастотного світла. Такий процес вважався б неможливим до Ейнштейна, оскільки збереження маси та енергії вважалося окремими принципами, і цей процес усуває$100\%$ початкову масу. Кількість енергії, виробленої при знищенні речовини$1\: kg$ з$1\: kg$ антиречовиною, становить

$$\begin{align*} E&= mc^2\\ &= (2\: kg)\left ( 3.0 \times 10^8 m/s^2\right )^2 \\ &= 2 \times 10^{17}\: J \end{align*}$$

який знаходиться на тому ж порядку, що і денне споживання енергії для всього населення планети!

Позитронна анігіляція є основою для медичної методики візуалізації, яка називається ПЕТ (позитронно-емісійна томографія) сканування, при якій пацієнту вводять позитрон випромінюють хімічну речовину і відображається випромінюванням гамма-променів з частин тіла, де він накопичується.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Верх: ПЕТ-сканер. Середина: Кожен позитрон анігілює електроном, виробляючи два гамма-промені, які відлітають спиною до спини. Коли два гамма-промені спостерігаються одночасно в кільці детекторів, передбачається, що вони походять від одного і того ж події анігіляції, і точка, в якій вони були випущені, повинна лежати на лінії, що з'єднує два детектори. Внизу: Сканування тулуба людини. Організм сконцентрував радіоактивний трактор навколо шлунка, що свідчить про ненормальний медичний стан.

Приклад$\PageIndex{2}$: A rusting nail

Залізний цвях залишають в чашці з водою, поки він повністю не перетвориться на іржу. Енергія, що виділяється - це приблизно$0.5\: MJ$. Теоретично, чи буде досить точна шкала реєструвати зміну маси? Якщо так, то скільки?

Рішення

Енергія буде з'являтися у вигляді тепла, яке буде втрачено навколишньому середовищу. Загальна масова енергія чашки, води та заліза дійсно буде зменшена$0.5\: MJ$. (Якби він був ідеально ізольований, змін не було б, оскільки теплова енергія потрапила б у чашку.) Швидкість світла є$c = 3×10^8\: m/s$, тому перетворення в одиниці маси, ми маємо

$$\begin{align*} m&= \frac{E}{c^2}\\ &= \frac{0.5 \times 10^6\: J}{(3 \times 10^8\: m/s)^2}\\ &= 6 \times 10^{-12}\: kg \end{align*}$$

Зміна маси занадто мала, щоб виміряти будь-якою практичною технікою. Це пояснюється тим, що квадрата швидкості світла така велика кількість.

Приклад$\PageIndex{3}$: Relativistic kinetic energy

Приблизно до 1930 року прискорювачі частинок прогресували до того моменту, коли регулярно враховувалися релятивістські ефекти. У 1964 р. Бертоцці зробив спеціальний експеримент для перевірки прогнозів відносності за допомогою прискорювача електронів. Результати були розглянуті менш детально в прикладі 3.3.1, в цей момент ми ще не бачили релятивістського рівняння для кінетичної енергії. Електрони були прискорені через статичну різницю електричних потенціалів$V$ до різних кінетичних енергій$K = eV$, а їх швидкості виведені шляхом вимірювання часу їх польоту через лінію променя довжини$l = 8.4\: m$. Електричні імпульси реєструвалися на осцилографі на початку і кінці часу польоту$t$. Енергії були підтверджені калориметрією. $\PageIndex{3}$На малюнку показаний зразок фотографії сліду осцилографа в$V = 1.5\: MeV$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Кожне горизонтальне поділ становить 9,8 нс.

Передбачення ньютонівської фізики виглядає наступним чином.

$$eV = \frac{1}{2}mv^2$$

$$\frac{v}{c} = 2.4$$

$$t = 12\: ns$$

Відповідно до особливої відносності, ми маємо:

$$eV = m(\gamma -1)c^2$$

$$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left ( 1 + \frac{eV}{mc^2} \right )^{-2}} = 0.97$$

$$t = 29\: ns$$

Результати суперечать ньютонівському прогнозу і узгоджуються з особливою відносністю. На думку Ньютона, ця кількість енергії повинно було прискорити електрони до декількох разів швидкості світла. Насправді ми бачимо наочну демонстрацію природи$c$ як граничної швидкості.

Приклад$\PageIndex{4}$: Gravity bending light

Малюнок$\PageIndex{4}$: Гравітація вигину світла.

Гравітація - це універсальне тяжіння між речами, які мають масу, і оскільки енергія в пучку світла еквівалентна деякій дуже невеликій кількості маси, на світло повинна впливати гравітація, хоча ефект повинен бути дуже малим. Перше експериментальне підтвердження відносності прийшло в 1919 році, коли спостерігалося, що зірки поруч із сонцем під час сонячного затемнення трохи змістилися зі свого звичайного положення. (Якби затемнення не було, відблиски сонця заважали б спостерігати за зірками.) Зоряне світло було вражено гравітацією сонця. Фігура$\PageIndex{4}$ є фотографічним негативом, тому коло, яке здається яскравим, насправді є темним обличчям Місяця, а темна область - це справді яскрава корона сонця. Зірки, позначені лініями вище і нижче тоді, з'являлися на позиціях, трохи інших, ніж їх звичайні.

Майте на увазі, що ці аргументи дуже грубі та якісні, і неможливо створити релятивістську теорію гравітації, просто взявши$E = mc^2$ та поєднавши її із законом гравітації Ньютона. Адже цей закон взагалі не стосується часу: він передбачає, що гравітаційні сили поширюються миттєво. Ми знаємо, що це не може бути узгоджено з відносністю, яка забороняє причиною та наслідкам поширюватися з будь-якою швидкістю, більшою ніж$c$. Щоб створити релятивістську теорію гравітації, нам потрібна загальна теорія відносності.

Подібні міркування говорять про те, що можуть бути зірки - чорні діри - настільки щільні, що їх гравітація може перешкодити виходу світла. Такі зірки були виявлені, і їх властивості, здається, поки що правильно описані загальною відносністю.