4.6: Два додатки

Цілі навчання

• Закон Стефана-Больцмана
• вироджена речовина

Закон Стефана-Больцмана

У 1818 році Дюлонг і Петі проаналізували експериментальні дані, щоб знайти емпіричний і абсолютно неправильний закон

\[P \propto \exp[T/(13.5 K)]\]

що стосується температури\(T\) тіла до потужності (\(P\)) він випромінює як електромагнітне випромінювання. (Щоб побачити, що це повинно бути неправильно, зверніть увагу, що він не зникає при абсолютному нулі.) Прийнято було до 1884 року, коли Больцман виправляв систематичну помилку в їх аналізі даних, і запропонував теоретичний аргумент для правильного закону Стефана-Больцмана:

\[P \propto T^4.\]

Цей закон надзвичайно важливий у різних додатках, включаючи глобальне потепління, зоряну структуру, космологію та зігрівання рук світінням вогню. Сучасні студенти фізики зазвичай стикаються з нею як наслідок в історії розвитку квантової теорії Планка, Ейнштейна та ін., Але як ми побачимо нижче, це суто класичний результат, що залежить тільки від відносності і термодинаміки.

Розглянемо ізольовану кубічну коробку об'єму,\(V\) що містить випромінювання в тепловій рівновазі. Ми дозволяємо йому рівномірно розширюватися з постійною ентропією, так що всі три сторони ростуть одним і тим же фактором a. (Це саме те, що відбувається при космологічному розширенні.) Розумна ідея Больцмана полягала в тому, що випромінювання можна розглядати як робочу рідину в тепловому двигуні.

За релятивістським співвідношенням між імпульсом і енергією енергія і імпульс променя світла рівні (в природних одиницях). Тому якби ми жили в одновимірному світі,\(p\) тиск, що чиниться нашим випромінюванням на стінки його одновимірної судини, дорівнювало б його енергетичній щільності\(ρ\). Оскільки ми живемо в тривимірному світі, а моменти по трьох осях знаходяться в рівновазі, ми маємо замість цього\(p = ρ/3\). Це називається рівнянням стану випромінювання. У космології інші компоненти Всесвіту, такі як галактики, мають рівняння стану з деяким фактором, відмінним від\(1/3\) спереду.

У міру розширення коробки тиск випромінювання на стіни дійсно працює\(W\). Зберігаючи енергію, ми маємо

\[dU + dW = 0\]

де\(U\) - енергія випромінювання. Підставивши\(U = ρV\) і\(dW = pdV\), отримуємо

\[d(ρV ) + pdV = 0\]

Застосовуючи правило продукту, розділяючи змінні та інтегруючи, знаходимо

\[\rho \propto a^{-4}.\]

Тут показником\(4\) є просто кількість просторових розмірів плюс один. Точно таке ж відношення трималося і в ранньому Всесвіті, де панувало випромінювання, а не матерія.

Оскільки тепловіддачі немає, ентропія постійна. Ентропія може бути інтерпретована як міра кількості доступних станів, і оскільки підрахунок стану не залежить від масштабування, зайняті режими вібрації залишаються незмінними. Таким чином, довжини хвиль просто ростуть пропорційно a. (Більш формальна і сувора версія цього аргументу називається адіабатична теорема, доведена Борном і Фоком в 1928 році.) Хоча це класичний аргумент, ми можемо зберегти деяку роботу на цьому етапі, звернувшись до квантової механіки для ярлика. Оскільки фотон має енергію\(1/λ\), ми маємо

\[U \propto \frac{1}{\lambda } \propto \frac{1}{a}\]

Температура випромінювання пропорційна середній енергії на градус свободи, тому ми маємо

\[T \propto \frac{1}{a}\]

а також.

Тому\(\rho \propto T^4\). Це еквівалентно результату Стефана-Больцмана, оскільки світлові промені рухаються з фіксованою швидкістю\(c\), а тому потік випромінювання пропорційний щільності енергії. Незважаючи на те, що ця кінцева пропорційність є класичною за своєю природою, значення константи пропорційності залежить від константи Планка і є квантово-механічною.

вироджена речовина

Властивості вектора імпульсу мають дивовижні наслідки для матерії, що піддається екстремальному тиску, як у зірці, яка використовує все своє паливо для ядерного синтезу та руйнується. Ці наслідки спочатку вважалися занадто екзотичними, щоб їх серйозно сприймали астрономи.

Звичайна, маленька зірка, така як наше власне сонце, має достатньо водню, щоб підтримувати реакції синтезу протягом мільярдів років, підтримуючи рівновагу між своєю гравітацією та тиском своїх газів. Коли водень витрачається, він повинен почати плавлення більш важких елементів. Це призводить до періоду відносно швидких коливань в структурі. Ядерний синтез триває до утворення таких важких елементів, як кисень (\(Z = 8\)), але температури недостатньо високі, щоб подолати сильне електричне відштовхування цих ядер для створення ще більш важких. Деяка матерія здувається, але остаточно припиняються ядерні реакції і зірка руйнується під тягою власної гравітації.

Щоб зрозуміти, що відбувається при такому колапсі, ми повинні розуміти поведінку газів під дуже високим тиском. Загалом, площа поверхні\(A\) всередині газу піддається зіткненню за час\(t\) від\(n\) частинок, що займають об'єм

\[V = Avt\]

де\(v\) - типова швидкість частинок. Отримане тиск задається

\[P \sim \frac{npv}{V}\]

де\(p\) типовий імпульс.

Невироджений газ

У звичайному газі, такому як повітря, частинки нерелятивістські, тому

\[v = p/m\]

і теплова енергія на частку становить

\[\frac{p^2}{2m} \sim kT\]

так тиск

\[P \sim \frac{nkT}{V}\]

Нерелятивістський, вироджений газ

Коли ферміонний газ піддається екстремальному тиску, домінуючі ефекти, що створюють тиск, є квантово-механічними. Через принцип виключення Паулі обсяг, доступний кожній частинці\(\sim V/n\), тому його довжина хвилі не більше\((\sim V/n)^{1/3}\), що призводить до

\[p = \frac{h}{\lambda } \sim h\left ( \frac{n}{V} \right )^{1/3}\]

Якщо швидкості частинок все ще нерелятивістські, то\(v = p/m\) все одно тримається, тому тиск стає

\[P \sim \left ( \frac{h^2}{m} \right ) \left ( \frac{n}{V} \right )^{5/3}\]

Релятивістський, вироджений газ

Якщо стиснення досить сильне, щоб викликати високорелятивістський рух для частинок\(v \approx c\), то, і результат

\[P \sim hc \left ( \frac{n}{V} \right )^{4/3}\]

Коли зірка з масою нашого сонця руйнується, вона досягає точки, в якій електрони починають вести себе як вироджений газ, і колапс припиняється. Отриманий об'єкт називається білим карликом. Білий карлик повинен представляти собою надзвичайно компактне тіло, розміром приблизно з Землю. Через свою невелику площу поверхні він повинен випромінювати дуже мало світла. У 1910 році, перш ніж були зроблені теоретичні прогнози, Рассел, Пікерінг та Флемінг виявили, що 40 Ерідані Б мають ці характеристики. Рассел згадував: «Я знав про це достатньо, навіть у ці палеозойські дні, щоб відразу зрозуміти, що існує надзвичайна невідповідність між тим, що ми тоді назвали б «можливими» значеннями яскравості та щільності поверхні. Я, мабуть, показав, що я був не тільки спантеличений, але й засмучений, за винятком того, що виглядало як дуже гарне правило зоряних характеристик; але Пікерінг посміхнувся мені і сказав: «Саме ці винятки призводять до прогресу в наших знаннях», і тому білі карлики увійшли в сферу навчання! »

Ілюстрація\(\PageIndex{1}\): Субрахманян Чандрасехар (1910-1995)

С.Чандрасехар показав у 1930-х роках, що існує верхня межа маси білого карлика. Його розрахунок ми коротко згортаємо в стисненому порядку величини вигляді. Тиск в ядрі зірки дорівнює

\[P \sim \rho gr \sim \frac{GM^2}{r^4}\]

\(M\)де - загальна маса зірки. Зірка містить приблизно рівні числа нейтронів, протонів і електронів\(M = Knm\), так, де\(m\) маса електрона,\(n\) - кількість електронів, і\(K ≈ 4000\). Для зірок поблизу межі електрони є релятивістськими. Встановивши тиск на ядрі рівне тиску виродження релятивістського газу, виявимо, що межа Чандрасекхара є\(\sim \left ( \frac{hc}{G} \right )^{3/2} (Km)^{-2} = 6M\odot\). Менш неакуратний розрахунок дає щось більше схоже\(1.4M \odot\).

Що відбувається із зіркою, маса якої перевищує межу Чандрасекхара? Коли реакції ядерного синтезу виблискують, ядро зірки стає білим карликом, але як тільки синтез повністю припиняється, це не може бути рівноважним станом. Тепер розглянемо ядерні реакції

\[n \rightarrow p + e^- + \bar{v}\]

\[p + e^- \rightarrow n + v\]

які відбуваються через слабку ядерну силу. Перший з цих випусків\(0.8\: MeV\), і має період напіврозпаду\(14\) хвилин. Це пояснює, чому вільні нейтрони не спостерігаються в значній кількості у нашому Всесвіті, наприклад, у космічних променях. Друга реакція вимагає\(0.8\: MeV\) введення енергії, тому вільний атом водню стабільний. Білий карлик містить досить важкі ядра, а не окремі протони, але подібні міркування, здавалося б, застосовуються. Ядро може поглинати електрон і перетворювати протон в нейтрон, і в цьому контексті процес називається захопленням електронів. Зазвичай цей процес відбувається лише в тому випадку, якщо ядро має дефіцит нейтронів; як тільки воно досягне співвідношення нейтронів до протона, яке оптимізує його енергію зв'язування, захоплення нейтронів не може протікати без джерела енергії, щоб зробити реакцію. У середовищі білого карлика, однак, є таке джерело. Анігіляція електрона відкриває дірку в «Фермі море». Зараз існує стан, в яке іншому електрону дозволено впасти, не порушуючи принципу виключення, а ефект каскадує вгору. У зірці з масою вище межі Чандрасекхара цей процес завершується, причому кожен протон перетворюється на нейтрон. В результаті виходить нейтронна зірка, яка по суті є атомним ядром (з\(Z = 0\)) з масою зірки!

Спостережні докази існування нейтронних зірок прийшли в 1967 році з виявленням Беллом і Хевішем в Кембриджі таємничого радіосигналу з періодом в\(1.3373011\) секунди. Спостережуваність сигналу була синхронізована з обертанням землі щодо зірок, а не з легальним часом годинника або обертанням землі щодо Сонця. Це призвело до висновку, що його походження було в космосі, а не на землі, і Белл і Хевіш спочатку охрестили його LGM-1 для «маленьких зелених чоловічків». Відкриття другого сигналу, з іншого напрямку в небі, переконало їх, що насправді це не штучний сигнал, який генерують інопланетяни. Белл опублікувала спостереження як додаток до своєї кандидатської дисертації, і незабаром воно було інтерпретовано як сигнал від нейтронної зірки. Нейтронні зірки можуть бути сильно намагнічені, і через цю намагніченість вони можуть випромінювати спрямований пучок електромагнітного випромінювання, який проноситься по небу один раз за період обертання - «ефект маяка». Якщо земля лежить в площині променя, може бути виявлений періодичний сигнал, а зірку називають пульсаром. Досить легко помітити, що короткий період обертання ускладнює пояснення пульсара як будь-якого виду менш екзотичного обертового об'єкта. У наближенні ньютонівської механіки сферичне тіло\(ρ\) щільності, що обертається з періодом\(T = \sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }}\), має нульову видиму гравітацію на своєму екваторі, оскільки гравітація просто досить сильна, щоб прискорити об'єкт, щоб він слідував круговою траєкторією над нерухомою точкою на поверхні. Насправді астрономічні тіла планетарних розмірів і більше утримуються разом своєю власною гравітацією, тому ми маємо\(T \gtrsim \frac{1}{\sqrt{G\rho }}\) для будь-якого тіла, яке не розлітається спонтанно за рахунок власного обертання. У випадку з пульсаром Bell-Hewish це означає\(\rho \gtrsim 10^{10}\: kg/m^3\), що набагато більше щільності нормальної речовини, а також в\(10 - 100\) рази більше, ніж типова щільність білого карлика поблизу межі Чандрасехара.

Верхню межу маси нейтронної зірки можна знайти способом, повністю аналогічним розрахунку межі Чандрасехара. Єдина відмінність полягає в тому, що маса нейтрона набагато більше маси електрона, а нейтрони є єдиними присутніми частинками, тому немає ніякого фактора\(K\). Припускаючи більш точний результат\(1.4M\odot\) для межі Чандрасекхара, а не нашої неохайної, і ігноруючи взаємодію нейтронів за допомогою сильної ядерної сили, ми можемо зробити висновок про верхню межу маси нейтронної зірки:

\[1.4M\odot \left ( \frac{Km_e}{m_n} \right )^2 \approx 5M\odot\]

Теоретичні невизначеності в такій оцінці досить великі. Толман, Оппенгеймер і Волкофф спочатку оцінили його в 1939 році як\(0.7M\odot\), тоді як сучасні оцінки більше в діапазоні\(1.5M\odot\) до\(3M\odot\). Вони значно нижчі, ніж наша груба оцінка\(5M\odot\), головним чином тому, що привабливий характер сильної ядерної сили, як правило, тягне зірку до краху. Однозначні результати в даний час неможливі через невизначеність екстраполяції поведінки сильної сили з режиму звичайних ядер, де вона була відносно добре параметризована, в екзотичне середовище нейтронної зірки, де щільність значно відрізняється і немає протонів теперішній. Існують різноманітні ефекти, які може бути важко передбачити або обчислити. Наприклад, Браун і Бет виявили в 1994 ¹, що можливо, межа маси може бути різко переглянута через процес\(e^- \rightarrow K^- + v_e\), який неможливий у вільному просторі через збереження енергії, але може бути можливим у нейтронній зірці. Спостережно, майже всі нейтронні зірки, здається, лежать в дивно малому діапазоні маси, між\(1.3M\odot\) і\(1.45M\odot\), але в 2010 році\(1.97 \pm 0.04 M\odot\) була виявлена нейтронна зірка з масою, виключаючи більшість нейтронних моделей зірок, які включали екзотичну речовину. ²

Для зірок з масами вище межі Толмана-Оппенгеймера-Волкова здається ймовірним, як на теоретичних, так і на спостережних підставах, ми закінчуємо чорною дірою: об'єктом з горизонтом подій, який відрізає його внутрішню частину від решти Всесвіту.

Посилання

¹ Бет і Г.Е. Браун, «Спостережні обмеження на максимальну масу нейтронної зірки», Астрофіс. J. 445 (1995) С129. Г.Е. Браун і Х.А. Бет, «Сценарій великої кількості чорних дір низької маси в Галактиці», Астрофіс. J. 423 (1994) 659. Обидві статті доступні за адресою adsabs.harvard.edu.

² Деморест та ін., arxiv.org/abs/1010.5788v1.