4.1: Ультрарелятивістські частинки

Цілі навчання

• Поясніть ультрарелятивістську частку

Типова гвинтівка$22$ -калібру стріляє кулею масою близько$3\:g$ зі швидкістю близько$400\: m/s$. Тепер розглянемо стрільбу з такої гвинтівки, як видно через надпотужний телескоп інопланетянином в далекій галактиці. Нам трапляється стріляти в напрямку подалі від інопланетянина, який отримує вид через наше плече. Оскільки Всесвіт розширюється, наші дві галактики відступають один від одного. У кадрі інопланетянина наша власна галактика рухається - скажімо, в ¹$c - (200\: m/s$. Якщо дві швидкості просто додати, куля буде рухатися на$c + (200\: m/s$. Але швидкості не просто додають і віднімають релятивістично, а застосовуючи правильне рівняння для релятивістської комбінації швидкостей, ми виявляємо, що в кадрі інопланетянина куля летить тільки$c - (199.9995\: m/s)$. Тобто, на думку інопланетянина, енергії в пороху вдалося тільки прискорити кулю$0.0005\: m/s$! Якби ми наполягали на вірі$K=\frac{1}{2}mv^2$, це явно порушило б збереження енергії в системі відліку інопланетянина. Виявляється, кінетична енергія повинна не тільки підніматися швидше, ніж у$v^2$ міру$v$$c$ наближення, вона повинна підірватися до нескінченності. Це дає динамічне пояснення того, чому жоден матеріальний об'єкт ніколи не може досягти або перевищити$c$, як ми вже зробили висновок на чисто кінематичних підставах.

Для інопланетянина і наша галактика, і куля є ультрарелятивістськими об'єктами, тобто об'єктами, що рухаються майже на$c$. Хороший спосіб мислення про ультрарелятивістської частинці полягає в тому, що це частка з дуже маленькою масою. Наприклад, субатомна частка під назвою нейтрино має дуже малу масу, в тисячі разів меншу, ніж у електрона. Нейтрино виділяються при радіоактивному розпаді, і оскільки маса нейтрино настільки мала, кількість енергії, наявної в цих розпадах, завжди достатньо, щоб прискорити її до дуже близького$c$. Нікому ніколи не вдавалося спостерігати нейтрино, яке не було ультрарелятивістським. Коли маса частинки дуже мала, масу стає важко виміряти. Протягом майже$70$ років після того, як нейтрино було виявлено, його маса вважалася нульовою. Аналогічно, в даний час ми вважаємо, що промінь світла не має маси, але завжди можливо, що його маса буде визнана ненульовою в якийсь момент в майбутньому. Промінь світла можна змоделювати як ультрарелятивістську частку.

Давайте порівняємо ультрарелятивістські частинки з вагонами поїздів. Один автомобіль з кінетичною енергією$E$ має різні властивості, ніж поїзд з двох вагонів кожен з кінетичною енергією$E/2$. Одиночний автомобіль має половину маси і швидкість, яка в рази більше$\sqrt{2}$. Але те ж саме не стосується ультрарелятивістських частинок. Оскільки ідеалізована ультрарелятивістська частинка має масу занадто малу, щоб її можна було виявити в будь-якому експерименті, ми не можемо виявити різницю між$m$ і$2m$. Крім того, ультрарелятивістські частинки рухаються близько до$c$, тому немає помітної різниці в швидкості. Таким чином, ми очікуємо, що одна ультрарелятивістська частинка з енергією в$E$ порівнянні з двома такими частинками$E/2$, кожна з яких має енергію, повинна мати всі ті ж властивості, що вимірюються механічним детектором.

Ідеалізована частка нульової маси також не має рамки, в якій вона може перебувати в стані спокою. Він завжди подорожує$c$, і як би швидко ми не переслідували його, ми ніколи не зможемо наздогнати. Однак ми можемо спостерігати це в різних рамках відліку, і виявимо, що його енергія різна. Наприклад, далекі галактики відступають від нас на значних частках$c$, і коли ми спостерігаємо їх через телескоп, вони здаються дуже тьмяними не тільки тому, що вони дуже далеко, але й тому, що їх світло має менше енергії в нашому кадрі, ніж у кадрі в спокої відносно джерела. Цей ефект повинен бути таким, що зміна рамок відліку відповідно до конкретного перетворення Лоренца завжди змінює енергію частинки на фіксований коефіцієнт незалежно від початкової енергії частинки; бо якщо ні, то вплив перетворення Лоренца на одну частинку енергії$E$ відрізнявся б від його впливу на дві частинки енергії$E/2$.

Як цей коефіцієнт зсуву енергії залежить$v$ від швидкості перетворення Лоренца? Тут стає приємніше працювати в плані змінної$D$. Давайте напишемо$f(D)$ для коефіцієнта зсуву енергії, який є результатом заданого перетворення Лоренца. Оскільки перетворення Лоренца з$D_1$ подальшим другим перетворенням$D_2$ еквівалентно одному перетворенню$D_1D_2$, ми повинні мати$f(D_1D_2) = f(D_1)f(D_2)$. Це жорстко обмежує форму функції$f$; вона повинна бути чимось на зразок$f(D) = D^n$, де$n$ знаходиться константа. Інтерпретація$n$ полягає в тому, що при перетворенні Лоренца, відповідному$1\%$ з$c$, енергії ультрарелятивістських частинок змінюються приблизно$n\%$ (роблячи наближення, що$v = 0.1$ дає$(D \simeq 1.01)$. У своїй оригінальній роботі 1905 року про спеціальну відносність Ейнштейн використовував рівняння Максвелла та перетворення Лоренца, щоб показати це для світлової хвилі$n = 1$, і ми доведемо в розділі 4.3, що це стосується будь-якого ультрарелятивістського об'єкта. Він писав: «Примітно, що енергія і частота.. змінюються в залежності від стану руху спостерігача відповідно до того ж закону. Ймовірно, він був зацікавлений цим фактом, оскільки 1905 рік також був роком, коли він опублікував свою роботу про фотоефект, який сформував основи квантової механіки. Аксіома квантової механіки полягає в тому, що енергія і частота будь-якої частинки пов'язані між собою$E = hf$, і$f$ якби$E$ і не трансформувалися однаково релятивістично, то квантова механіка була б несумісна з відносністю.

Якщо припустити, що певні об'єкти, такі як світлові промені, справді безмасові, а не просто мають маси, занадто малі, щоб їх можна було виявити, то їх$D$ не має кінцевого значення, але ми все ще можемо знайти, як енергія відрізняється відповідно до різних спостерігачів, знайшовши$D$ з Лоренца перетворення між двома рамками відліку спостерігачів.

Приклад$\PageIndex{1}$: The astronomical energy shift of the Andromeda Galaxy

З квантово-механічних причин атом водню може існувати тільки в станах з певними питомими енергіями. Таким чином, зберігаючи енергію, атом може лише поглинати або випромінювати світло, яке має енергію, рівну різниці між двома такими атомними енергіями. Зовнішня атмосфера зірки здебільшого складається з одноатомного водню, і одна з енергій, яку атом водню може поглинати або випромінювати, є$3.0276×10^{-19}\: J$. Коли ми спостерігаємо світло від зірок у Галактиці Андромеди, він має енергію$3.0306 × 10^{-19}\: J$. Якщо передбачається, що це повністю пов'язано з рухом Чумацького Шляху і Галактики Андромеди відносно один одного, по лінії, що з'єднує їх, знайдіть напрямок і величину цієї швидкості.

Рішення

Енергія зміщена вгору, а значить, Галактика Андромеди рухається до нас. (Галактики на космологічних відстанях завжди відступають одна від одної, але це не обов'язково тримається для галактик настільки близько, як ці.) Пов'язуючи зсув енергії зі швидкістю, ми маємо

$$\frac{E'}{E} = D = \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}$$

Оскільки зсув становить лише близько однієї частини на тисячу, швидкість невелика порівняно з$c$ - або мала порівняно з$1$ одиницями де$c = 1$. Тому ми можемо використовувати низькошвидкісне наближення$D \approx 1+v$, яке дає

$$\begin{align*} v \approx D-1 &= \frac{E'}{E}-1 \\[5pt] = -1.0 \times 10^{-3} \end{align*}$$

Негативний знак підтверджує, що джерело наближається, а не відступає. Це в одиницях де$c = 1$. Перетворення в одиниці СІ, де$c \neq 1$, ми маємо

$$v = (-1.0 \times 10^{-3})c = -300\: km/s.$$

Хоча дотичний рух Галактики Андромеди точно не відомий, вважається ймовірним, що він зіткнеться з Чумацьким Шляхом через кілька мільярдів років.

Посилання

¹ Насправді, коли дві швидкості рухаються з релятивістськими швидкостями порівняно одна з одною, вони розділені космологічною відстанню, і спеціальна відносність насправді не дозволяє нам побудувати такі великі рамки відліку.