7.2: Бета-розпад
- Page ID
- 79459
Бета-розпад - це радіоактивний розпад, при якому протон в ядрі перетворюється в нейтрон (або навпаки). У процесі ядро випромінює бета-частинку (або електрон, або позитрон) і квазі-безмасову частинку, нейтрино.
Нагадаємо, графік масового ланцюга і бета-розпаду рис.7. При вивченні енергії зв'язку з SEMF ми побачили, що при фіксованому А існує мінімум в ядерній масі для конкретного значення Z. Для досягнення цього мінімуму нестабільні нукліди піддаються бета-розпаду для перетворення надлишкових протонів в нейтрони (і навпаки).
Реакції та феноменологія
Реакція бета-розпаду пишеться так:
\[\ce{_{Z}^{A} X_{N} -> _{Z+1}^{A} X_{N-1}^{\prime} + e^{-} + \bar{\nu}} \nonumber\]
Це і є\(\beta^{-}\) гниття. (або негативний бета-розпад) Основна реакція:
\[\ce{n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}} \nonumber\]
який перетворює протон в нейтрон з випромінюванням електрона і антинейтрино. Існує два інших типи реакцій:\(\beta^{+}\) реакція,
\[\ce{ ^{A}_{Z} X_{N} -> _{Z-1}^{A} X_{N+1}^{\prime} + e^{+} + \nu } \nonumber\]
з цією основною реакцією
\[\ce{p -> n + e^{+} + \nu} \nonumber\]
який бачить випромінювання позитрона (електронна античастинка) та нейтрино; і захоплення електронів:
\[{ }_{Z}^{A} X_{N}+e^{-} \rightarrow{ }_{Z-1}^{A} X_{N+1}^{\prime}+\nu \nonumber\]
з цією основною реакцією
\[\ce{ p + e^{-} \rightarrow n+\nu} \nonumber\]
процес, який конкурує з, або замінює, позитронної емісії.
\ [{} _ {29} ^ {64}\ mathrm {Cu}\ зворотний слеш\ почати {масив} {ll}
\ поруч & {} ^ {64}\ mathrm {Zn} +e^ {-} +\ бар {\ nu},\ квадратний Q_ {\ бета} =0,57 M\ mathrm {eV}\\
& {} _ {28} ^ {64}\ mathrm {Ni} +e^ {+} +\ nu,\ quad Q_ {\ бета} =0.66\ mathrm {MeV}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Нейтрино і бета-частинка (\(\beta^{\pm}\)) поділяють енергію.
Оскільки нейтрино дуже важко виявити (як ми побачимо, вони майже безмасові і дуже слабо взаємодіють з речовиною), електрони/позитрони - це частинки, виявлені в бета-розпаді, і вони представляють характерний енергетичний спектр (див. Рис. 45). Різниця між спектром\(\beta^{\pm}\) частинок обумовлена кулонівським відштовхуванням або притяганням від ядра. Зверніть увагу, що нейтрино також несуть кутовий момент. Вони являють собою спін-1/2 частинки, без заряду (звідси і назва) і дуже малої маси. Протягом багатьох років насправді вважалося, що він має нульову масу. Однак було підтверджено, що він має масу в 1998 році.
Закони про збереження
Оскільки нейтрино важко виявити, спочатку бета-розпад, здавалося, порушував енергозбереження. Введення додаткової частинки в процес дозволяє поважати збереження енергії. Крім енергії, існують і інші консервовані кількості:
- Енергія: Q значення бета-розпаду задається звичайною формулою:
\[Q_{\beta^{-}}=\left[m_{N}\left({ }^{A} X\right)-m_{N}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)-m_{e}\right] c^{2}. \nonumber\]
Використовуючи атомні маси і нехтуючи енергіями зв'язку електрона, як зазвичай, ми маємо
\[\begin{align*} Q_{\beta^{-}} &=\left\{\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-Z m_{e}\right]-\left[m_{A}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)-(Z+1) m_{e}\right]-m_{e}\right\} c^{2} \\[4pt] &=\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-m_{A}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)\right] c^{2}. \end{align*}\]
Кінетична енергія (рівна\(Q\)) ділиться нейтрино і електроном (ми нехтуємо будь-якою віддачею масивного ядра). Тоді виникає електрон (пам'ятайте, єдина частка, яку ми дійсно можемо спостерігати) не має фіксованої енергії, як це було, наприклад, для гамма-фотона. Але він буде демонструвати спектр енергії (яка є кількістю електрона при даній енергії), а також розподіл моментів. Ми побачимо, як ми можемо відтворити ці сюжети, аналізуючи QM-теорію бета-розпаду.
- Імпульс: Імпульс також ділиться між електроном і нейтрино. При цьому спостережуваний імпульс електронів коливається від нуля до максимально можливої передачі імпульсу.
- Кутовий імпульс (як електрон, так і нейтрино мають спін 1/2)
- Парність? Виявляється, паритет не зберігається в цьому занепаді. Це натякає на те, що відповідальна взаємодія порушує збереження паритету (тому це не може бути ті самі взаємодії, які ми вже вивчаємо, наприклад, і сильні взаємодії)
- Заряд (таким чином, створення протона, наприклад, завжди супроводжується створенням електрона)
- Число Лептона: ми не зберігаємо загальну кількість частинок (створюємо бета і нейтрино). Однак кількість масивних, важких частинок (або баріонів, що складаються з 3 кварків) зберігається. Також зберігається лептоновий номер. Лептони є основними частинками (включаючи електрон, мюон і тау, а також три типи нейтрино, пов'язані з цими 3). Число лептонів дорівнює +1 для цих частинок і -1 для їх античастинок. Тоді електрон завжди супроводжується створенням антинейтрино, наприклад, для збереження лептонового числа (спочатку нуль).
Теорія бета-розпаду Фермі
Властивості бета-розпаду можна зрозуміти, вивчивши його квантово-механічний опис за допомогою Золотого правила Фермі, як це робиться для гамма-розпаду.
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right) \nonumber\]
У процесі гамма-розпаду ми бачили, як тобто поле описується як оператор, який може створювати (або знищувати) фотони. Ніхто не заперечував проти того, що ми можемо створити ці безмасові частинки. Адже ми знайомі з зарядженими частинками, які виробляють (створюють) тобто поле. Однак у QM фотони також є частинками, і за аналогією ми можемо мати також створення інших типів частинок, таких як електрон і нейтрино.
Для бета-розпаду нам потрібен інший тип взаємодії, який здатний створювати масивні частинки (електрон і нейтрино). Взаємодія не може бути дана е.м. полем; більш того, з огляду на можливості створення і знищення частинок, нам також потрібно знайти новий опис самих частинок, що дозволяє ці процеси. Все це виходить квантовою теорією поля і другим квантуванням. Квантова теорія поля дає уніфікацію е.м. і слабкої сили (електро-слабкої взаємодії) з однією константою зв'язку е.Взаємодія, що відповідає за створення електрона і нейтрино в бета-розпаді, називається слабкою взаємодією і його одним з чотирьох фундаментальних взаємодій ( разом з гравітацією, електромагнетизмом і сильною взаємодією, яка тримає нуклони і кварки разом). Однією з характерних ознак цієї взаємодії є порушення парності.
Матричний елемент
Слабку взаємодію можна записати через хвильові функції поля частинок:
\[V_{i n t}=g \Psi_{e}^{\dagger} \Psi_{\bar{\nu}}^{\dagger} \nonumber\]
де\(\Psi_{a}\left(\Psi_{a}^{\dagger}\right)\) анігілює (створює) частинку a, а g - константа зв'язку, яка визначає, наскільки сильна взаємодія. Пам'ятайте, що аналогічний оператор для е.м. поля був\(\propto a_{k}^{\dagger}\) (створюючи один фотон імпульсу k).
Потім елемент матриці
\[V_{i f}=\left\langle\psi_{f}\left|\mathcal{H}_{i n t}\right| \psi_{i}\right\rangle \nonumber\]
можна записати як:
\[V_{i f}=g \int d^{3} \vec{x} \Psi_{p}^{*}(\vec{x})\left[\Psi_{e}^{*}(\vec{x}) \Psi_{\bar{\nu}}^{*}(\vec{x})\right] \Psi_{n}(\vec{x}) \nonumber\]
(Ось\(\dagger \rightarrow *\) так як у нас є скалярні оператори).
Для першого наближення електрон і нейтрино можна прийняти як плоскі хвилі:
\[V_{i f}=g \int d^{3} \vec{x} \Psi_{p}^{*}(\vec{x}) \frac{e^{i \vec{k}_{e} \cdot \vec{x}}}{\sqrt{V}} \frac{e^{i \vec{k}_{\nu} \cdot \vec{x}}}{\sqrt{V}} \Psi_{n}(\vec{x}) \nonumber\]
і оскільки\(k R \ll 1\) ми можемо наблизити це
\[V_{i f}=\frac{g}{V} \int d^{3} \vec{x} \Psi_{p}^{*}(\vec{x}) \Psi_{n}(\vec{x}) \nonumber\]
Потім ми запишемо цей елемент матриці як
\[V_{i f}=\frac{g}{V} M_{n p} \nonumber\]
де\(M_{n p}\) дуже складна функція ядерних спінових і кутових станів імпульсу. Крім того, ми будемо використовувати в Золотому правилі Фермі вираз
\[\left|M_{n p}\right|^{2} \rightarrow\left|M_{n p}\right|^{2} F\left(Z_{0}, Q_{\beta}\right) \nonumber\]
де функція Фермі\(F\left(Z_{0}, Q_{\beta}\right)\) припадає на взаємодію Кулона між ядром і електроном, яким ми нехтували в попередньому виразі (де ми розглядали лише слабку взаємодію).
щільність станів
При вивченні гамма-розпаду ми розраховували щільність станів, як того вимагає Золоте правило Фермі. Тут потрібно зробити те ж саме, але проблема ускладнюється тим, що в якості продуктів реакції присутні два типи частинок (електронна і нейтрино) і обидві можуть перебувати в континуумі можливих станів. Тоді кількість станів в малому енергетичному обсязі є добутком стану електрона і нейтрино:
\[d^{2} N_{s}=d N_{e} d N_{\nu}. \nonumber\]
Дві частинки поділяють\(Q\) енергію:
\[Q_{\beta}=T_{e}+T_{\nu}. \nonumber\]
Для простоти припустимо, що маса нейтрино дорівнює нулю (вона набагато менше маси електронів і кінетичної маси самого нейтрино). Тоді ми можемо взяти релятивістський вираз
\[T_{\nu}=c p_{\nu}, \nonumber\]
в той час як для електрона
\[E^{2}=p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4} \quad \rightarrow \quad E=T_{e}+m_{e} c^{2} \quad \text { with } T_{e}=\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}-m_{e} c^{2} \nonumber\]
і ми запишемо кінетичну енергію нейтрино як функцію електрона,
\[T_{\nu}=Q_{\beta}-T_{e}. \nonumber\]
Число станів для електрона можна обчислити з квантованого імпульсу, при припущенні, що електронний стан є вільною частинкою\(\left(\psi \sim e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right)\) в області об'єму\(V=L^{3}:\)
\[d N_{e}=\left(\frac{L}{2 \pi}\right)^{3} 4 \pi k_{e}^{2} d k_{e}=\frac{4 \pi V}{(2 \pi \hbar)^{3}} p_{e}^{2} d p_{e} \nonumber\]
і те ж саме для нейтрино,
\[d N_{\nu}=\frac{4 \pi V}{(2 \pi \hbar)^{3}} p_{\nu}^{2} d p_{\nu} \nonumber\]
де ми використовували зв'язок між імпульсом і хвильовим числом:\(\vec{p}=\hbar \vec{k}.\)
При заданому моменті/енергетичному значенні для електрона ми можемо записати щільність станів як
\[\rho\left(p_{e}\right) d p_{e}=d N_{e} \frac{d N_{\nu}}{d T_{\nu}}=16 \pi^{2} \frac{V^{2}}{(2 \pi \hbar)^{6}} p_{e}^{2} d p_{e} p_{\nu}^{2} \frac{d p_{\nu}}{d T_{\nu}}=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} d p_{e} \nonumber\]
де ми використовували:\(\frac{d T_{\nu}}{d p_{\nu}}=c\) і\(p_{\nu}=\left(Q_{\beta}-T_{e}\right) / c.\)
Щільність станів тоді
\[\rho\left(p_{e}\right) d p_{e}=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} d p_{e}=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-\left(\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}-m_{e} c^{2}\right)\right]^{2} p_{e}^{2} d p_{e} \nonumber\]
або переписуючи цей вираз з точки зору кінетичної енергії електронів:
\[\rho\left(T_{e}\right)=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} \frac{d p_{e}}{d T_{e}}=\frac{V^{2}}{4 c^{6} \pi^{4} \hbar^{6}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} \sqrt{T_{e}^{2}+2 T_{e} m_{e} c^{2}}\left(T_{e}+m_{e} c^{2}\right) \nonumber\]
\(\left(\text { as } p_{e} d p_{e}=\left(T_{e}+m_{e} c^{2}\right) / c^{2} d T_{e}\right)\)
Знаючи щільність станів, ми можемо обчислити, скільки електронів випромінюється при бета-розпаді з заданою енергією. Це буде пропорційно швидкості викиду, розрахованої за Золотим правилом Фермі, помноженої на щільність станів:
\[N(p)=C F(Z, Q)\left|V_{f i}\right|^{2} \frac{p^{2}}{c^{2}}[Q-T]^{2}=C F(Z, Q)\left|V_{f i}\right|^{2} \frac{p^{2}}{c^{2}}\left[Q-\left(\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}-m_{e} c^{2}\right)\right]^{2} \nonumber\]
і
\[N\left(T_{e}\right)=\frac{C}{c^{5}} F(Z, Q)\left|V_{f i}\right|^{2}\left[Q-T_{e}\right]^{2} \sqrt{T_{e}^{2}+2 T_{e} m_{e} c^{2}}\left(T_{e}+m_{e} c^{2}\right) \nonumber\]
Ці розподіли є не що інше, як спектр випромінюваних бета-частинок (електрона або позитрона). У цьому виразі ми зібрали в константі С різні параметри, що випливають з Золотого правила Фермі і щільності станів розрахунків, так як ми хочемо виділити лише залежність від енергії і імпульсу. Також ми ввели нову функцію F (Z, Q), яка називається функцією Фермі, яка враховує форму ядерної хвильової функції і, зокрема, описує кулонівське тяжіння або відштовхування електрона або позитрона від ядра. Таким чином, F (Z, Q) буває різним, в залежності від виду розпаду. Ці розподіли були побудовані на рис. 45. Зверніть увагу, що ці розподіли (а також швидкість розпаду нижче) є твором трьох термінів:
- Статистичний коефіцієнт (що виникає при розрахунку щільності станів),\(\frac{p^{2}}{c^{2}}[Q-T]^{2}\)
- функція Фермі (облік взаємодії Кулона), F (Z, Q)
- і амплітуда переходу від Золотого правила Фермі,\(\left|V_{f i}\right|^{2}\)
Ці три терміни відображають три інгредієнти, які визначають спектр і швидкість розпаду в бета-процесів розпаду.
швидкість розпаду
Швидкість розпаду виходить з золотого правила Фермі:
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{i f}\right|^{2} \rho(E) \nonumber\]
де ρ (Е) - сумарна щільність станів. ρ (Е) (і, таким чином, швидкість розпаду) отримують шляхом підсумовування по всіх можливих станах бета-частинки, як підраховується щільністю станів. Таким чином, на практиці нам потрібно інтегрувати щільність станів над усім можливим імпульсом вихідного електрона/позитрона. Після інтеграції\(p_{e}\) ми отримуємо:
\[\rho(E)=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}} \int_{0}^{p_{e}^{m a x}} d p_{e}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} \approx \frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}} \frac{\left(Q-m c^{2}\right)^{5}}{30 c^{3}} \nonumber\]
(де ми взяли\(T_{e} \approx p c\) в релятивістську межу для високої швидкості електронів).
Ми можемо нарешті записати швидкість розпаду як:
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{i f}\right|^{2} \rho(E)=\frac{2 \pi}{\hbar} \frac{g}{V}^{2}\left|M_{n p}\right|^{2} F\left(Z, Q_{\beta}\right) \frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}} \frac{\left(Q-m c^{2}\right)^{5}}{30 c^{3}} \nonumber\]
\[=G_{F}^{2}\left|M_{n p}\right|^{2} F\left(Z, Q_{\beta}\right) \frac{\left(Q-m c^{2}\right)^{5}}{60 \pi^{3} \hbar(\hbar c)^{6}} \nonumber\]
де ми ввели константу
\[G_{F}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi^{3}}} \frac{g m_{e}^{2} c}{\hbar^{3}} \nonumber\]
що надає силу слабкої взаємодії. Порівняно з силою електромагнітної взаємодії, як задано тонкою постійною\(\alpha=\frac{e^{2}}{\hbar c} \sim \frac{1}{137}\), слабким є взаємодія набагато менша, з постійною\(\sim 10^{-6}.\)
Ми також можемо записати диференціальну швидкість розпаду\(\frac{d W}{d p_{e}}\):
\[\frac{d W}{d p_{e}}=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{i f}\right|^{2} \rho\left(p_{e}\right) \propto F(Z, Q)\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} \nonumber\]
Квадратний корінь цієї величини тоді є лінійною функцією в кінетичній енергії нейтрино\(Q-T_{e}\):
\[\sqrt{\frac{d W}{d p_{e}} \frac{1}{p_{e}^{2} F(Z, Q)}} \propto Q-T_{e} \nonumber\]
Це відношення Фермі-Кур'є. Зазвичай графік Фермі-Кур'є використовується для виведення шляхом лінійної регресії максимальної енергії електронів (або Q) шляхом знаходження перехоплення прямої лінії.
