13.15: Обчислення елементів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77950

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тепер ми можемо відразу обчислити semi latus прямої кишки з Рівняння 13.12.6a (нагадуючи\(2 f_3 = v_2 − v_1\), що, так що все,\(l\) крім Рівняння, вже відомо.) Насправді у нас є три можливості для обчислення semi latus прямої кишки за допомогою кожного з Рівняння 13.12.6a, b, c, і це служить перевіркою на арифметику. Для нашого числового прикладу я отримую

\(l = 2.61779\)

однаково (принаймні до одинадцяти значущих цифр) для кожної з трьох перестановок.

Тепер, посилаючись на Рівняння 2.3.37, ми пам'ятаємо, що полярне рівняння до еліпса є

\[r = \frac{l}{1 + e \cos v}. \label{13.15.1} \tag{13.15.1}\]

Тому ми маємо, для першого і третього спостережень,

\[e \cos v_1 = l / r_1 - 1 \label{13.15.2} \tag{13.15.2}\]

і, визнаючи це\(v_3 = v_1 + 2f_2\),

\[e \cos (v_1 + 2f_2 ) = l / r_3 - 1. \label{13.15.3} \tag{13.15.3}\]

Ми спостерігаємо, що в рівняннях\ ref {13.15.2} і\ ref {13.15.3} єдині величини, які ми ще не знаємо, є\(v_1\) і\(e\) - тому ми збираємося знайти наш перший орбітальний елемент, ексцентриситет!

Підказка для розв'язання рівнянь\ ref {13.15.2} і 3: Розгорнути\(cos(v_1 + 2f_2)\). Візьміть\(e \sin v\) в ліву сторону, і Equation\ ref {13.15.3} стане

\[e \sin v_1 = \frac{(l/r_1 - 1) . \cos 2 f_2 - (l/r_3 - 1)}{\sin 2 f_2}. \label{13.15.4} \tag{13.15.4}\]

Після цього легко вирішувати Рівняння\ ref {13.15.2} і\ ref {13.15.4} для\(e\) і для\(v_1\). Інші справжні аномалії задаються\(v_2 = v_1 + 2f_3\) і\(v_3 = v_1 + 2f_2\). Перевірка на арифметику може (і повинна) виконуватися шляхом проведення однакових обчислень для першого і другого спостережень і для другого і третього спостережень. За всі три я отримав

\(\underline{e=0.23875}\)

У нас є перший орбітальний елемент!

(\(\text{MPC}\)Значення ексцентриситету для цієї епохи є\(0.22994\) - але це ґрунтується на всіх наявних спостереженнях, і ми не можемо очікувати отримання\(\text{MPC}\) значення лише з трьох гіпотетичних «спостережень».)

Справжні аномалії за часів трьох спостережень

\(v_1 = 191^\circ .99814 \quad v_2 = 192^\circ .68221 \quad v_3 = 194^\circ .05377\)

Після цього напівпровідна вісь легко з Рівняння 2.3.10\(l = a(1 − e^2 )\), для прямої кишки прямої кишки еліпса. знаходимо

\(\underline{a = 2.77602 \text{ au}}\)

Період в сидеричних роках дається\(P^2 = a^3\), і тому є\(4.62524\) сидеричними роками. Це не один із шести незалежних елементів, оскільки він завжди пов'язаний із напівосновною віссю третім законом Кеплера, тому він не заслуговує на додаткову гідність підкреслення. Однак, безумовно, варто перетворити його на середні сонячні дні, множивши на\(365.25636\). Ми знаходимо ті\(P = 1689.39944\) дні.

Наступним елементом для поступки буде час проходження перигелію. Ми знаходимо ексцентричні аномалії для кожного з трьох спостережень з будь-якого з Рівнянь 2.3.16, 17a, 17b або 17c. Наприклад:

\[\cos E = \frac{e + \cos v}{1 + e \cos v}. \label{13.15.5} \tag{13.15.5}\]

Тоді час проходження перигелію прийде з Рівнянь 9.6.4 і 9.6.5:

\[T = t - \frac{P}{2π} ( E - e \sin E ) + nP. \label{13.15.6} \tag{13.15.6}\]

З\(n = 1\) я роблю це\(\underline{T = t_1 + 756^\text{d} .1319}\)

Наступним кроком є обчислення\(P\) s і\(Q\) s, які визначені в Рівнянні 10.9.40. Вони являють собою косинуси напряму, що стосуються геліоцентричної основи площини орбіти, встановленого до геліоцентричного екваторіального базового набору.

Вправа. Застосуйте рівняння 10.9.50 до першого та третього спостережень, щоб показати, що

\[P_x = \frac{ξ_1 r_3 \sin v_3 - ξ_3 r_1 \sin v_1}{r_1 r_3 \sin 2 f_2} \label{13.15.7} \tag{13.15.7}\]

і\[Q_x = \frac{ξ_3 r_1 \cos v - ξ_1 r_3 \cos v_3}{r_1 r_2 \sin 2 f_2} \label{13.15.8} \tag{13.15.8}\]

З Рівняння 10.9.51 і 52 знайти подібні рівняння для\(P_y\),\(Q_y\),\(P_z\),\(Q_z\).

Чисельну роботу можна і потрібно перевіряти, обчислюючи ці напрямні косинуси також з першого і другого, а з другого і третього спостережень. Перевірте також, що\(P_x^2 + P_y^2 + P_z^2 = Q_x^2 + Q_y^2 + Q_z^2 = 1\). Я отримую

\(P_x = -0.48044 \quad P_y = +0.86568 \quad P_z = -0.14059\)

\(Q_x = -0.87392 \quad Q_y = -0.45907 \quad Q_z = +0.15978\)

(Пам'ятайте, що мій комп'ютер несе всі значні цифри з подвійною точністю, хоча я роздруковую тут лише обмежену кількість значущих цифр. Ви не отримаєте точно мої цифри, якщо ви теж не несете всі значущі цифри і не передчасно округляєте.)

Напрямки косинуси пов'язані з кутами Ейлера, звичайно, рівняннями 10.9.41- 46 (як ви могли б забути?!). Всі (!) Ви повинні зробити, то, щоб вирішити ці шість рівнянь для кутів Ейлера. (Вам потрібно шість рівнянь, щоб усунути неоднозначність квадрантів з кутів. Запам'ятайте\(\text{ATAN2}\) функцію на вашому комп'ютері - це величезна допомога з квадрантами.)

Вправа. Показати, що (або перевірити в будь-якому випадку), що:

\[\sin ω \sin i = P_z \cos ε - P_y \sin ε \label{13.15.9} \tag{13.15.9}\]

і\[\cos ω \sin i = Q_z \cos ε - Q_y \sin ε. \label{13.15.10} \tag{13.15.10}\]

Тепер ви можете вирішити це для аргументу перигелію\(ω\). Ще не намагайтеся вирішити це за схильність. (Чому б і ні?!) Використовуючи\(ε = 23^\circ .438 \ 960\) для конусності екліптики дати (обчислюється зі сторінки\(\text{B18}\) Астрономічного альманаху 2002 року), отримую

\(\underline{ω = 304^\circ .81849}\)

Вправа. Показати, що (або перевірити в будь-якому випадку), що:

\[\sin Ω = (P_y \cos ω - Q_y \sin ω ) \sec ε \label{13.15.11} \tag{13.15.11}\]

і\[\cos Ω = P_x \cos ω - Q_x \sin ω. \label{13.15.12} \tag{13.15.12}\]

З них я знаходжу:

\(\underline{Ω = 172^\circ .64776}\)

Ще один, щоб піти!

Вправа. Показати, що (або перевірити в будь-якому випадку), що:

\[\cos i = -(P_x \sin ω + Q_x \cos ω) \csc Ω . \label{13.15.13} \tag{13.15.13}\]

Тепер ви можете вирішити це за допомогою Equation\ ref {13.15.9} або\ ref {13.15.10} (або обидва, як перевірка арифметики) для нахилу. Я отримую

\(\underline{i = 35^\circ .20872}\)

Ось вони, всі разом:

\ почати {масив} {c c}
a = 2.77602\ текст {АС} & я = 35^\ коло .20872\
е = 0,23875 & Ω = 172^\ коло .64776\\
T = t_1 + 756^\ текст {d} .1319 & ω = 304^\ цирк .81849\\
\ кінець {масив}

Чи допустили ми якісь помилки? Ну, імовірно, після того, як ви прочитали главу 10, ви написали програму для створення ефемериди. Отже, тепер використовуйте ці елементи, щоб побачити, чи будуть вони відтворювати оригінальні спостереження! До речі, для побудови ефемериди немає необхідності фактично використовувати елементи - замість них можна використовувати\(P\) s і\(Q\) s.