13.3: Сектори

На малюнку XIII.2 показана частина еліптичної (або іншого конічного перерізу) орбіти, і вона показує радіуси векторів положення планети в моменти часу$t_1, \ t_2$ і$t_3$.

$\text{FIGURE XIII.2}$

Позначення, яке я збираюся використовувати, виглядає наступним чином:

• Площа сектора, утвореного з'єднанням кінчиків орбіти$\textbf{r}_2$ і$\textbf{r}_3$ навколо неї, становить$B_1$.
• Площа сектора, утвореного з'єднанням кінчиків орбіти$\textbf{r}_3$ і$\textbf{r}_1$ навколо неї, становить$B_2$.
• Площа сектора, утвореного з'єднанням кінчиків орбіти$\textbf{r}_1$ і$\textbf{r}_2$ навколо неї, становить$B_3$.

• Часовий інтервал$t_3 − t_2$ дорівнює$τ_1$.
• Часовий інтервал$t_3 − t_1$ дорівнює$τ_2$.
• Часовий інтервал$t_2 − t_1$ дорівнює$τ_3$.

За умови, що дуга досить мала, то до хорошого наближення (іншими словами ми можемо наблизити сектори трикутниками), ми маємо

$$B_2 \textbf{r}_2 \approx B_1 \textbf{r}_1 + B_3 \textbf{r}_3 . \label{13.3.1}$$

Тобто,

$$\textbf{r}_2 \approx b_1 \textbf{r}_1 + b_3 \textbf{r}_3 , \label{13.3.2}$$

де

$$b_1 = B_1/B_2 \label{13.3.3}$$

і

$$b_3 = B_3 / B_2 \label{13.3.4}$$

Коефіцієнти$b_1$ і$b_3$ є секторними коефіцієнтами, а коефіцієнти$a_1$ і$a_3$ є коефіцієнтами трикутника.

За другим законом Кеплера площі секторів пропорційні часовим інтервалам.

Тобто $$b_1 = τ_1 / τ_2 \label{13.3.5}$$

і $$b_3 = τ_3 / τ_2 . \label{13.3.6}$$

Таким чином, відомі коефіцієнти в Equation\ ref {13.3.2}. Наша мета полягає в тому, щоб використати це наближене рівняння, щоб знайти приблизні значення геліоцентричних відстаней у моменти трьох спостережень, а потім уточнити їх, щоб задовольнити точне рівняння 13.2.5. Ми почнемо нашу спробу зробити це в розділі 13.6, але спочатку слід розглянути наступні три розділи.