13.12: Сектор-трикутник Співвідношення

Нагадаємо, що легко визначити співвідношення суміжних секторів, змітаються вектором радіуса. За другим законом Кеплера, це всього лише співвідношення двох часових інтервалів. Однак нам дійсно потрібні співвідношення трикутників, які пов'язані з геліоцентричною відстанню рівнянням 13.2.1. О, не було б просто так приємно, якби хтось сказав нам співвідношення площі сектора до відповідної площі трикутника! Ми спробуємо в цьому розділі зробити саме це.

\[Notation: \ \text{Triangle ratios}: \quad a_1 = A_1 / A_2 , \quad a_3 = A_3 /A_2 . \label{13.12.1a,b} \tag{13.12.1a,b}\]

\[\text{Sector ratios}: \quad b_1 = B_1 / B_2 , \quad b_3 = B_3/B_2 . \label{13.12.2a,b} \tag{13.12.2a,b}\]

\[\text{Sector-triangle ratios}: \quad R_1 = \frac{B_1}{A_1} , \quad R_2 \frac{B_2}{A_2} , \quad R_3 = \frac{B_3}{A_3}, \label{13.12.3a,b,c} \tag{13.12.3a,b,c}\]

з чого випливає, що

\[a_1 = \frac{R_2}{R_1} b_1 , \quad a_3 = \frac{R_2}{R_3}b_3 . \label{13.12.4a,b} \tag{13.12.4a,b} \]

Ми також нагадаємо, що індекс 1 для областей відноситься до спостережень 2 і 3; індекс 2 до спостережень 3 і 1; і індекс 3 до спостережень 1 і 2. Давайте подивимося, чи зможемо ми визначити\(R_3\) з першого і другого спостережень.

Читачі, які бажають уникнути важкої алгебри, можуть перейти безпосередньо до Рівняння 13.12.25 і 13.12.26, які дозволять обчислювати співвідношення сектор-трикутник.

Нехай\((r_1 , v_1)\) і\((r_2 , v_2)\) будуть полярні координати (тобто геліоцентрична відстань і справжня аномалія) в площині орбіти планети в момент перших двох спостережень. Відповідно до нашої конвенції для індексів, що включають два спостереження, нехай

\[2f_3 = v_2 - v_1 . \label{13.12.5} \tag{13.12.5}\]

У нас є\(R_3 = B_3/A_3\). З Рівняння 13.4.1, який є другим законом Кеплера, ми маємо в одиницях, які ми використовуємо, в яких\(GM = 1, \ \dot{B} = \frac{1}{2} \sqrt{l}\) і тому\(B_3 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_3\). Крім того, з\(z\) -компонента Рівняння 13.8.15c, ми маємо\(A_3 = \frac{1}{2} r_1 r_2 \sin (v_2 - v_1)\).

Тому\[R_3 = \frac{\sqrt{l} τ_3}{r_1 r_2 \sin (v_2 - v_1)} = \frac{\sqrt{l} τ_3}{r_1 r_2 \sin 2 f_3}. \label{13.12.6a} \tag{13.12.6a}\]

Аналогічним чином ми маємо

\[R_1 = \frac{\sqrt{l}τ_1}{r_2 r_3 \sin (v_3 - v_2)} = \frac{\sqrt{l} τ_1}{r_2 r_3 \sin 2 f_1} \label{13.12.6b} \tag{13.12.6b}\]

\[R_2 = \frac{\sqrt{l}τ_2}{r_3 r_1 \sin (v_3 - v_1)} = \frac{\sqrt{l} τ_2}{r_3 r_1 \sin 2 f_2} . \label{13.12.6c} \tag{13.12.6c}\]

Я хотів би усунути\(l\) звідси.

Тепер я хочу згадати деякі геометричні властивості еліпса і властивість еліптичної орбіти. Поглянувши на фігуру\(\text{II.11}\) або множивши Рівняння 2.3.15 та 2.3.16, ми відразу бачимо\(r \cos v = a(\cos E − e)\), що, і, отже, використовуючи тригонометричну ідентичність, ми знаходимо

\[r \cos^2 \frac{1}{2} v = a(1-e) \cos^2 \frac{1}{2} E , \label{13.12.7} \tag{13.12.7}\]

і подібним чином легко показати, що

\[r \sin^2 \frac{1}{2}v = a(1+e) \sin^2 \frac{1}{2} E . \label{13.12.8} \tag{13.12.8}\]

\(E\)Ось ексцентрична аномалія.

Крім того, середня аномалія в часі\(t\) визначається як\(\frac{2π}{P} (t-T)\) і також дорівнює (через рівняння Кеплера) до\(E − e \sin E\). Період орбіти пов'язаний з напівосновною віссю її орбіти третім законом Кеплера:\(P^2 = \frac{4π^2}{GM} a^3\). (Цей матеріал висвітлюється в розділі 10.) Звідси ми маємо (в одиницях, які ми використовуємо, в яких\(GM = 1\)):

\[E - e \sin E = \frac{t-T}{a^{3/2}}, \label{13.12.9} \tag{13.12.9}\]

де\(T\) - момент проходження перигелію.

Тепер представляємо\[2f_3 = v_2 - v_1 , \label{13.12.10} \tag{13.12.10}\]

\[2F_3 = v_2 + v_1 , \label{13.12.11} \tag{13.12.11}\]

\[2g_3 = E_2 - E_1 , \label{13.12.12} \tag{13.12.12}\]

\[2G_3 = E_2 + E_1 . \label{13.12.13} \tag{13.12.13}\]

З рівняння 13.12.7 я можу написати

\[\sqrt{r_1 r_2} \cos \frac{1}{2} v_1 \cos \frac{1}{2} v_2 = a(1-e) \cos \frac{1}{2} E_1 \cos \frac{1}{2} E_2 \label{13.12.14} \tag{13.12.14}\]

і з Рівняння 13.12.8 я можу написати

\[\sqrt{r_1 r_2} \sin \frac{1}{2} v_1 \sin \frac{1}{2} v_2 = a(1+e) \sin \frac{1}{2} E_1 \sin \frac{1}{2} E_2 . \label{13.12.15} \tag{13.12.15}\]

Тепер я використовую суму формул суми та різниці зі сторінки 38 глави 3, а саме\(\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos S + \cos D)\) та\(\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos D - \cos S ),\) для отримання

\[\sqrt{r_1 r_2} ( \cos F_3 + \cos f_3 ) = a(1-e)(\cos G_3 + \cos g_3) \label{13.12.16} \tag{13.12.16}\]

і\[\sqrt{r_1 r_2} ( \cos f_3 - \cos F_3 ) = a (1+e) ( \cos g_3 - \cos G_3). \label{13.12.17} \tag{13.12.17}\]

При додаванні їх ми отримуємо

\[\sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 = a(\cos g_3 - e \cos G_3 ) . \label{13.12.18} \tag{13.12.18}\]

Я залишаю читачеві виводити подібним чином (також використовуючи формулу для прямої кишки прямої кишки)\(l = a (1-e^2))\)

\[\sqrt{r_1 r_2} \sin f_3 = \sqrt{a} \sqrt{l} \sin g \label{13.12.19} \tag{13.12.19}\]

і\[ r_1 + r_2 = 2a (1 - e \cos g_3 \cos G_3 ) . \label{13.12.20} \tag{13.12.20}\]

Ми можемо усунути\(e \cos G\) з Рівняння 13.12.18 і 13.12.20:

\[r_1 + r_2 - 2 \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \cos g_3 = 2a \sin^2 g_3 \label{13.12.21} \tag{13.12.21}\]

Крім того, якщо ми запишемо рівняння 13.12.9 для першого і другого спостережень і візьмемо різницю, а потім використаємо формулу на сторінці 35 глави 3 для різниці між двома синусами, отримаємо

\[2(g_3 - e \sin g_3 \cos G_3 ) = \frac{τ_3}{a^{3/2}}. \label{13.12.22} \tag{13.12.22}\]

Виключити\(e \cos G_3\) з рівнянь 13.12.18 і 13.12.22:

\[2g_3 - \sin 2 g_3 + \frac{2 \sqrt{r_1 r_2}}{a} \sin g_3 \cos f_3 = \frac{τ_3}{a^{3/2}}. \label{13.12.23} \tag{13.12.23}\]

Крім того, виключіть\(l\) з Рівняння 13.12.6 і 13.12.19:

\[R_3 = \frac{τ_3}{2 \sqrt{a} \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \sin g_3}. \label{13.12.24} \tag{13.12.24}\]

Тепер ми усунули\(F_3, \ G_3\) і\(e\), і ми залишилися з Рівняння 13.12.21, 23 і 24, перші два з яких я зараз повторюю для зручності довідки:

\[r_1 + r_2 - 2 \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \cos g_3 = 2a \sin^2 g_3 \tag{13.12.21} \]

\[2g_3 - \sin 2g_3 + \frac{2 \sqrt{r_1 r_2}}{a} \sin g_3 \cos f_3 = \frac{τ_3}{a^{3/2}}. \tag{13.12.23} \]

У цих рівняннях ми вже знаємо приблизне значення для\(f_3\) (ми побачимо, як, коли ми відновимо наш числовий приклад); невідомі в цих рівняннях є\(R_3\)\(g_3\),\(a\) і це\(R_3\) те, що ми намагаємося знайти. Тому потрібно усунути\(a\) і\(g_3\). Ми можемо легко отримати\(a\) з Рівняння 13.12.24, і, при підстановці в рівняннях 13.12.21 і 23, отримаємо, після деякої алгебри:

\[R_3^2 = \frac{M_3^2}{N_3 - \cos g_3} \label{13.12.25} \tag{13.12.25}\]

і\[ R_3^3 - R_3^2 = \frac{M_3^2 (g_3 - \sin g_3 \cos g_3)}{\sin^3 g_3}, \label{13.12.26} \tag{13.12.26}\]

де\[M_3 = \frac{τ_3}{2 \left( \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3 \right)^{3/2} } \label{13.12.27} \tag{13.12.27}\]

і\[ N_3 = \frac{r_1 + r_2}{2 \sqrt{r_1 r_2} \cos f_3}. \label{13.12.28} \tag{13.12.28}\]

Подібні рівняння для\(R_1\) і\(R_2\) можуть бути отримані циклічною перестановкою індексів. Рівняння 13.12.25 і 26 є двома одночасними рівняннями в\(R_3\) і\(g_3\). Їх рішення наведено як приклад у розділі 1.9 глави 1, тому тепер ми можемо припустити, що ми можемо обчислити співвідношення сектор-трикутник.

Потім ми можемо обчислити кращі коефіцієнти трикутників з Рівняння 13.12.4 і повернутися до Рівняння 13.7.4, 5 і 6, щоб отримати кращі геоцентричні відстані. З рівнянь 13.7.8 і 9 обчислити геліоцентричні відстані. Внесіть корекції світлового часу. (Я не роблю цього в нашому числовому прикладі, тому що наші початкові позиції не були фактичними спостереженнями, а скоріше були ефемеридними позиціями.) Потім перейдіть прямо до цього розділу (13.12) знову, поки не потрапите сюди знову. Повторюйте до тих пір, поки геоцентричні відстані не зміняться.