13.12: Сектор-трикутник Співвідношення
Нагадаємо, що легко визначити співвідношення суміжних секторів, змітаються вектором радіуса. За другим законом Кеплера, це всього лише співвідношення двох часових інтервалів. Однак нам дійсно потрібні співвідношення трикутників, які пов'язані з геліоцентричною відстанню рівнянням 13.2.1. О, не було б просто так приємно, якби хтось сказав нам співвідношення площі сектора до відповідної площі трикутника! Ми спробуємо в цьому розділі зробити саме це.
Notation: Triangle ratios:a1=A1/A2,a3=A3/A2.
Sector ratios:b1=B1/B2,b3=B3/B2.
Sector-triangle ratios:R1=B1A1,R2B2A2,R3=B3A3,
з чого випливає, що
a1=R2R1b1,a3=R2R3b3.
Ми також нагадаємо, що індекс 1 для областей відноситься до спостережень 2 і 3; індекс 2 до спостережень 3 і 1; і індекс 3 до спостережень 1 і 2. Давайте подивимося, чи зможемо ми визначитиR3 з першого і другого спостережень.
Читачі, які бажають уникнути важкої алгебри, можуть перейти безпосередньо до Рівняння 13.12.25 і 13.12.26, які дозволять обчислювати співвідношення сектор-трикутник.
Нехай(r1,v1) і(r2,v2) будуть полярні координати (тобто геліоцентрична відстань і справжня аномалія) в площині орбіти планети в момент перших двох спостережень. Відповідно до нашої конвенції для індексів, що включають два спостереження, нехай
2f3=v2−v1.
У нас єR3=B3/A3. З Рівняння 13.4.1, який є другим законом Кеплера, ми маємо в одиницях, які ми використовуємо, в якихGM=1, ˙B=12√l і томуB3=12√lτ3. Крім того, зz -компонента Рівняння 13.8.15c, ми маємоA3=12r1r2sin(v2−v1).
ТомуR3=√lτ3r1r2sin(v2−v1)=√lτ3r1r2sin2f3.
Аналогічним чином ми маємо
R1=√lτ1r2r3sin(v3−v2)=√lτ1r2r3sin2f1
R2=√lτ2r3r1sin(v3−v1)=√lτ2r3r1sin2f2.
Я хотів би усунутиl звідси.
Тепер я хочу згадати деякі геометричні властивості еліпса і властивість еліптичної орбіти. Поглянувши на фігуруII.11 або множивши Рівняння 2.3.15 та 2.3.16, ми відразу бачимоrcosv=a(cosE−e), що, і, отже, використовуючи тригонометричну ідентичність, ми знаходимо
rcos212v=a(1−e)cos212E,
і подібним чином легко показати, що
rsin212v=a(1+e)sin212E.
EОсь ексцентрична аномалія.
Крім того, середня аномалія в часіt визначається як2πP(t−T) і також дорівнює (через рівняння Кеплера) доE−esinE. Період орбіти пов'язаний з напівосновною віссю її орбіти третім законом Кеплера:P2=4π2GMa3. (Цей матеріал висвітлюється в розділі 10.) Звідси ми маємо (в одиницях, які ми використовуємо, в якихGM=1):
E−esinE=t−Ta3/2,
деT - момент проходження перигелію.
Тепер представляємо2f3=v2−v1,
2F3=v2+v1,
2g3=E2−E1,
2G3=E2+E1.
З рівняння 13.12.7 я можу написати
√r1r2cos12v1cos12v2=a(1−e)cos12E1cos12E2
і з Рівняння 13.12.8 я можу написати
√r1r2sin12v1sin12v2=a(1+e)sin12E1sin12E2.
Тепер я використовую суму формул суми та різниці зі сторінки 38 глави 3, а самеcosAcosB=12(cosS+cosD) таsinAsinB=12(cosD−cosS), для отримання
√r1r2(cosF3+cosf3)=a(1−e)(cosG3+cosg3)
і√r1r2(cosf3−cosF3)=a(1+e)(cosg3−cosG3).
При додаванні їх ми отримуємо
√r1r2cosf3=a(cosg3−ecosG3).
Я залишаю читачеві виводити подібним чином (також використовуючи формулу для прямої кишки прямої кишки)l=a(1−e2))
√r1r2sinf3=√a√lsing
іr1+r2=2a(1−ecosg3cosG3).
Ми можемо усунутиecosG з Рівняння 13.12.18 і 13.12.20:
r1+r2−2√r1r2cosf3cosg3=2asin2g3
Крім того, якщо ми запишемо рівняння 13.12.9 для першого і другого спостережень і візьмемо різницю, а потім використаємо формулу на сторінці 35 глави 3 для різниці між двома синусами, отримаємо
2(g3−esing3cosG3)=τ3a3/2.
ВиключитиecosG3 з рівнянь 13.12.18 і 13.12.22:
2g3−sin2g3+2√r1r2asing3cosf3=τ3a3/2.
Крім того, виключітьl з Рівняння 13.12.6 і 13.12.19:
R3=τ32√a√r1r2cosf3sing3.
Тепер ми усунулиF3, G3 іe, і ми залишилися з Рівняння 13.12.21, 23 і 24, перші два з яких я зараз повторюю для зручності довідки:
r1+r2−2√r1r2cosf3cosg3=2asin2g3
2g3−sin2g3+2√r1r2asing3cosf3=τ3a3/2.
У цих рівняннях ми вже знаємо приблизне значення дляf3 (ми побачимо, як, коли ми відновимо наш числовий приклад); невідомі в цих рівняннях єR3g3,a і цеR3 те, що ми намагаємося знайти. Тому потрібно усунутиa іg3. Ми можемо легко отриматиa з Рівняння 13.12.24, і, при підстановці в рівняннях 13.12.21 і 23, отримаємо, після деякої алгебри:
R23=M23N3−cosg3
іR33−R23=M23(g3−sing3cosg3)sin3g3,
деM3=τ32(√r1r2cosf3)3/2
іN3=r1+r22√r1r2cosf3.
Подібні рівняння дляR1 іR2 можуть бути отримані циклічною перестановкою індексів. Рівняння 13.12.25 і 26 є двома одночасними рівняннями вR3 іg3. Їх рішення наведено як приклад у розділі 1.9 глави 1, тому тепер ми можемо припустити, що ми можемо обчислити співвідношення сектор-трикутник.
Потім ми можемо обчислити кращі коефіцієнти трикутників з Рівняння 13.12.4 і повернутися до Рівняння 13.7.4, 5 і 6, щоб отримати кращі геоцентричні відстані. З рівнянь 13.7.8 і 9 обчислити геліоцентричні відстані. Внесіть корекції світлового часу. (Я не роблю цього в нашому числовому прикладі, тому що наші початкові позиції не були фактичними спостереженнями, а скоріше були ефемеридними позиціями.) Потім перейдіть прямо до цього розділу (13.12) знову, поки не потрапите сюди знову. Повторюйте до тих пір, поки геоцентричні відстані не зміняться.