13.2: Трикутники

Я почну з геометричної теореми, що включає трикутники, яка буде корисна в міру просування до нашої мети обчислення орбітальних елементів.

$\text{FIGURE XIII.1}$

$\text{XIII.1}$На малюнку показані три компланарних вектора. Чітко можна висловити$\textbf{r}_2$ як лінійну комбінацію двох інших. Тобто, повинна бути можливість знайти коефіцієнти такі, що

$$\textbf{r}_2 = a_1 \textbf{r}_1 + a_3 \textbf{r}_3 . \label{13.2.1}$$

Позначення, яке я збираюся використовувати, виглядає наступним чином:

• Площа трикутника, утвореного з'єднанням кінчиків$\textbf{r}_2$ і$\textbf{r}_3$ є$A_1$.
• Площа трикутника, утвореного з'єднанням кінчиків$\textbf{r}_3$ і$\textbf{r}_1$ є$A_2$.
• Площа трикутника, утвореного з'єднанням кінчиків$\textbf{r}_1$ і$\textbf{r}_2$ є$A_3$.

Щоб знайти коефіцієнти в Equation\ ref {13.2.1}, помножте обидві сторони на$\textbf{r}_1 \times$:

$$\textbf{r}_1 \times \textbf{r}_2 = a_3 \textbf{r}_1 \times \textbf{r}_3 . \label{13.2.2}$$

Два векторних добутку є паралельними векторами (кожен з них перпендикулярний площині паперу), величин$2A_3$ і$2A_2$ відповідно. ($2A_3$Це площа паралелограма, з якого вектори$\textbf{r}_1$ і$\textbf{r}_2$ утворюють дві сторони.)

$$\therefore a_3 = A_3/A_2 . \label{13.2.3}$$

Аналогічно шляхом множення обох сторін Equation\ ref {13.2.1} на$\textbf{r}_3 \times$ це буде встановлено, що

$$a_1 = A_1/ A_2 . \label{13.2.4}$$

Отже, ми знаходимо, що

$$A_2 \textbf{r}_2 = A_1 \textbf{r}_1 + A_3 \textbf{r}_3 . \label{13.2.5}$$