7.11: Спін

Модель, описана в розділі 7.10, досить добре описує водневий спектр, і, хоча вона набагато важча математично, ніж модель Бора, вона набагато задовольняє, оскільки не має спеціальних припущень моделі Бора. Це все ще недостатньо добре, хоча. Він передбачає, що всі$n^2$ хвильові функції з заданим значенням$n$ мають однакову енергію, тому що вираз для енергії включало лише єдине квантове число$n$. Однак ретельні вимірювання показують, що лінії Бальмера мають тонку структуру, і, отже, енергетичні рівні мають деяку тонку структуру, і, отже, енергія не є функцією$n$ поодинці. Тонка структура набагато очевидніша у більш складних атомів, тому форма рівняння Шредінгера, яку ми бачили досі, є недостатньою для пояснення цієї структури. На теоретичному рівні ми, очевидно, використовували нерелятивістський вираз$p^2 /(2m)$ для кінетичної енергії. Це досить добре за винятком точних вимірювань, коли необхідно використовувати правильне релятивістське вираз.

Ця коротка глава не є підручником або формальним курсом з квантової механіки, і його намір трохи більше, ніж ввести різні слова та ідеї, які використовуються в спектроскопії. На цьому етапі, хоча існує сильна спокуса глибше заглибитися в квантову механіку та продовжувати ідеї, які ми розпочали, я лише збираюся узагальнити деякі результати та способи опису спектрів. Той, хто хоче продовжити квантову теорію спектрів далі і детально, рано чи пізно зіткнеться з деякими досить заборонними термінами, такими як коефіцієнти Клебша-Гордана, алгебра Рака,$3$$6$ -$j$ і -$j$ символи, і тензорські гармоніки. Те, що вони стосуються, - це алгебра об'єднання хвильових функцій двох або більше електронів та обчислення отриманих кутових моментів. $j$Символи$3$ -$j$ і$6$ - це дужки або дужки, в яких відображаються різні квантові числа, і вони маніпулюються за певними правилами у міру об'єднання двох або більше хвильових функцій. Насправді користуватися ними дуже весело, і ви можете робити приголомшливі розрахунки з величезною швидкістю і з дуже невеликою кількістю роздумів - але тільки після того, як ви подолаєте початковий крутий процес навчання і тільки в тому випадку, якщо будете тримати в постійній практиці. Якщо ви запрограмуєте маніпуляції, щоб комп'ютер мав справу, не тільки обчислення робляться ще швидше, але і не важливо, якщо ви вийшли з практики - пам'ять комп'ютера не пройде!

Встановлено, що повна хвильова функція, яка описує електронний зв'язаний атомом, вимагає не просто трьох, а чотирьох квантових чисел. Є три квантових числа, з якими ми вже знайомі -$n$,$l$ і, крім того$m$, що третє з них тепер носить індексний індекс і пишеться$m_l$. Енергія хвильової функції залежить здебільшого від n, але є і невелика залежність від$l$. Орбітальний кутовий імпульс, в одиницях$\hbar$, є$\sqrt{l(l +1)}$ і його$z$ -складова є$m_l$. Додаткове квантове число, необхідне для опису електрона, пов'язаного з атомом, позначається символом мс, і воно може приймати будь-яке з двох значень,$+1/2$ і$−1/2$. Для заданого значення$n$, отже, тепер існують$2n^2$ комбінації квантових чисел - тобто$2n^2$ хвильові функції. (Нагадаємо, що перед тим, як ми ввели поняття спіна електронів, ми передбачали лише$n^2$ хвильові функції для даного$n$. Див обговорення відразу після рівняння 7.9.2.)

З точки зору механічної моделі електрона, додаткове квантове число зручно асоціювати зі спіновим кутовим імпульсом електрона. Спіновий момент імпульсу електрона, в одиницях$\hbar$, є$\sqrt{s(s+1)}$, де$s$ має єдине значення$1/2$. Іншими словами, спіновий момент імпульсу електрона, в одиницях$\hbar$, є$3/2$. Його$z$ -компонент є$m_s$; тобто,$+1/2$ або$−1/2$.

Поняття про те, що електрон має внутрішній спін і що його$z$ -компонент є$+1/2$ або$−1/2$ виникла не тільки в результаті дослідження спектрів (включаючи особливо розщеплення ліній, коли джерело поміщається в магнітне поле, відоме як ефект Зеємана), але і з відомого експерименту Стерн і Герлах в 1922 році. Сукупність доказів спектроскопії плюс експеримент Штерна-Герлаха змусили Гудсміта та Уленбека в 1925 році офіційно запропонувати, що електрон має внутрішній магнітний момент, і, звичайно, якщо ми думаємо про електрон як спінінг електричний заряд, ми дійсно очікуємо, що він матиме магнітний момент. Магнітний диполь може відчувати крутний момент, якщо він розміщений у рівномірному магнітному полі, але він не буде відчувати ніякої чистої сили. Однак якщо магнітний диполь помістити в неоднорідне магнітне поле - тобто поле з вираженим просторовим градієнтом в своїй напруженості, то він дійсно буде відчувати силу, і це важливо в розумінні експерименту Штерна-Герлаха. Стерн і Герлах направили пучок «електронів» (коротко поясню лапки) між полюсами сильного магніту, в якому одна з полюсних частин була спеціально сформована так, щоб «електрони» проходили через область, в якій було не тільки сильне поперечне магнітне поле, але і велике поперечний градієнт магнітного поля. Можна було очікувати, що промінь розшириться, оскільки багато електронів притягувалися так чи інакше і в різній мірі, залежно від орієнтації їх магнітних моментів на градієнт поля. Фактично промінь був розділений на дві частини, причому одну половину тягнули у напрямку градієнта поля, а іншу половину штовхали у зворотному напрямку. Це пояснюється тим, що існувало лише два можливі напрямки вектора магнітного моменту. (Що стосується експериментальних деталей, то насправді не був пучок електронів, який використовували Стерн і Герлах. Це повністю зіпсувало б експеримент, оскільки електрон електрично заряджений, а електронний промінь був би відхилений силою Лоренца набагато більше, ніж впливом градієнта поля на дипольний момент. Наскільки я пам'ятаю, вони фактично використовували промінь атомів срібла. Вони не прискорювалися в прискорювачі частинок будь-якого сорту (врешті-решт, вони нейтральні), а просто випаровувалися в печі, і промінь був обраний за допомогою двох невеликих отворів між духовкою і магнітом. Атом срібла має ряд парних електронів (без результуючого магнітного моменту) плюс одинокий, непарний електрон у зовнішній оболонці, і це був електрон, який постачав магнітний момент.)

У деяких атомах орбітальний момент моменту$\textbf{l}$ і спіновий кутовий імпульс сильніше$\textbf{s}$ пов'язані один з одним, ніж вони з$z$ -віссю. У такому випадку$m_l$ і вже не$m_m$ є «хорошими квантовими числами». Загальний момент імпульсу електрона (орбіта і спін разом узяті) дається символ$\textbf{j}$. Його величина, в одиницях$\hbar$, є$\sqrt{j( j +1)}$ і називається його$z$ -складова$m$. У цьому випадку чотири «хороші квантові числа», які описують електрон$n$$l$, є$n$,$j$$m$ а не$l$$m_l$,$m_s$. Можливі проміжні випадки, але ми потурбуємося про це пізніше. У будь-якому випадку хвильова функція, яка описує електрон, описується чотирма квантовими числами, і, звичайно, жодна дві хвильові функції (і, отже, немає двох електронів, пов'язаних в атомі) не мають однакового набору з чотирьох квантових чисел. (Якщо коротко повернутися до вібруючої сфері, кожен режим вібрації описується трьома квантовими числами. Немає сенсу говорити про двох різних режимах, що мають однаковий набір з трьох квантових чисел.) Істина про те, що жоден з двох електронів, пов'язаних в атомі, не має однакового набору з чотирьох квантових чисел, називається принципом виключення Паулі.