3: Серія
- Page ID
- 18270
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Цілі глави
- Дізнайтеся, як отримати розширення Маклоріна і Тейлора різних функцій.
- Дізнайтеся, як виражати нескінченні суми за допомогою оператора підсумовування (\( \displaystyle \Sigma\))
- Зрозумійте, як послідовне розширення може бути використано у фізичних науках для отримання наближення, яке є дійсним у певному режимі (наприклад, низька концентрація розчиненої речовини, низький тиск газу, невеликі коливання маятника тощо).
- Зрозумійте, як розширення серії може бути використано для доказу математичного зв'язку.
- 3.1: Серія Маклорін
- Функція f (x) може бути виражена у вигляді ряду в степенях x до тих пір, поки f (x) і всі її похідні кінцеві при x = 0.
- 3.2: Лінійні наближення
- Ми завжди можемо наблизити функцію як рядок до тих пір, поки х малий. Коли ми говоримо «будь-яка функція», ми, звичайно, маємо на увазі, що функція та всі її похідні повинні бути кінцевими при x = 0.
- 3.3: Серія Тейлора
- Перш ніж обговорювати більше застосувань серії Maclaurin, давайте розширимо нашу дискусію до більш загального випадку, коли ми розширюємо функцію навколо значень, відмінних від нуля. Скажімо, що ми хочемо розширити функцію навколо числа h Якщо h = 0, ми називаємо серію Maclaurin, і якщо h0 ми називаємо серію Тейлора. Оскільки серія Maclaurin є особливим випадком більш загального випадку, ми можемо назвати всі серії серії Тейлора і опустити різницю.
Мініатюра: На графіку показані функції\(\displaystyle y=sinx\) та поліноми Маклорена\(\displaystyle p_1,p_3\) та\(\displaystyle p_5\). Зображення, що використовується з дозволу (CC BY-SA 3.0; OpenStax).