3.2: Лінійні наближення

Якщо ви подивитеся на Рівняння,\(3.1.5\) ви побачите, що ми завжди можемо наблизити функцію до тих\(a_0+a_1x\) пір, поки\(x\) вона мала. Коли ми говоримо «будь-яка функція», ми, звичайно, маємо на увазі, що функція та всі її похідні повинні бути кінцевими\(x=0\). Дивлячись на визначення коефіцієнтів, можна записати:

\[\label{eq1} f (x) \approx f(0) +f'(0)x\]

Ми називаємо це лінійним наближенням, оскільки Equation\ ref {eq1} є рівнянням прямої. Нахил цієї лінії є\(f'(0)\) і\(y\) -перехоплення є\(f(0)\).

Справедливим питанням на цьому етапі є «чому ми навіть говоримо про наближення?» Що ж такого складного в функціях\(\sin{x}\),\(e^x\) або\(\ln{(x+1)}\) що нам потрібно шукати наближення? Нам стає лінь? Щоб проілюструвати це питання, розглянемо проблему маятника, яку ми детально вирішимо в розділі, присвяченому диференціальним рівнянням. Задача проілюстрована на малюнку\(\PageIndex{1}\), і ті з вас, хто пройшов курс фізики, розпізнають рівняння нижче, яке представляє закон руху простого маятника. Друга похідна відноситься до прискорення, а\(\sin \theta\) термін обумовлений складовою чистої сили по напрямку руху. Про це ми більш детально обговоримо пізніше в цьому семестрі, тому поки просто прийміть той факт, що для цієї системи закон Ньютона можна записати так:

\[\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+\frac{g}{l} \sin{\theta(t)}=0 \nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Жорсткий маятник з безмасовим і нерозтяжним шнуром довжини\(l\). Передбачається, що рух відбувається в двох вимірах, а тертя вважається незначним. Маса об'єкта є\(m\), і\(g\) є прискорення за рахунок сили тяжіння. (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Це рівняння має бути легко вирішити, чи не так? Він має лише кілька термінів, нічого надто фантазійного, крім невинної функції синуса... Як важко це може бути отримати\(\theta(t)\)? На жаль, це диференціальне рівняння не має аналітичного рішення! Аналітичне рішення означає, що розв'язок може бути виражений через скінченну кількість елементарних функцій (таких як синус, косинус, експоненціальні і т.д.). Диференціальні рівняння іноді обманюють таким чином: вони виглядають просто, але їх може бути неймовірно важко вирішити або навіть неможливо! Той факт, що ми не можемо записати аналітичне рішення, не означає, що вирішення проблеми немає. Ви можете качати маятник і виміряти\(\theta(t)\) і створити таблицю чисел, і в принципі ви можете бути настільки точними, як хочете бути. Тим не менш, ви не зможете створити функцію, яка відображає ваші числові результати. Ми побачимо, що ми можемо вирішувати такі рівняння чисельно, але не аналітично. Розчаровує, чи не так? Ну... не будьте. Багато з того, що ми знаємо про молекули і хімічні реакції, прийшло з роботи фізико-хіміків, які вміють вирішувати проблеми за допомогою числових методів. Той факт, що ми не можемо отримати аналітичний вираз, який описує ту чи іншу фізичну чи хімічну систему, не означає, що ми не можемо вирішити проблему чисельно і все одно багато чому навчитися!

Але що робити, якщо нас цікавлять лише невеликі зсуви (тобто маятник коливається впритул до вертикальної осі в усі часи)? В даному випадку\(\theta<<1\) і як ми бачили\(\sin{\theta}\approx\theta\) (див. Рис.\(3.1.4\)). Якщо це так, ми маємо зараз:

\[\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+\frac{g}{l} \theta(t)=0 \nonumber\]

Як виявляється, і як ми побачимо в розділі 2, в цьому випадку дуже легко отримати рішення, яке ми шукаємо:

\[\theta(t)=\theta(t=0)\cos \left((\frac{g}{l})^{1/2}t \right) \nonumber\]

Це рішення є знайомим коливальним рухом «назад і вперед» маятника, з яким ви знайомі. Те, що ви, можливо, не знали до сьогоднішнього дня, це те, що це рішення передбачає\(\sin{\theta}\approx\theta\) і тому діє лише тоді, коли\(\theta<<1\)!

Є багато «прихованих» лінійних наближень у рівняннях, які ви вивчили на курсах фізики та хімії. Ви можете згадати, як ваші вчителі говорили вам, що дане рівняння дійсне лише при низьких концентраціях, або низькому тиску, або низькому... ви, сподіваємось, отримаєте точку. Маятник, звичайно, не особливо цікавий, коли мова йде про хімію, але, як ми побачимо на багатьох прикладах протягом семестру, коливання, загалом кажучи, є. Наведений нижче приклад ілюструє використання серії до проблеми, пов'язаної з двоатомними молекулами, але перед її обговоренням нам потрібно надати деяку передумову.

Коливання двоатомної молекули часто моделюються з точки зору так званого потенціалу Морзе. Це рівняння не дає точного опису коливань молекули за будь-яких умов, але воно робить досить непогану роботу для багатьох цілей.

\[\label{morse}V(R)=D_e\left(1-e^{-k(R-R_e)}\right)^2\]

Тут\(R\) знаходиться відстань між ядрами двох атомів,\(R_e\) це відстань при рівновазі (тобто довжина рівноваги зв'язку),\(D_e\) є енергією дисоціації молекули,\(k\) є постійною, яка вимірює міцність зв'язку, і\(V\) є потенційною енергією. Зверніть увагу, що\(R_e\) це відстань, на якій потенційна енергія є мінімальною, і саме тому ми називаємо це відстань рівноваги. Нам потрібно було б застосувати енергію, щоб відокремити атоми ще більше, або підштовхнути їх ближче (рис.\(\PageIndex{2}\)).

При кімнатній температурі теплової енергії достатньо, щоб викликати невеликі коливання, які витісняють атоми з їх рівноважних положень, але для стабільних молекул зміщення дуже мало:\(R-R_e\rightarrow0\). У наступному прикладі ми доведемо, що в цих умовах потенціал виглядає як парабола, або в математичному плані\(V(R)\) пропорційний квадрату зміщення. Цей тип потенціалу називається «гармонічним потенціалом». Вібрація називається простою гармонікою, якщо потенціал пропорційний квадрату переміщення (як у простих пружинних задачах, які ви, можливо, вивчали у фізиці).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Потенціал Морзе (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розкрийте потенціал Морзе як силовий ряд і доведіть, що коливання молекули приблизно прості гармонічні, якщо зміщення\(R-R_e\) невелике.

Рішення

Відповідною змінною в цій задачі є зміщення\(R-R_e\), а не фактична відстань\(R\). Давайте назвемо зміщення\(R-R_e=x\), і давайте перепишемо рівняння\ ref {morse} як

\[\label{morse2}V(R)=D_e\left(1-e^{-kx}\right)^2\]

Мета полягає в тому, щоб довести, що\(V(R) =cx^2\) (тобто потенціал пропорційний квадрату зміщення) при\(x\rightarrow0\). Константа\(c\) - це константа пропорційності. Ми можемо підійти до цього двома різними способами. Одним з варіантів є розширення функції, показаної в Equation\ ref {morse2}, навколо нуля. Це було б правильно, але це зате пов'язане з деякою непотрібною роботою. Змінна\(x\) з'являється лише в експоненціальному терміні, тому простішим варіантом є розширення експоненціальної функції та підключення результату цього розширення назад до Equation\ ref {morse2}. Давайте подивимося, як це працює:

Ми хочемо, щоб розширити\(e^{-kx}\) як\(a_0+a_1 x + a_2 x^2...a_n x^n\), і ми знаємо, що коефіцієнти\(a_n=\frac{1}{n!} \left( \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right)_0.\)
є коефіцієнт\(a_0\) є\(f(0)=1\). Перші три похідні\(f(x)=e^{-kx}\) є

• \(f'(x)=-ke^{-kx}\)
• \(f''(x)=k^2e^{-kx}\)
• \(f'''(x)=-k^3e^{-kx}\)

Коли\(x=0\) оцінюємо при отриманні,\(-k, k^2, -k^3...\)

і тому\(a_n=\frac{(-1)^n k^n}{n!}\) для\(n=0, 1, 2...\).

Тому,

\[e^{-kx}=1-kx+k^2x^2/2!-k^3x^3/3!+k^4x^4/4!...\]

і

\[1-e^{-kx}=+kx-k^2x^2/2!+k^3x^3/3!-k^4x^4/4!...\]

З останнього результату, коли\(x<<1\), ми знаємо, що терміни в\(x^2, x^3...\) будуть все меншими, так\(1-e^{-kx}\approx kx\) і\((1-e^{-kx})^2\approx k^2x^2\).

Підключивши цей результат до Equation\ ref {morse2}\(V(R) \approx D_e k^2 x^2\), ми продемонстрували, що потенціал пропорційний квадрату зміщення, коли зсув малий (константа пропорційності є\(D_e k^2\)). Тому стабільні двоатомні молекули при кімнатній температурі поводяться майже як весна! (Не приймайте це занадто буквально. Як ми поговоримо далі, мікроскопічні пружини взагалі не поводяться як макроскопічні пружини).