Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Проблеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18291

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Розгорніть наступні функції навколо значення\(x\) зазначеного в кожному конкретному випадку.

    У кожному випадку запишіть не менше чотирьох членів ряду, а результат запишіть як нескінченну суму.

    • \(\sin{(ax)}\),\(x=0\),\(a\) є постійною
    • \(\cos{(ax)}\),\(x=0\),\(a\) є постійною
    • \(e^{ax}\),\(x=0\),\(a\) є справжньою константою
    • \(e^{-ax}\),\(x=0\),\(a\) є справжньою константою
    • \(\ln{(ax)}\),\(x=1\),\(a\) є справжньою константою

    Проблема\(\PageIndex{2}\)

    Скористайтеся результатами попередньої задачі, щоб довести взаємозв'язок Ейлера:

    \[e^{ix}=\cos x + i \sin x \nonumber\]

    Проблема\(\PageIndex{3}\)

    Осмотичний тиск (\(\pi\)) розчину задається

    \[-RT \ln x_A=\pi V_m \nonumber\]

    де\(V_m\) - молярний обсяг чистого розчинника, а\(x_a\) - молярна фракція розчинника.

    Покажіть, що в разі розведеного розчину

    \[RT x_B \approx \pi V_m \nonumber\]

    де\(x_B\) - мольова фракція розчиненого речовини. Пам'ятайте, що моль фракцій розчиненого речовини і розчинника потрібно додавати до 1.

    Примітка: Ви можете використовувати будь-який з результатів, отриманих в Probleme\(\PageIndex{1}\).

    Проблема\(\PageIndex{4}\)

    Наступний вираз відомий як рівняння Батлера-Вольмера, і він використовується в електрохімії для опису кінетики електрохімічної реакції, керованої виключно швидкістю процесу перенесення електрохімічного заряду.

    \[j=j_0({e^{(1-\alpha)f\eta}-e^{-\alpha f \eta}}), ~ 0<\alpha<1 \text{ and } f>0, \eta>0 \nonumber\]

    Покажіть, що\(j \approx j_0 f \eta\) коли\(f \eta <<1\).

    Примітка: Ви можете використовувати будь-який з результатів, отриманих в Probleme\(\PageIndex{1}\).

    Проблема\(\PageIndex{5}\)

    Щільність енергії випромінювання чорного тіла (\(\rho\)) при температурі Т задається формулою Планка:

    \[\rho(\lambda)=\frac{8\pi h c}{\lambda^5}[e^{hc/\lambda k T}-1]^{-1} \nonumber\]

    де\(\lambda\) довжина хвилі,\(h\) - постійна Планка, і\(c\) швидкість світла. Показати, що формула зводиться до класичного закону Релія-Джинса\(\rho = 8\pi kT/\lambda^4\) для довгих довжин хвиль (\(\lambda \rightarrow \infty\)).

    Підказка: Визначте змінну\(\nu = \lambda^{-1}\) та вирішіть проблему для\(\nu \rightarrow 0\).

    Примітка: Ви можете використовувати будь-який з результатів, отриманих в Probleme\(\PageIndex{1}\).

    Проблема\(\PageIndex{6}\)

    Використовуйте серію, щоб довести\(\sum \limits _{k=0} ^\infty{\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}}=1\), що,\(\lambda\) є позитивною реальною константою.

    Проблема\(\PageIndex{7}\)

    Запишіть рівняння прямої, що забезпечує хороше наближення функції\(e^x\) при значеннях, близьких до\(x = 2\).

    Проблема\(\PageIndex{8}\)

    Використовуйте розширення Тейлора навколо\(a\), щоб довести, що\(\ln{x} = \ln{a}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n a^n}(x-a)^n\)