3.4: Інші програми серії Mclaurin та Taylor

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18283

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поки ми обговорювали, як ми можемо використовувати ряди потужності для наближення більш складних функцій навколо певного значення. Це дуже часто зустрічається у фізичній хімії, і ви будете часто застосовувати його в майбутніх курсах. Є й інші корисні програми серії Тейлора у фізичних науках. Іноді ми можемо використовувати відносини, щоб вивести рівняння або довести відносини. Приклад\(\PageIndex{1}\) ілюструє цей останній пункт.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Обчисліть наступну суму (\(\lambda\)є додатною константою)

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \nonumber\]

Рішення

Давайте «пропишемо» суму:

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda} \left[1+\frac{\lambda^1}{1!}+\frac{\lambda^2}{2!}+\frac{\lambda^3}{3!}...\right] \nonumber \]

Сума в дужках точно\(e^\lambda\). Це точно, а не наближення, тому що у нас є всі нескінченні терміни.

Тому,

\[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1 \nonumber \]

Це вимагатиме визнати термін у дужках як ряд Маклорена експоненціальної функції. Один простіший варіант проблеми буде попросити вас довести, що сума дорівнює 1.

Є більше способів використання серії Тейлора у фізичних науках. Ми побачимо інший тип застосування, коли вивчимо диференціальні рівняння. Насправді силові ряди надзвичайно важливі при знаходженні розв'язків великої кількості рівнянь, що виникають в квантовій механіці. Опис атомних орбіталів, наприклад, вимагає, щоб ми розв'язували диференціальні рівняння, які передбачають вираження функцій як степеневих рядів.