3.1: Серія Маклорін
- Page ID
- 18284
Функція\(f(x)\) може бути виражена у вигляді ряду в степенях до тих\(x\) пір, поки\(f(x)\) і всі її похідні є кінцевими при\(x=0\). Наприклад, коротко доведемо, що функція\(f(x) = \dfrac{1}{1-x}\) може бути виражена у вигляді такої нескінченної суми:
\[\label{eq1}\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4 + \ldots\]
Ми можемо написати це твердження таким більш елегантним способом:
\[\label{eq2}\dfrac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\]
Якщо ви не знайомі з цим позначенням, у правій частині рівняння читається «сума від\(n=0\) до\(n=\infty\)\(x^n.\)» Коли\(n=0\), коли, коли\(x^n = 1\), коли\(n=1\)\(x^n = x\)\(n=2\)\(x^n = x^2\), і т.д. (порівняйте з Equation\ ref {eq1}). Термін «ряд в степенях\(x\)» означає суму, в якій кожен сумарі є степенем змінної\(x\). Зауважте, що число 1 є\(x\) степенем a well (\(x^0=1\)). Також зауважте, що обидва рівняння\ ref {eq1} і\ ref {eq2} точні, вони не є наближеннями.
Аналогічно, незабаром ми побачимо, що функція\(e^x\) може бути виражена як інша нескінченна сума в степенях\(x\) (тобто ряд Маклорена) як:
\[\label{expfunction}e^x=1+x+\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{24}x^4 + \ldots \]
Або, більш елегантно:
\[\label{expfunction2}e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} x^{n}\]
де\(n!\) читається «n факторіал» і представляє продукт\(1\times 2\times 3...\times n\). Якщо ви не знайомі з факторіалами, переконайтеся, що розумієте чому\(4! = 24\). Також пам'ятайте, що за\(0! = 1\) визначенням не нуль.
На цьому етапі у вас повинно виникнути два питання: 1) як я можу побудувати ряд Маклорена даної функції, і 2) чому на землі я хотів би зробити це, якщо\(\dfrac{1}{1-x}\) і\(e^x\) є прекрасними функціями, як вони є. Відповідь на перше запитання проста, і хоча ви повинні знати це зі своїх класів обчислення, ми переглянемо його знову через мить. Відповідь на друге питання складніше, і це те, що більшість студентів вважають заплутаним щодо цієї теми. Ми обговоримо різні приклади, які мають на меті показати різноманітні ситуації, в яких вираження функцій таким чином корисно.
Як отримати ряд Маклорена функції
Загалом, добре поведена функція (\(f(x)\)а всі її похідні кінцеві на\(x=0\)) буде виражена у вигляді нескінченної суми\(x\) таких ступенів:
\[\label{eq3}f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}=a_0+a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n\]
Переконайтеся, що ви розумієте, чому два вирази в Equation\ ref {eq3} є однаковими способами вираження нескінченної суми. Терміни\(a_n\) називаються коефіцієнтами, і є константами (тобто вони НЕ є функціями\(x\)). Якщо ви в кінцевому підсумку зі змінною\(x\) в одному з ваших коефіцієнтів поверніться назад і перевірте, що ви зробили не так! Наприклад, у випадку з\(e^x\) (Equation\ ref {expfunction}),\(a_0 =1, a_1=1, a_2 = 1/2, a_3=1/6, etc\). У прикладі Equation\ ref {eq1} всі коефіцієнти рівні 1. Ми щойно побачили, що дві дуже різні функції можуть бути виражені, використовуючи один і той же набір функцій (повноваження\(x\)). Що\(\dfrac{1}{1-x}\)\(e^x\) відрізняє від коефіцієнтів\(a_n\). Як ми побачимо незабаром, коефіцієнти можуть бути негативними, позитивними або нульовими.
Як ми розрахуємо коефіцієнти? Кожен коефіцієнт розраховується як:
\[\label{series:coefficients}a_n=\dfrac{1}{n!} \left( \dfrac{d^n f(x)}{dx^n} \right)_0\]
Тобто\(n\) -ий коефіцієнт дорівнює одиниці над факторіалом\(n\) помноженої на\(n\) -ю похідну функції,\(f(x)\) оціненої на нуль. Наприклад, якщо ми хочемо обчислити\(a_2\) для функції\(f(x)=\dfrac{1}{1-x}\), нам потрібно отримати другу похідну\(f(x)\), оцінити її в\(x=0\) і розділити результат на\(2!\). Зробіть це самостійно і переконайтеся в цьому\(a_2=1\). У випадку з\(a_0\) нами потрібна похідна нульового порядку, яка дорівнює самій функції (тобто тому\(a_0 = f(0)\), що\(\dfrac{1}{0!}=1\)). Важливо підкреслити, що хоча похідні, як правило, є функціями\(x\), коефіцієнти є константами, оскільки вони виражаються через похідні, оцінені на\(x=0\).
Зауважимо, що для отримання ряду Маклорена ми оцінюємо функцію та її похідні при\(x=0\). Цю процедуру ще називають розширенням функції навколо (або близько) нуля. Ми можемо розширити функції навколо інших чисел, і ці серії називаються серіями Тейлора (див. Розділ 3).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Отримаємо ряд Маклорен\(sin(x)\).
Рішення
Нам потрібно отримати всі коефіцієнти (\(a_0, a_1...etc\)). Оскільки коефіцієнтів нескінченно багато, ми обчислимо кілька і знайдемо загальну закономірність, щоб висловити решту. Нам знадобиться кілька похідних\(sin(x)\), тому зробимо таблицю:
| \(n\) | \(\dfrac{d^n f(x)}{dx^n}\) | \(\left( \dfrac{d^n f(x)}{dx^n} \right)_0\) |
|---|---|---|
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 | \ (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">\(\sin (x)\) | \ (\ ліворуч (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\ праворуч) _0\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">\(\cos (x)\) | \ (\ ліворуч (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\ праворуч) _0\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2 | \ (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">\(-\sin (x)\) | \ (\ ліворуч (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\ праворуч) _0\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3 | \ (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">\(-\cos (x)\) | \ (\ ліворуч (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\ праворуч) _0\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4 | \ (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">\(\sin (x)\) | \ (\ ліворуч (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\ праворуч) _0\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 5 | \ (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">\(\cos (x)\) | \ (\ ліворуч (\ dfrac {d^n f (x)} {dx^n}\ праворуч) _0\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 |
Пам'ятайте, що кожен коефіцієнт дорівнює\(\left( \dfrac{d^n f(x)}{dx^n} \right)_0\) ділиться на\(n!\), отже:
| \(n\) | \(n!\) | \(a_n\) |
|---|---|---|
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 | \ (n! \)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (a_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (n! \)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (a_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2 | \ (n! \)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2 | \ (a_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3 | \ (n! \)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(6\) | \ (a_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(-\dfrac{1}{6}\) |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4 | \ (n! \)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(24\) | \ (a_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 5 | \ (n! \)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(120\) | \ (a_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(\dfrac{1}{120}\) |
Цієї інформації достатньо, щоб побачити шаблон (ви можете перейти до більш високих значень,\(n\) якщо ви його ще не бачите):
- коефіцієнти для парних значень\(n\) рівних нулю.
- коефіцієнти для\(n = 1, 5, 9, 13,...\) рівних\(1/n!\)
- коефіцієнти для\(n = 3, 7, 11, 15,...\) рівних\(-1/n!\).
Нагадаємо, що загальний вираз для ряду Маклорена є\(a_0+a_1 x + a_2 x^2...a_n x^n\), і замініть\(a_0...a_n\) на тільки що знайдені нами коефіцієнти:
\[\displaystyle{\color{Maroon}\sin (x) = x - \dfrac{1}{3!} x^3+ \dfrac{1}{5!} x^5 -\dfrac{1}{7!} x^7...} \nonumber\]
Це правильний спосіб написання серії, але в наступному прикладі ми побачимо, як написати його більш елегантно як суму.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Висловіть ряд Маклорена\(\sin (x)\) як суму.
Рішення
У попередньому прикладі ми виявили, що:
\[\label{series:sin}\sin (x) = x - \dfrac{1}{3!} x^3+ \dfrac{1}{5!} x^5 -\dfrac{1}{7!} x^7...\]
Ми хочемо висловити це у вигляді суми:
\[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n} \nonumber\]
Ключ тут полягає в тому, щоб висловити коефіцієнти\(a_n\) в терміні\(n\). Ми тільки що зробили висновок, що 1) коефіцієнти для парних значень\(n\) рівних нулю, 2) коефіцієнти для\(n = 1, 5, 9, 13,...\) рівних\(1/n!\) і 3) коефіцієнти для\(n = 3, 7, 11,...\) рівних\(-1/n!\). Як ми об'єднаємо всю цю інформацію в унікальний вираз? Ось три можливі (і однаково хороші) відповіді:
- \(\displaystyle{\color{Maroon}\sin (x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( -1 \right) ^n \dfrac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}\)
- \(\displaystyle{\color{Maroon}\sin (x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{(n+1)} \dfrac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1}}\)
- \(\displaystyle{\color{Maroon}\sin (x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} cos(n \pi) \dfrac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}\)
Це може виглядати неймовірно важко зрозуміти, але дозвольте мені поділитися з вами кількома хитрощами. По-перше, ми помічаємо, що знак в Equation\ ref {series:sin} чергується, починаючи з «+». Математичний спосіб зробити це з терміном,\((-1)^n\) якщо ваша сума починається з\(n=0\), або\((-1)^{(n+1)}\) якщо ви сума починається з\(n=1\). Зверніть увагу, що\(\cos (n \pi)\) робить той же трюк.
| \(n\) | \((-1)^n\) | \((-1)^{n+1}\) | \(\cos (n \pi)\) |
|---|---|---|---|
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0 | \ (-1) ^n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (-1) ^ {n+1}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 | \ (\ cos (n\ pi)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (-1) ^n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 | \ (-1) ^ {n+1}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (\ cos (n\ pi)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2 | \ (-1) ^n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (-1) ^ {n+1}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 | \ (\ cos (n\ pi)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 |
| \ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3 | \ (-1) ^n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 | \ (-1) ^ {n+1}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1 | \ (\ cos (n\ pi)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1 |
У нас є правильний знак для кожного члена, але нам потрібно генерувати числа\(1, \dfrac{1}{3!}, \dfrac{1}{5!}, \dfrac{1}{7!},...\) Зверніть увагу, що число «1» може бути виражено як\(\dfrac{1}{1!}\). Для цього введемо другий трюк дня: ми будемо використовувати вираз\(2n+1\) для генерації непарних чисел (якщо ви починаєте свою суму з\(n=0\)) або\(2n-1\) (якщо ви починаєте з\(n=1\)). Тому вираз\(\dfrac{1}{(2n+1)!}\) дає\(1, \dfrac{1}{3!}, \dfrac{1}{5!}, \dfrac{1}{7!},...\), що і потрібно в першому і третьому прикладах (коли сума починається з нуля).
Нарешті, нам потрібно використовувати лише непарні повноваження\(x\). Вираз\(x^{(2n+1)}\) генерує терміни,\(x, x^3, x^5...\) коли ви починаєте з\(n=0\), і\(x^{(2n-1)}\) досягає того ж, коли ви починаєте свою серію\(n=1\).
Плуталися про написання сум за допомогою оператора sum\((\sum)\)? У цьому відео допоможе: http://tinyurl.com/lvwd36q
Потрібна допомога? Посилання нижче містять розв'язані приклади.
Зовнішні посилання:
Знаходження ряду Maclaurin функції I: http://patrickjmt.com/taylor-and-maclaurin-series-example-1/
Знаходження ряду Маклорина функції II: http://www.youtube.com/watch?v = DP2OvduWhro
Знаходження ряду Маклоріна функції III: http://www.youtube.com/watch?v = WWE7pZjC4s8
Графічне представлення
З Рівняння\(\ref{eq3}\) та прикладів, які ми розглядали вище, на цьому етапі повинно бути зрозуміло, що будь-яка функція, похідні якої є кінцевими,\(x=0\) може бути виражена за допомогою одного і того ж набору функцій: степеней\(x\). Ці функції ми будемо називати базовим набором. Базова множина - це сукупність лінійно незалежних функцій, які можуть представляти інші функції при використанні в лінійній комбінації.
Рисунок\(\PageIndex{1}\) являє собою графічне зображення перших чотирьох функцій цієї базової множини. Справедливості заради, перша функція множини є\(x^0=1\), так що це буде друга, третя, четверта і п'ята. Повний базовий набір, звичайно, нескінченний по довжині. Якщо змішати всі функції множини з рівними вагами (ставимо стільки ж, скільки ставимо\(x^{245}\) або\(x^{0}\)), то отримаємо\((1-x)^{-1}\) (Equation\ ref {eq1}.\(x^2\) Якщо ми використовуємо лише непарні члени, чергуємо знак, що починається з «+», і зважуємо кожен член все менше і менше, використовуючи вираз\(1/(2n-1)!\) для цього\(n-th\) терміна, отримаємо\(\sin{x}\) (Equation\ ref {series:sin}). Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{2}\), де ми множимо парні сили\(x\) на нуль, а для решти використовуємо різні ваги. Зауважте, що «etcetera» має вирішальне значення, оскільки нам потрібно буде включити нескінченну кількість функцій, щоб\(\sin{x}\) точно отримати функцію.
Хоча нам потрібна нескінченна кількість термінів, щоб точно висловити функцію (якщо функція, звичайно, не є поліномом), у багатьох випадках ми будемо спостерігати, що вага (коефіцієнт) кожної потужності\(x\) стає все менше і менше, коли ми збільшуємо потужність. Наприклад, у випадку з\(\sin{x}\), внесок\(x^3\) - це\(1/6 th\) внесок\(x\) (в абсолютному вираженні), а внесок\(x^5\) є\(1/120 th\). Це говорить вам про те, що перші терміни набагато важливіші за інші, хоча всі потрібні, якщо ми хочемо, щоб сума\(\sin{x}\) точно представляла. Що робити, якщо ми задоволені «досить хорошим» наближенням\(\sin{x}\)? Давайте подивимося, що станеться, якщо ми використаємо до\(x^3\) і скинемо вищі терміни. Результат нанесений синім кольором на малюнку\(\PageIndex{3}\) разом з червоним\(\sin{x}\) кольором. Ми бачимо, що функція\(x-1/6 x^3\) є дуже хорошим наближенням до тих\(\sin{x}\) пір, поки ми залишаємося поруч\(x=0\). Коли ми віддаляємося від походження, наближення стає все гіршим і гіршим, і нам потрібно буде включити вищі сили,\(x\) щоб покращити його. Це повинно бути зрозуміло з ур. [series:sin], оскільки терміни\(x^n\) стають все менше і менше зі збільшенням,\(n\) якщо\(x\) це невелика кількість. Тому, якщо\(x\) мало, ми могли б написати\(\sin (x) \approx x - \dfrac{1}{3!} x^3\), де символ\(\approx\) означає приблизно рівний.
Але чому зупинятися на\(n=3\) а ні\(n=1\) або 5? Наведений вище аргумент говорить про те, що функція\(x\) може бути хорошим наближенням\(\sin{x}\) навколо\(x=0\), коли термін\(x^3\) набагато менший за термін\(x\). Це насправді так, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\).
Ми бачили, що ми можемо отримати хороші наближення функції, скорочуючи ряд (тобто не використовуючи нескінченні терміни). Студенти зазвичай розчаровуються і хочуть знати, скільки термінів є «правильними». Потрібно трохи практики, щоб усвідомити, що універсальної відповіді на це питання немає. Нам потрібен певний контекст, щоб проаналізувати, наскільки добре наближенням ми задоволені. Наприклад, чи задоволені ми невеликою помилкою, яку ми бачимо на\(x= 0.5\) малюнку\(\PageIndex{4}\)? Все залежить від контексту. Можливо, ми проводимо експерименти, де у нас є інші джерела помилок, які набагато гірші, ніж це, тому використання додаткового терміну не покращить загальну ситуацію в будь-якому випадку. Можливо, ми проводимо дуже точні експерименти, де ця різниця значна. Як бачите, обговорювати, скільки термінів потрібно в наближенні поза контекстом, не дуже корисно. Ми обговоримо це конкретне наближення, коли дізнаємось про диференціальні рівняння другого порядку та проаналізуємо проблему маятника, тому, сподіваємось, що тоді все матиме більше сенсу.
