2.4: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18350

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Примітка: Завжди виражати кути в радіанах (наприклад\(\pi/2\), ні\(90^{\circ}\)). При вираженні складних чисел у декартовій формі завжди закінчуйте свою роботу, поки не зможете висловити їх як\(a+bi\). Наприклад, якщо отримати\(\frac{2}{1+i}\), помножити і розділити знаменник на його складний сполучений для отримання\(1-i\).

Пам'ятайте: калькулятори не допускаються!

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Дано\(z_1=1+i\),\(z_2=1-i\) і\(z_3=3e^{i \pi/2}\), отримати:

\(z_1 z_2\)
\(z_1^2\)
\(2z_1-3z_2\)
\(|z_1|\)
\(2z_1-3z_2^*\)
\(\frac{z_1}{z_2}\)
Експрес\(z_2\) як складна експоненціальна
\(|z_3|\)
\(z_1+z_3\), і висловити результат у декартовій формі
Відобразити три числа в одному графіку (дійсна частина в\(x\) -осі і уявна частина на\(y\) -осі)

Проблема\(\PageIndex{2}\)

У квантовій механіці зустрічається наступне сімейство функцій:

\[\Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i m \phi}, m= 0, \pm 1,\pm 2, \pm 3 \dots, 0 \le \phi \le 2\pi\]

Зверніть увагу на різницю між\(\Phi\) (назва функції), і\(\phi\) (незалежна змінна). Вищевказане визначення визначає сімейство функцій (по одній функції для кожного значення\(m\)). Наприклад, для\(m=2\):

\[\Phi_2(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{2i \phi},\]

і для\(m=-2\):

\[\Phi_{-2}(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-2i \phi},\]

Отримати\(|\Phi_m(\phi)|^2\)
Обчисліть\(\int_0 ^{2\pi}|\Phi_m(\phi)|^2 \mathrm{d}\phi\)
Розрахувати\(\int_0 ^{2\pi}\Phi_m(\phi)\Phi_n^*(\phi) \mathrm{d}\phi\) для\(m \neq n\)
Розрахувати\(\int_0 ^{2\pi}\Phi_m(\phi) \mathrm{d}\phi\) для\(m = 0\)
Розрахувати\(\int_0 ^{2\pi}\Phi_m(\phi) \mathrm{d}\phi\) для\(m \neq 0\)

Проблема\(\PageIndex{3}\)

З огляду на функцію

\[f(r,\theta,\phi)=4 r e^{-2r/3} \sin{\theta}e^{-2i\phi/5}\]

Запишіть вираз для\(|f(r,\theta,\phi)|^2\)