Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1: Властивості нормального розподілу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    17898

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Математично нормальний розподіл визначається рівнянням

    \[P(x) = \frac {1} {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-(x - \mu)^2/(2 \sigma^2)} \nonumber\]

    де\(P(x)\) - ймовірність отримання результату\(x\), від популяції з відомим середнім значенням\(\mu\), і відомим стандартним відхиленням,\(\sigma\). \(\PageIndex{1}\)На малюнку показані нормальні криві розподілу для\(\mu = 0\) стандартних відхилень 5, 10 і 20.

    clipboard_e4793970c38764adbf0aa9e883bab4da9.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Три приклади нормальних кривих розподілу. Хоча на висоту і ширину впливають\(\sigma\), площа під кожною кривою однакова.

    Оскільки рівняння для нормального розподілу залежить виключно від середнього значення популяції та її стандартного відхилення, ймовірність того\(\sigma\), що вибірка, взята з популяції, має значення між будь-якими двома довільними межами, однакова для всіх популяцій.\(\mu\) Наприклад, малюнок\(\PageIndex{2}\) показує, що 68,26% всіх зразків, взятих із нормально розподіленої сукупності, мають значення в межах діапазону\(\mu \pm 1\sigma\), і лише 0,14% мають значення більше\(\mu + 3\sigma\).

    clipboard_e1496b72152710ab4ebfefaa80b976c35.png
    Рисунок\(\PageIndex{2}\): Нормальна крива розподілу для\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\) показує площу під кривою для різних значень\(z\) in\(\mu \pm z \sigma\).

    Ця особливість нормального розподілу - що площа під кривою однакова для всіх значень\(\sigma\) —дозволяє нам створити таблицю ймовірностей (див. Додаток 1) на основі відносного відхилення між межею, x та середнім значенням,\(\mu\).\(z\)

    \[z = \frac {x - \mu} {\sigma} \nonumber\]

    Значення\(z\) дає площу під кривою між цією межею та найближчим хвостом розподілу, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\).

    clipboard_e3dcf0d22cbba4d438915ec415ec307f0.png
    Рисунок\(\PageIndex{3}\): Нормальна крива розподілу для\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\) показ (зліва) області під кривою для\(z = −1.5\) і (праворуч для\(z = +0.5\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Припустимо, ми знаємо, що\(\mu\) це 5.5833 ppb Pb і\(\sigma\) це 0.0558 ppb Pb для конкретного стандартного довідкового матеріалу (SRM). Яка ймовірність того, що ми отримаємо результат, який перевищує 5.650 ppb, якщо проаналізувати одну випадкову вибірку, взяту з SRM?

    Рішення

    \(\PageIndex{4}\)На малюнку показана нормальна крива розподілу, задані значення 5,5833 ppb Pb для\(\mu\) і 0,0558 ppb Pb\(\sigma\). Затінена область на малюнках - це ймовірність отримання зразка з концентрацією Pb більше 5,650 проміле. Для визначення ймовірності спочатку обчислюємо\(z\)

    \[z = \frac {x - \mu} {\sigma} = \frac {5.650 - 5.5833} {0.0558} = 1.195 \nonumber\]

    Далі ми шукаємо ймовірність в Додатку 1 для цього значення\(z\), яке є середнім значенням 0.1170 (for\(z = 1.19\)) і 0.1151 (для\(z = 1.20\)), або ймовірність 0.1160; таким чином, ми очікуємо, що 11,60% зразків нададуть результат більше 5.650 ppb.

    clipboard_e3cb814e192cd3347846c247ad8f726ad.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Нормальна крива розподілу кількості свинцю в стандартній довідці з\(\mu = 5.5833\) ppb і\(\sigma = 0.0558\) ppb. Затінена область показує ті результати, для яких концентрація свинцю перевищує 5.650 ppb.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    У прикладі\(\PageIndex{1}\) розглядається одна межа — ймовірність того, що результат перевищує одне значення. Але що робити, якщо ми хочемо визначити ймовірність того, що зразок має між 5,580 г Pb і 5.625 г Pb?

    Рішення

    В даному випадку нас цікавить затінена область, показана на малюнку\(\PageIndex{5}\). Спочатку розраховуємо\(z\) для верхньої межі

    \[z = \frac {5.625 - 5.5833} {0.0558} = 0.747 \nonumber\]

    а потім розраховуємо\(z\) для нижньої межі

    \[z = \frac {5.580 - 5.5833} {0.0558} = -0.059 \nonumber\]

    Потім ми шукаємо ймовірність у Додатку 1, що результат перевищить нашу верхню межу 5.625, що становить 0.2275, або 22,75%, і ймовірність того, що результат буде меншим за нашу нижню межу 5.580, що становить 0.4765, або 47,65%. Загальна незаштрихована площа становить 71,4% від загальної площі, тому затінена область відповідає ймовірності

    \[100.00 - 22.75 - 47.65 = 100.00 - 71.40 = 29.6 \% \nonumber\]

    clipboard_e2e78115dc019477388953b079218a26e.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Нормальна крива розподілу кількості свинцю в стандартній довідці з\(\mu = 5.5833\) ppb і\(\sigma = 0.0558\) ppb. Затінена область показує ті результати, для яких концентрація свинцю становить більше 5,580 ppb і менше 5,625 ppb.