6.2: Інтервали довіри

У попередньому розділі ми навчилися прогнозувати ймовірність отримання того чи іншого результату, якщо наші дані нормально розподіляються з відомим$\mu$ і відомим$\sigma$. Наприклад, ми підрахували, що 11,60% зразків, взятих випадковим чином із стандартного еталонного матеріалу, матимуть концентрацію Pb більше 5,650 ppb, враховуючи 5,5833 ppb та a$\sigma$ 0,0558 ppb.$\mu$ По суті, ми визначили, від якої кількості стандартних відхилень становить 5,650,$\mu$ і використали це для визначення ймовірності заданої стандартної площі при нормальній кривій розподілу.

Ми можемо поглянути на це по-іншому, задаючи наступне питання: Якщо ми збираємо одну вибірку навмання з популяції з відомим$\mu$ і відомим$\sigma$, в якому діапазоні значень ми можемо обґрунтовано очікувати, щоб знайти результат вибірки 95% часу? Перестановка рівняння

$$z = \frac {x - \mu} {\sigma} \nonumber$$

і рішення для$x$ дарує

$$x = \mu \pm z \sigma = 5.5833 \pm (1.96)(0.0558) = 5.5833 \pm 0.1094 \nonumber$$

де a$z$ 1,96 відповідає 95% площі під кривою; ми називаємо це 95% довірчим інтервалом для однієї вибірки.

Як правило, погано робити висновок з результату одного експерименту; натомість ми зазвичай збираємо кілька зразків і задаємо питання таким чином: якщо ми збираємо$n$ випадкові зразки з популяції з відомим$\mu$ і відомим$\sigma$, в якому діапазоні значень ми могли б розумно розраховувати знайти середнє значення цих зразків 95% часу?

Ми можемо обґрунтовано очікувати, що стандартне відхилення для середнього значення декількох зразків менше, ніж стандартне відхилення для набору окремих зразків; насправді це так, і воно дається як

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac {\sigma} {\sqrt{n}} \nonumber$$

де$\frac {\sigma} {\sqrt{n}}$ називається стандартною похибкою середнього. Наприклад, якщо ми збираємо три зразки зі стандартного еталонного матеріалу, описаного вище, то ми очікуємо, що середнє значення для цих трьох зразків буде потрапляти в діапазон.

$$\bar{x} = \mu \pm z \sigma_{\bar{X}} = \mu \pm \frac {z \sigma} {\sqrt{n}} = 5.5833 \pm \frac{(1.96)(0.0558)} {\sqrt{3}} = 5.5833 \pm 0.0631 \nonumber$$

тобто$\pm 0.0631$ ppb навколо$\mu$, діапазон, який менший, ніж у$\pm 0.1094$ ppb, коли ми аналізуємо окремі зразки. Зверніть увагу, що відносне значення для нас збільшення розміру вибірки зменшується зі$n$ збільшенням через квадратний корінь, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Графік, що показує, як стандартна похибка середнього значення змінюється залежно від розміру вибірки. Значення для$\sigma$ дорівнює 10.

Наше лікування досі передбачає, що ми знаємо$\mu$ і$\sigma$ для материнського населення, але ми рідко знаємо ці значення; натомість ми вивчаємо зразки, взяті з батьківської популяції,$\bar{x}$ і задаємо наступне питання: Враховуючи середнє значення вибірки та її стандартне відхилення$s$, що таке наше найкраща оцінка середнього чисельності населення$\mu$, і його стандартного відхилення,$\sigma$.

Щоб зробити цю оцінку, ми замінюємо стандартне відхилення населення$\sigma$, на стандартне відхилення$s$, для наших зразків, замінюємо середнє значення популяції$\mu$, на середнє$\bar{x}$, для наших зразків$t$,$z$ замінюємо на, де значення$t$ залежить від кількість зразків,$n$

$$\bar{x} = \mu \pm \frac{ts}{\sqrt{n}} \nonumber$$

а потім переставити рівняння для вирішення$\mu$.

$$\mu = \bar{x} \pm \frac {ts} {\sqrt{n}} \nonumber$$

Ми називаємо це довірчим інтервалом. Значення для$t$ доступні в таблицях (див. Додаток 2) і залежать від рівня ймовірності$\alpha$, де$(1 − \alpha) \times 100$ рівень довіри, і ступеня свободи$n − 1$; зверніть увагу, що для будь-якого рівня ймовірності,$t \longrightarrow z$ як$n \longrightarrow \infty$.

Потрібно приділити особливу увагу тому, що означає цей довірчий інтервал і що він не означає:

• Це не означає, що існує 95% ймовірність того, що середнє значення населення знаходиться в діапазоні,$\mu = \bar{x} \pm ts$ оскільки наші вимірювання можуть бути упередженими або нормальний розподіл може бути неприйнятним для нашої системи.
• Це забезпечує нашу найкращу оцінку середнього рівня популяції,$\mu$ враховуючи наш аналіз$n$ зразків, взятих випадковим чином з материнської популяції; однак інша вибірка дасть інший довірчий інтервал і, отже, іншу оцінку для$\mu$.