4.2: MATLAB та незалежні класи

MATLAB та незалежні класи

У одиниці на Мінтермах показано, як використовувати мінтермальні ймовірності та мінтермові вектори для обчислення ймовірностей булевих комбінацій подій. В Independence of Events ми показуємо, що в незалежному випадку ми можемо обчислити всі мінтермальні ймовірності з ймовірностей основних подій. Хоча ці розрахунки прості, вони можуть бути виснажливими і схильні до помилок. На щастя, у цьому випадку у нас є m-функція minprob, яка обчислює всі мінтермальні ймовірності з ймовірностей базових або генеруючих наборів. Ця функція використовує m-функцію mintable для налаштування шаблонів з і$p$ '$q$s для різних minterms, а потім приймає продукти, щоб отримати набір minterm ймовірностей.

Приклад$\PageIndex{1}$

>> pm = minprob(0.1*[4 7 6])
   pm = 0.0720  0.1080  0.1680  0.2520  0.0480  0.0720  0.1120  0.1680

Можливо, бажано розташувати їх як на мінтермальній карті. Для цього ми маємо m-функцію minmap, яка змінює матрицю$pm$ рядків наступним чином:

>> t = minmap(pm)
t = 0.0720    0.1680    0.0480    0.1120
    0.1080    0.2520    0.0720    0.1680

Імовірність виникнення k n незалежних подій

У прикладі 2 показано, як використовувати m-функції mintable та csort для отримання ймовірності$k$ виникнення$n$ подій, коли доступні мінтермальні ймовірності. У випадку з незалежним класом, мінтермальні ймовірності легко обчислюються мінпроб, необхідно лише вказати ймовірності для$n$ основних подій і номери$k$ подій. Визначається розмір класу, звідси і mintable, а мінтермальні ймовірності обчислюються minprob. У нас є дві корисні m-функції. Якщо$P$ є матрицею ймовірностей$n$ окремих подій, і$k$ є матрицею цілих чисел менше або дорівнює$n$, то

функція$y = \text{ikn}(P, k)$ обчислює індивідуальні$k$ ймовірності, що$n$ відбуваються

функція$y = \text{ckn}(P, k)$ обчислює ймовірності, які виникають$k$ або більше

Приклад$\PageIndex{2}$

>> p = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
>> k = [2 5 7];
>> P = ikn(p,k)
P =    0.1401    0.1845    0.0225       % individual probabilities
>> Pc = ckn(p,k)
Pc =   0.9516    0.2921    0.0266       % cumulative probabilities

Надійність систем з незалежними компонентами

Припустимо, система має$n$ компоненти, які виходять з ладу самостійно. $E_i$Дозволяти подією, коли компонент$i$ th переживає зазначений період часу. Тоді$R_i = P(E_i)$ визначається як надійність цього компонента. $R$Надійність повної системи - це функція надійності компонентів. Існує три основні конфігурації. Загальні системи можуть бути розкладені на підсистеми цих типів. Підсистеми стають компонентами більшої конфігурації. Три основні конфігурації:

Серія. Система працює, якщо працюють всі n компонентів:$R = \prod_{i = 1}^n R_i$

Паралельний. Система працює, якщо не всі компоненти виходять з ладу:$R = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - R_i)$

k п. Система працює, якщо працює$k$ більше компонентів. $R$можна обчислити за допомогою m-функції cn. Якщо ймовірності компонента однакові, ефективніше використовувати m-функцію cbinom (див. Проби Бернуллі та біноміальний розподіл нижче).

Рішення MATLAB. Помістіть надійність компонента в матрицю$RC = [R_1\ R_2\ \cdot\cdot\cdot \ R_n]$

Конфігурація серії

  >> R = prod(RC)     % prod is a built in MATLAB function

Паралельна конфігурація

  >> R = parallel(RC) % parallel is a user defined function

k або n Конфігурація

  >> R = ckn(RC,k)    % ckn is a user defined function (in file ckn.m).

Приклад$\PageIndex{3}$

Існує вісім компонентів, пронумерованих від 1 до 8. Компонент 1 послідовно з паралельним поєднанням компонентів 2 і 3 з подальшим поєднанням 3 з 5 компонентів 4 по 8 (схематичне зображення див. Рис. Ймовірності компонентів в порядку є

0,95 0,90 0,92 0,80 0,83 0,91 0,85 0,85

Друга і третя ймовірності - для паралельної пари, а останні п'ять ймовірностей - для комбінації 3 з 5.

>> RC = 0.01*[95 90 92 80 83 91 85 85];        % Component reliabilities
>> Ra = RC(1)*parallel(RC(2:3))*ckn(RC(4:8),3) % Solution
Ra = 0.9172

Малюнок 4.2.1. Схематичне зображення системи на прикладі

Приклад$\PageIndex{4}$

>> RC = 0.01*[95 90 92 80 83 91 85 85];    % Component reliabilities 1--8
>> Rb = prod(RC(1:2))*parallel([RC(3),ckn(RC(4:8),3)])     % Solution
Rb = 0.8532

Малюнок 4.2.2. Схематичне зображення системи на прикладі

Тест на незалежність

Важко подивитися на список мінтермальних ймовірностей і визначити, утворюють чи генеруючі події незалежний клас. M-функція imintest має як аргумент вектор мінтермальних ймовірностей. Він перевіряє можливий розмір, визначає кількість змінних і виконує перевірку на незалежність.

Приклад$\PageIndex{5}$

>> pm = 0.01*[15 5 2 18 25 5 18 12];   % An arbitrary class
>> disp(imintest(pm))
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
     1     1     1     0
     1     1     1     0

Приклад$\PageIndex{6}$

>> pm = [0.10 0.15 0.20 0.25 0.30]: %An improper number of probabilities
>> disp(imintest(pm))
The number of minterm probabilities incorrect

Приклад$\PageIndex{7}$

>> pm = minprob([0.5 0.3 0.7]);
>> disp(imintest(pm))
The class is independent

Імовірності булевих комбінацій

Як і в ненезалежному випадку, ми можемо використовувати мінтермальне розширення та мінтермальні ймовірності для обчислення ймовірностей булевих комбінацій подій. Однак часто ефективніше маніпулювати виразами для логічної комбінації, щоб бути неспільним об'єднанням перетинів.

Приклад$\PageIndex{8}$ A simple Boolean combination

Припустимо, клас {$A$$B$,,$C$} є незалежним, з відповідними ймовірностями 0,4, 0,6, 0,8. Визначте$P(A \cup BC)$. Довгострокова експансія - це

$A \cup BC = M(3, 4, 5, 6, 7)$, so that $P(A \cup BC) = p(3, 4, 5, 6, 7)$

Неважко використовувати правило продукту та теорему заміни для обчислення необхідних мінтермальних ймовірностей. Таким чином$p(3) = P(A^c) P(B) = P(C) = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.8 = 0.2280$. Аналогічно$p(4) = 0.0320$$p(5) = 0.1280$,$p(6) = 0.0480$,,$p(7) = 0.1920$. Бажана ймовірність - це сума цих, 0.6880.

Як альтернативний підхід пишемо

$A \cup BC = A \bigvee A^c BC$, щоб$P(A \cup BC) = 0.4 + 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.8 = 0.6880$

Значно менше арифметичних операцій потрібно в цьому розрахунку.

У великих задачах, або в ситуаціях, коли ймовірності декількох булевих комбінацій повинні бути визначені, може бути бажано обчислити всі мінтермальні ймовірності, а потім використовувати методи мінтерм-вектора, введені раніше для обчислення ймовірностей для різних булевих комбінацій. Як більший приклад, для якого обчислювальна допомога є дуже бажаною, знову розглянемо клас та ймовірності, використані в прикладі 4.2.2, вище.

Приклад$\PageIndex{9}$

Розглянемо ще раз незалежний клас {$E_1, E_2, \cdot\cdot\cdot E_{10}$} з відповідними ймовірностями [0.13 0.37 0.12 0.56 0.33 0.71 0.22 0.43 0.57 0.31]. Бажаємо розрахувати

$P(F) = P(E_1 \cup E_3 (E_4 \cup E_7^c) \cup E_2 (E_5^c \cup E_6 E_8) \cup E_9 E_{10}^c)$

Існують$2^{10} = 1024$ мінімальні ймовірності, які потрібно обчислити. Кожен вимагає множення десяти чисел. Рішення з MATLAB є простим, наступним чином:

>> P = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
>> minvec10
Vectors are A1 thru A10 and A1c thru A10c
They may be renamed, if desired.
>> F = (A1|(A3&(A4|A7c)))|(A2&(A5c|(A6&A8)))|(A9&A10c);
>> pm = minprob(P);
>> PF = F*pm'
PF =  0.6636

Виписання виразу для$F$ є нудним і схильним до помилок. Ми могли б спростити наступним чином:

>> A = A1|(A3&(A4|A7c));
>> B = A2&(A5c|(A6&A8));
>> C = A9&A10c;
>> F = A|B|C;               % This minterm vector is the same as for F above

Це розкладання проблеми вказує на те, що вона може бути вирішена як низка менших проблем. По-перше, нам потрібні деякі центральні факти про незалежність булевих комбінацій.

Незалежні логічні комбінації

Припустимо, що у нас є логічна комбінація подій у класі {$A_i: 1 \le i \le n$} та друга комбінація подій у класі {$B_j: 1 \le j \le m$}. Якщо комбінований клас {$A_i, B_j: 1 \le i \le n, 1 \le j \le m$} незалежний, ми очікуємо, що комбінації підкласів будуть незалежними. Важливо бачити, що це насправді є наслідком правила продукту, оскільки це ще одне свідчення того, що правило продукту охопило суть інтуїтивного поняття незалежності. У наступному обговоренні ми показуємо істотну структуру, яка забезпечує основу для наступної загальної пропозиції.

Пропозиція. Розглянемо$n$ окремі підкласи незалежного класу подій. Якщо для кожної$i$ події$A_i) is a Boolean (logical) combination of members of the \(i$ -й підклас, то клас {\ (A_1, A_2,\ cdot\ cdot\ cdot, a_n} є незалежним класом.

Перевірка цього далекосяжного результату спирається на мінтермальне розширення і два елементарних факти про неспільних підкласах незалежного класу. Ми констатуємо ці факти і розглядаємо в кожному конкретному випадку приклад, який демонструє істотну структуру. Формулювання загального результату, в кожному конкретному випадку, просто питання ретельного використання позначень.

Клас, кожен з членів якого є мінтерміном, утвореним членами окремого підкласу незалежного класу, сам по собі є незалежним класом.

Приклад$\PageIndex{10}$

Розглянемо незалежний клас {$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, B_4$}, з відповідними ймовірностями 0,4, 0,7, 0,3, 0,5, 0,8, 0,3, 0,6. Розглянемо$M_3$, minterm три для класу {$A_1, A_2, A_3$}, і$N_5$, minterm п'ять для класу {$B_1$,$B_2$,$B_3$,$B_4$}. Тоді

$P(M_3) = P(A_1^c A_2 A_3) = 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.126$і$P(N_5) = P(B_1^c B_2 B_3^c B_4) = 0.5 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6 = 0.168$

Також

$P(M_3 N_5) = P(A_1^c A_2 A_3 B_1^c B_2 B_3^c B_40 = 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6$

$=(0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.3) \cdot (0.5 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6) = P(M_3)P(N_5) = 0.0212$

Правило продукту показує бажану незалежність.

Знову ж таки, має бути очевидним, що результат тримає будь-яку кількість$A_i$ і$B_j$; і його можна розширити на будь-яку кількість різних підкласів незалежного класу.

Припустимо, кожен член класу може бути виражений у вигляді нез'єднаного союзу. Якщо кожен допоміжний клас, утворений шляхом взяття по одному члену з кожного з нероз'єднаних об'єднань, є незалежним класом, то початковий клас незалежний.

Приклад$\PageIndex{11}$

Припустимо$B = B_1 \bigvee B_2$,$A = A_1 \bigvee A_2 \bigvee A_3$ і, з {$A_i$,$A_j$} незалежним для кожної пари$i, j$. Припустимо

$P(A_1) = 0.3$,$P(A_2) = 0.4$,$P(A_3) = 0.1$,$P(B_1) = 0.2$,$P(B_2) = 0.5$

Ми хочемо показати, що пара {$A$,$B$} є незалежною; тобто правило продукту$P(AB) = P(A)P(B)$ тримається.

ОБЧИСЛЕННЯ

$P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 0.3 + 0.4 + 0.1 = 0.8$і$P(B) = P(B_1) + P(B_2) = 0.2 + 0.5 = 0.7$

Зараз

$AB = (A_1 \bigvee A_2 \bigvee A_3) (B_1 \bigvee B_2) = A_1B_1 \bigvee A_1 B_2 \bigvee A_2 B_1 \bigvee A_2 B_2 \bigvee A_3 B_1 \bigvee A_3 B_2$

За адитивності та попарної незалежності ми маємо

$P(AB) = P(A_1) P(B_1) + P(A_1) P(B_2) + P(A_2) P(B_1) + P(A_2)P(B_2) + P(A_3) P(B_1) + P(A_3) P(B_2)$
$= 0.3 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.5 + 0.4 \cdot 0.2 + 0.4 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.2 + 0.1 \cdot 0.5 = 0.56 = P(A) P(B)$

Правило добутку також може бути встановлено алгебраїчно з виразу for$P(AB)$, наступним чином:

$P(AB) = P(A_1)[P(B_1) + P(B_2)] + P(A_2) [P(B_1) + P(B_2)] + P(A_3) [P(B_1) + P(B_2)]$
$= [P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)][P(B_1) + P(B_2)] = P(A) P(B)$

Повинно бути зрозуміло, що тільки що проілюстрований візерунок можна розширити на загальний випадок. Якщо

$A = \bigvee_{i = 1}^{n} A_i$і$B = \bigvee_{j = 1}^{m} B_j$, з кожною парою {$A_i, B_j$} незалежною

то пара {$A, B$} незалежна. Крім того, ми можемо розширити це правило до потрійного {$A, B, C$}

$A = \bigvee_{i = 1}^{n} A_i$,$B = \bigvee_{j = 1}^{m} B_j$, і$C = \bigvee_{k = 1}^{r} C_k$, з кожним класом {$A_i, B_j, C_k$} незалежним

і аналогічно для будь-якого кінцевого числа таких комбінацій, так що друга пропозиція тримає.

Почніть з самостійного класу$n$ подій. Виберіть$m$ різні підкласи і сформуйте логічні комбінації для кожного з них. Використання мінтермального розширення для кожної з цих булевих комбінацій та двох лише проілюстрованих пропозицій показує, що клас логічних комбінацій є незалежним.

Для ілюстрації повернемося до Прикладу 4.2.9, який передбачає незалежний клас з десяти подій.

Приклад$\PageIndex{12}$ A hybrid approach

Розглянемо знову незалежний клас {$E_1, E_2, \cdot\cdot\cdot, E_{10}$} з відповідними ймовірностями {0,13 0,37 0,12 0,56 0,33 0,71 0,22 0,43 0,57 0,31}. Бажаємо розрахувати

$P(F) = P(E_1 \cup E_3 (E_4 \cup E_7^c) \cup E_2 (E_5^c \cup E_6 E_8) \cup E_9 E_10^c)$

У попередньому рішенні ми використовуємо minprob, щоб обчислити$2^{10}=1024$ мінтерми для всіх десяти$E_i$ і визначити мінтерм-вектор для$F$. Як ми відзначаємо в почерговому розширенні$F$,

$F= A \cup B \cup C$, коли$A = E_1 \cup E_3 (E_4 \cup E_7^c)$$B = E_2 (E_5^c \cup E_6 E_8)$$C = E_9 E_{10}^c$

Ми можемо розраховувати безпосередньо$P(C) = 0.57 \cdot 0.69 = 0.3933$. Тепер$A$ це логічна комбінація {$E_1, E_3, E_4, E_7$} і B є комбінацією {$E_2, E_5, E_6 E_8$}. За результатом незалежності булевих комбінацій клас {$A, B, C$} є незалежним. Використовуємо m-процедури для розрахунку$P(A)$ і$P(B)$. Потім ми маємо справу з незалежним класом {$A, B, C$} для отримання ймовірності$F$.

>> p  = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
>> pa = p([1 3 4 7]);     % Selection of probabilities for A
>> pb = p([2 5 6 8]);     % Selection of probabilities for B
>> pma = minprob(pa);     % Minterm probabilities for calculating P(A)
>> pmb = minprob(pb);     % Minterm probabilities for calculating P(B)
>> minvec4;
>> a = A|(B&(C|Dc));      % A corresponds to E1, B to E3, C to E4, D to E7
>> PA = a*pma'
PA = 0.2243
>> b = A&(Bc|(C&D));      % A corresponds to E2, B to E5, C to E6, D to E8
>> PB = b*pmb'
PB = 0.2852
>> PC = p(9)*(1 - p(10))
PC = 0.3933
>> pm = minprob([PA PB PC]);
>> minvec3                % The problem becomes a three variable problem
>> F = A|B|C;             % with {A,B,C} an independent class
>> PF = F*pm'
PF = 0.6636               % Agrees with the result of Example 4.2.7