4.4: Проблеми незалежності подій
- Page ID
- 98584
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Мінтерми, породжені класом,\(\{A, B, C\}\) мають мінтермальні ймовірності.
\(pm = [0.15\ 0.05\ 0.02\ 0.18\ 0.25\ 0.05\ 0.18\ 0.12]\)
Показати, що правило продукту тримає всі три, але клас не є незалежним.
- Відповідь
-
pm = [0.15 0.05 0.02 0.18 0.25 0.05 0.18 0.12]; y = imintest(pm) The class is NOT independent Minterms for which the product rule fails y = 1 1 1 0 1 1 1 0 % The product rule hold for M7 = ABC
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Клас {\(A, B, C, D\)} є незалежним, з відповідними ймовірностями 0,65, 0,37, 0,48, 0,63. Використовуйте m-функцію minprob для отримання мінімальних ймовірностей. Використовуйте m-функцію minmap, щоб помістити їх у таблицю 4 на 4, що відповідає конвенції minterm map, яку ми використовуємо.
- Відповідь
-
P = [0.65 0.37 0.48 0.63]; p = minmap(minprob(P)) p = 0.0424 0.0249 0.0788 0.0463 0.0722 0.0424 0.1342 0.0788 0.0392 0.0230 0.0727 0.0427 0.0667 0.0392 0.1238 0.0727
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Мінтермальні ймовірності для опитування програмного забезпечення у прикладі 2 з «Мінтермс»:
\(pm = [0\ 0.05\ 0.10\ 0.05\ 0.20\ 0.10\ 0.40\ 0.10]\)
Покажіть, чи є клас {\(A, B, C\)} незалежним: (1) ручним обчисленням та (2) за допомогою m-функції imintest.
- Відповідь
-
pm = [0 0.05 0.10 0.05 0.20 0.10 0.40 0.10]; y = imintest(pm) The class is NOT independent Minterms for which the product rule fails y = 1 1 1 1 % By hand check product rule for any minterm 1 1 1 1
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Мінтермальні ймовірності для комп'ютерного опитування в прикладі 3 з «Мінтермс» є
\(pm = [0.032\ 0.016\ 0.376\ 0.011\ 0.364\ 0.073\ 0.077\ 0.051]\)
Покажіть, чи є клас {\(A, B, C\)} незалежним: (1) ручним обчисленням та (2) за допомогою m-функції imintest.
- Відповідь
-
npr04_04 Minterm probabilities for Exercise 4.4.4. are in pm y = imintest(pm) The class is NOT independent Minterms for which the product rule fails y = 1 1 1 1 1 1 1 1
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Мінтермальні ймовірності\(p(0)\) через\(p(15)\) для класу {\(A, B, C, D\)}, по порядку,
\(pm = [0.084\ 0.196\ 0.036\ 0.084\ 0.085\ 0.196\ 0.035\ 0.084\ 0.021\ 0.049\ 0.009\ 0.021\ 0.020\ 0.049\ 0.010\ 0.021]\)
Використовуйте m-функцію imintest, щоб показати, чи є клас {\(A, B, C, D\)} незалежним.
- Відповідь
-
npr04_05 Minterm probabilities for Exercise 4.4.5. are in pm imintest(pm) The class is NOT independent Minterms for which the product rule fails ans = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Мінтермальні ймовірності\(p(0)\) через\(p(15)\) для опитування думок у прикладі 4 з «Мінтермс»
\(pm = [0.085\ 0.195\ 0.035\ 0.085\ 0.080\ 0.200\ 0.035\ 0.085\ 0.020\ 0.050\ 0.010\ 0.020\ 0.020\ 0.050\ 0.015\ 0.015]\)
показати, чи є клас {\(A, B, C, D\)} незалежним.
- Відповідь
-
npr04_06 Minterm probabilities for Exercise 4.4.6. are in pm y = imintest(pm) The class is NOT independent Minterms for which the product rule fails y = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Клас {\(A, B, C\)} є незалежним\(P(A) = 0.30\), з\(P(B^c C) = 0.32\), і\(P(AC) = 0.12\). Визначте мінімальні ймовірності.
- Відповідь
-
\(P(C) = P(AC)/P(A) = 0.40\)І\(P(B) = 1 - P(B^c C)/P(C) = 0.20\).
pm = minprob([0.3 0.2 0.4]) pm = 0.3360 0.2240 0.0840 0.0560 0.1440 0.0960 0.0360 0.0240
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Клас {\(A, B, C\)} є незалежним\(P(A \cup B) = 0.6\), з\(P(A \cup C) = 0.7\), і\(P(C) = 0.4\). Визначте ймовірність кожного мінтерміну.
- Відповідь
-
\(P(A^c C^c) = P(A^c) P(C^c) = 0.3\)має на увазі\(P(A^c) =0.3/0.6 = 0.5 = P(A)\).
\(P(A^c B^c) = P(A^c) P(B^c) = 0.4\)має на\(P(B^c) = 0.4/0.5 = 0.8\) увазі\(P(B) = 0.2\)
P = [0.5 0.2 0.4]; pm = minprob(P) pm = 0.2400 0.1600 0.0600 0.0400 0.2400 0.1600 0.0600 0.0400
Вправа\(\PageIndex{9}\)
Пара кубиків кидається п'ять разів. Яка ймовірність того, що перші два результати - «сімки», а інші ні?
- Відповідь
-
\(P = (1/6)^2 (5/6)^3 = 0.0161.\)
Вправа\(\PageIndex{10}\)
Девід, Мері, Джоан, Хел, Шерон і Уейн складають іспит у своєму курсі ймовірності. Їхні ймовірності зробити 90 відсотків і більше
0,72 0,83 0,75 0,92 0,65 0,79
відповідно. Припустимо, що це самостійні події. Яка ймовірність три або більше, чотири або більше, п'ять і більше складають оцінки не менше 90 відсотків?
- Відповідь
-
P = 0.01*[72 83 75 92 65 79]; y = ckn(P,[3 4 5]) y = 0.9780 0.8756 0.5967
Вправа\(\PageIndex{11}\)
Вибрано два незалежних випадкових числа від 0 до 1 (скажімо, генератором випадкових чисел на калькуляторі). Яка ймовірність того, що перша не перевищує 0,33, а інша - не менше 57?
- Відповідь
-
\(P = 0.33 \cdot (1 - 0.57) = 0.1419\)
Вправа\(\PageIndex{12}\)
Хелен задається питанням про те, як спланувати вихідні. Вона отримає лист з дому (з грошима) з ймовірністю 0,05. Існує ймовірність 0,85, що їй зателефонує Джим в SMU в Далласі. Існує також ймовірність 0,5, що Вільям попросить побачення. Яка ймовірність, що вона отримає гроші, а Джим не подзвонить або що обидва Джим подзвонить, а Вільям попросить побачення?
- Відповідь
-
\(A\)~ лист з грошима,\(B\) ~ дзвінок від Джима,\(C\) ~ Вільям попросити дати
P = 0.01*[5 85 50]; minvec3 Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc They may be renamed, if desired. pm = minprob(P); p = ((A&Bc)|(B&C))*pm' p = 0.4325
Вправа\(\PageIndex{13}\)
Баскетболіст бере десять штрафних кидків у змаганні. На своєму першому пострілі вона нервує і має ймовірність 0,3 зробити постріл. Вона починає осідати і ймовірності на наступних семи пострілах складають 0,5, 0,6 0,7, 0,8 0,8 і 0,85 відповідно. Потім вона розуміє, що її опонент працює добре, і стає напруженою, коли вона робить останні два постріли, з ймовірностями зменшуються до 0,75, 0,65. Припускаючи незалежність між пострілами, яка ймовірність вона зробить\(k\) або більше\(k = 2,3, \cdot \cdot \cdot 10\)?
- Відповідь
-
P = 0.01*[30 50 60 70 80 80 80 85 75 65]; k = 2:10; p = ckn(P,k) p = Columns 1 through 7 0.9999 0.9984 0.9882 0.9441 0.8192 0.5859 0.3043 Columns 8 through 9 0.0966 0.0134
Вправа\(\PageIndex{14}\)
У групі є\(M\) чоловіки і\(W\) жінки; м чоловіків і жінок є випускниками\(w\) коледжів. Особа вибирається навмання. Нехай\(A\) буде подія індивід є жінкою і\(B\) бути подією він або вона є випускником коледжу. За яких умов пара {\(A, B\)} незалежна?
- Відповідь
-
\(P(A|B) = w/(m + w) = W/(W + M) = P(A)\)
Вправа\(\PageIndex{15}\)
Розглянемо пару {\(A, B\)} подій. Нехай\(P(A) = p\),\(P(A^c) = q = 1 - p\),\(P(B|A) = p_1\), і\(P(B|A^c) = p_2\). За яких умов пара {\(A, B\)} незалежна?
- Відповідь
-
\(p_1 = P(B|A) = P(B|A^c) = p_2\)(Див. Таблицю еквівалентних умов).
Вправа\(\PageIndex{16}\)
Показати, що якщо подія\(A\) не залежить від себе, то\(P(A) = 0\) або\(P(A) = 1\). (Цей факт є ключовим для важливого «закону нуль-один».)
- Відповідь
-
\(P(A) = P(A \cap A) = P(A) P(A)\). \(x^2 = x\)Вимкніть\(x = 0\) або\(x = 1\).
Вправа\(\PageIndex{17}\)
Чи {\(A, B\)} незалежний і {\(B, C\)} незалежний означає, що {\(A, C\)} є незалежним? Обґрунтуйте свою відповідь.
- Відповідь
-
% No. Consider for example the following minterm probabilities: pm = [0.2 0.05 0.125 0.125 0.05 0.2 0.125 0.125]; minvec3 Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc They may be renamed, if desired. PA = A*pm' PA = 0.5000 PB = B*pm' PB = 0.5000 PC = C*pm' PC = 0.5000 PAB = (A&B)*pm' % Product rule holds PAB = 0.2500 PBC = (B&C)*pm' % Product rule holds PBC = 0.2500 PAC = (A&C)*pm' % Product rule fails PAC = 0.3250
Вправа\(\PageIndex{18}\)
Припустимо, подія\(A\) передбачає\(B\) (тобто\(A \subset B\)). Показати, що якщо пара {\(A, B\)} незалежна, то або\(P(A) = 0\) або\(P(B) = 1\).
- Відповідь
-
\(A \subset B\)має на увазі\(P(AB) = P(A)\); незалежність має на увазі\(P(AB) = P(A) P(B)\). \(P(A) = P(A) P(B)\)тільки якщо\(P(B) = 1\) або\(P(A) = 0\).
Вправа\(\PageIndex{19}\)
У компанії є три цільові групи, які намагаються вкластися в термін для нового пристрою. Групи працюють незалежно, з відповідними ймовірностями 0,8, 0,9, 0,75 завершення вчасно. Яка ймовірність того, що хоча б одна група завершиться вчасно? (Подумайте. Потім вирішуйте «від руки».)
- Відповідь
-
Принаймні один завершує, якщо не всі зазнають невдачі. \(P = 1 - 0.2 \cdot 0.1 \cdot 0.25 = 0.9950\)
Вправа\(\PageIndex{20}\)
Два продавця працюють по-різному. Роланд проводить більше часу зі своїми клієнтами, ніж Бетті, отже, має тенденцію бачити менше клієнтів. У даний день Роланд бачить п'ять клієнтів, а Бетті бачить шість. Клієнти приймають рішення самостійно. Якщо ймовірності успіху у клієнтів Roland складають 0,7, 0,8, 0,8, 0,6, 0,7, а для клієнтів Бетті - 0,6, 0,5, 0,4, 0,6, 0,6, 0,4, яка ймовірність того, що Роланд робить більше продажів, ніж Бетті? Яка ймовірність того, що Роланд зробить три і більше продажів? Яка ймовірність того, що Бетті зробить три і більше продажів?
- Відповідь
-
PR = 0.1*[7 8 8 6 7]; PB = 0.1*[6 5 4 6 6 4]; PR3 = ckn(PR,3) PR3 = 0.8662 PB3 = ckn(PB,3) PB3 = 0.6906 PRgB = ikn(PB,0:4)*ckn(PR,1:5)' PRgB = 0.5065
Вправа\(\PageIndex{21}\)
Дві команди студентів складають іспит з ймовірності. Вся група виконує індивідуально і самостійно. Команда 1 має п'ять членів, а команда 2 - шість членів. Вони мають такі індивідуальні ймовірності складання «А» на іспиті.
Команда 1:0.83 0.87 0.92 0.77 0.86 Команда 2:0.68 0.91 0.74 0.68 0.73 0.83
- Яка ймовірність того, що команда 1 зробить принаймні стільки ж А, скільки команда 2?
- Яка ймовірність, що команда 1 зробить більше А, ніж команда 2?
- Відповідь
-
P1 = 0.01*[83 87 92 77 86]; P2 = 0.01*[68 91 74 68 73 83]; P1geq = ikn(P2,0:5)*ckn(P1,0:5)' P1geq = 0.5527 P1g = ikn(P2,0:4)*ckn(P1,1:5)' P1g = 0.2561
Вправа\(\PageIndex{22}\)
Система має п'ять компонентів, які виходять з ладу самостійно. Їх відповідні надійності становлять 0,93, 0,91, 0,78, 0,88, 0,92. Агрегати 1 і 2 працюють як комбінація «серії». Агрегати 3, 4, 5 функціонують як два з трьох підсистем. Дві підсистеми працюють як паралельна комбінація, щоб зробити повну систему. Що таке надійність повної системи?
- Відповідь
-
R = 0.01*[93 91 78 88 92]; Ra = prod(R(1:2)) Ra = 0.8463 Rb = ckn(R(3:5),2) Rb = 0.9506 Rs = parallel([Ra Rb]) Rs = 0.9924
Вправа\(\PageIndex{23}\)
Система має вісім компонентів з відповідними ймовірностями
0,96 0,90 0,93 0,82 0,85 0,97 0,88 0,80
Одиниці 1 і 2 утворюють паралельну підсистему послідовно з блоком 3 і трьома з п'яти комбінацій блоків від 4 до 8. Яка надійність повної системи?
- Відповідь
-
R = 0.01*[96 90 93 82 85 97 88 80]; Ra = parallel(R(1:2)) Ra = 0.9960 Rb = ckn(R(4:8),3) Rb = 0.9821 Rs = prod([Ra R(3) Rb]) Rs = 0.9097
Вправа\(\PageIndex{24}\)
Як змінилася б надійність системи у Вправі 4.4.23. якби одиниці 1, 2 і 3 утворили паралельну комбінацію послідовно з трьома з п'яти комбінацій?
- Відповідь
-
Rc = parallel(R(1:3)) Rc = 0.9997 Rss = prod([Rb Rc]) Rss = 0.9818
Вправа\(\PageIndex{25}\)
Як змінилася б надійність системи у Вправі 4.4.23. якби надійність блоку 3 змінилася з 0,93 на 0,96? Яка зміна, якщо надійність блоку 2 була змінена з 0,90 до 0,95 (при незмінному блоці 3)?
- Відповідь
-
R1 = R; R1(3) =0.96; Ra = parallel(R1(1:2)) Ra = 0.9960 Rb = ckn(R1(4:8),3) Rb = 0.9821 Rs3 = prod([Ra R1(3) Rb]) Rs3 = 0.9390 R2 = R; R2(2) = 0.95; Ra = parallel(R2(1:2)) Ra = 0.9980 Rb = ckn(R2(4:8),3) Rb = 0.9821 Rs4 = prod([Ra R2(3) Rb]) Rs4 = 0.9115
Вправа\(\PageIndex{26}\)
Три чесних кубика розкочуються. Яка ймовірність хоча б одного покаже шістка?
- Відповідь
-
\(P = 1 - (5/6)^3 = 0.4213\)
Вправа\(\PageIndex{27}\)
Магазин хобі виявляє, що 35 відсотків його клієнтів купують електронну гру. Якщо клієнти купують самостійно, то яка ймовірність того, що хоча б один з наступних п'яти клієнтів придбає електронну гру?
- Відповідь
-
\(P = 1 - 0.65^5 = 0.8840\)
Вправа\(\PageIndex{28}\)
В умовах екстремального шуму ймовірність того, що певне повідомлення буде передано правильно, становить 0,1. Послідовні повідомлення діють незалежно від шуму. Припустимо, повідомлення передається десять разів. Яка ймовірність того, що вона передається правильно хоча б один раз?
- Відповідь
-
\(P = 1 - 0.9^{10} = 0.6513\)
Вправа\(\PageIndex{29}\)
Припустимо, клас\(\{A_i: 1 \le i \le n\}\) незалежний, з\(P(A_i) = p_i\),\(1 \le i \le n\). Яка ймовірність того, що хоча б одна з подій відбудеться? Яка ймовірність того, що жодного не відбувається?
- Відповідь
-
\(P1 = 1 -P0\),\(P0 = \prod_{i = 1}^{n} (1 - p_i)\)
Вправа\(\PageIndex{30}\)
У ста випадкових цифр, від 0 до 9, з кожною можливою цифрою однаково ймовірною на кожному виборі, яка ймовірність 8 або більше - це сімки?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (100, 0,1, 8) = 0,7939
Вправа\(\PageIndex{31}\)
Десять клієнтів заходять в магазин. Якщо ймовірність 0,15, що кожен покупець придбає телевізор, яка ймовірність, що магазин продасть три і більше?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (10, 0,15, 3) = 0,1798
Вправа\(\PageIndex{32}\)
Сім аналогічних агрегатів здаються на озброєння одночасно\(t = 0\). Агрегати виходять з ладу самостійно. Імовірність виходу з ладу будь-якого агрегату в перші 400 годин становить 0,18. Яка ймовірність того, що три і більше одиниць все ще працюють після закінчення 400 годин?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (7, 0.82, 3) = 0,9971
Вправа\(\PageIndex{33}\)
Комп'ютерна система має десять подібних модулів. Схема має резервування, що забезпечує роботу системи, якщо будь-які вісім або більше блоків працюють. Агрегати виходять з ладу самостійно, і ймовірність 0,93, що будь-який блок витримає між періодами технічного обслуговування. Яка ймовірність відсутності збою системи через цих агрегатів?
- Відповідь
-
\(P\)= кубіном (10,0,93,8) = 0,9717
Вправа\(\PageIndex{34}\)
Лише тридцять відсотків виробів з виробничої лінії відповідають жорстким вимогам до спеціальної роботи. Агрегати з лінії тестуються послідовно. За звичайними припущеннями для випробувань Бернуллі, яка ймовірність того, що три задовільні одиниці будуть знайдені у восьми або менше випробуваннях?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (8, 0,3, 3) = 0,4482
Вправа\(\PageIndex{35}\)
Імовірність 0,02, що вірус переживе застосування певної вакцини. Яка ймовірність того, що в партії з 500 вірусів п'ятнадцять і більше переживуть лікування?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (500, 0.02, 15) = 0.0814
Вправа\(\PageIndex{36}\)
У відвантаженні 20 000 одиниць, 400 браковані. Вони розкидані випадковим чином по всій партії. Припустимо, ймовірність дефекту однакова на кожному виборі. Яка ймовірність того, що
- Два або більше з'являться у випадковій вибірці 35?
- Не більше п'яти з'являться у випадковій вибірці 50?
- Відповідь
-
\(P\)1 = цином (35, 0,02, 2) = 0,1547.
\(P\)2 = 1 — біном (35, 0.02, 6) = 0.9999
Вправа\(\PageIndex{37}\)
Пристрій має ймовірність\(p\) успішної роботи на будь-якому випробуванні послідовно. Яка ймовірність\(p\) необхідна для забезпечення ймовірності успіхів на всіх перших чотирьох випробуваннях 0,85? З цим значенням\(p\), яка ймовірність чотирьох або більше успіхів у п'яти випробуваннях?
- Відповідь
-
\(p = 0.85^{1/4}\0, \(P\)біном (5\(p\), 4) = 0,9854.
Вправа\(\PageIndex{38}\)
Бланк опитування надсилається 100 особам. Якщо вони самостійно вирішують, відповідати чи ні, і кожен має ймовірність 1/4 відповіді, яка ймовірність\(k\) або більше відповідей, де\(k = 15, 20, 25, 30, 35, 40\)?
- Відповідь
-
P = cbinom(100,1/4,15:5:40) P = 0.9946 0.9005 0.5383 0.1495 0.0164 0.0007
Вправа\(\PageIndex{39}\)
Десять чисел виробляються генератором випадкових чисел. Яка ймовірність чотирьох і більше менше або дорівнює 0,63?
- Відповідь
-
\(P\)1 = біном (10, 0,63, 4) = 0,9644
Вправа\(\PageIndex{40}\)
Гравець кидає пару кубиків п'ять разів. Вона забиває «хіт» на будь-якому кидку, якщо вона отримує 6 або 7. Вона виграє, якщо вона забиває непарну кількість хітів у п'яти кидках. Яка ймовірність виграшу гравця на будь-якій послідовності з п'яти кидків? Припустимо, вона грає в гру 20 разів поспіль. Яка ймовірність того, що вона виграє хоча б 10 разів? Яка ймовірність того, що вона виграє більше половини часу?
- Відповідь
-
Кожен рулон дає удар з ймовірністю\(p = \dfrac{6}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{11}{36}\).
PW = sum(ibinom(5,11/36,[1 3 5])) PW = 0.4956 P2 = cbinom(20,PW,10) P2 = 0.5724 P3 = cbinom(20,PW,11) P3 = 0.3963
Вправа\(\PageIndex{41}\)
Еріка і Джон спина колесо, яке повертає вгору цілі числа від 0 до 9 з однаковою ймовірністю. Результати на різних випробуваннях незалежні. Кожен крутить колесо по 10 разів. Яка ймовірність того, що Еріка виявляється в сім разів більше, ніж Джон?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (10, 0,1, 0:9) * біном (10, 0,1, 1:10) '= 0,3437
Вправа\(\PageIndex{42}\)
Еріка і Джон грають в іншу гру з колесом, вище. Еріка набирає очко кожного разу, коли вона отримує ціле число 0, 2, 4, 6 або 8. Джон забиває очко кожен раз, коли він з'являється вгору 1, 2, 5 або 7. Якщо Еріка крутиться вісім разів; Джон крутиться 10 разів. Яка ймовірність того, що Джон робить більше очок, ніж Еріка?
- Відповідь
-
\(P\)= біном (8, 0,5, 0:8) * біном (10, 0.4, 1:9) '= 0.4030
Вправа\(\PageIndex{43}\)
Коробка містить 100 куль; 30 червоних, 40 синіх і 30 зелених. Марта та Алекс вибирають навмання, із заміною та змішуванням після кожного вибору. Алекс має успіх, якщо він вибирає червону кулю; Марта має успіх, якщо вона вибирає синю кулю. Алекс вибирає сім разів, а Марта вибирає п'ять разів. Яка ймовірність того, що Марта має більше успіхів, ніж Алекс?
- Відповідь
-
\(P\)= ібіном (7, 0,3, 0:4) * біном (5, 0.4, 1:5) '= 0.3613
Вправа\(\PageIndex{44}\)
Два гравці кидають ярмарок померти 30 разів кожен. Яка ймовірність того, що кожна скачує однакову кількість шісток?
- Відповідь
-
\(P\)= сума (ібіном (30, 1/6, 0:30) .^2) = 0,1386
Вправа\(\PageIndex{45}\)
Склад має запас\(n\) предметів певного виду,\(r\) з яких браковані. Два з пунктів вибираються навмання, без заміни. Яка ймовірність того, що хоча б один несправний? Покажіть, що для великої\(n\) кількості дуже близька до того, що для відбору з заміною, що відповідає двом випробуванням Бернуллі з\(p = r/n\) ймовірністю успіху на будь-якому випробуванні.
- Відповідь
-
\(P1 = \dfrac{r}{n} \cdot \dfrac{r - 1}{n - 1} + \dfrac{r}{n} \cdot \dfrac{n - r}{n - 1} + \dfrac{n - r}{n} \cdot \dfrac{r}{n - 1} = \dfrac{(2n - 1)r - r^2}{n(n - 1)}\)
\(P2 = 1 - (\dfrac{r}{n})^2 = \dfrac{2nr - r^2}{n^2}\)
Вправа\(\PageIndex{46}\)
Монетку перевертають неодноразово, поки не з'явиться голова. Покажіть, що з ймовірністю одна гра завершиться.
чайові:
Імовірність не закінчитися в\(n\) судових процесах є\(q^n\).
- Відповідь
-
Нехай\(N =\) подія ніколи не закінчується, а\(N_k =\) подія не закінчується в\(k\) п'єсах. Тоді\(N \subset N_k\) для всіх\(k\) має\(0 \le P(N) \le P(N_k) = 1/2^k\) на увазі для всіх\(k\), робимо висновок\(P(N) = 0\).
Вправа\(\PageIndex{47}\)
Дві особи грають гру послідовно, поки один з них не буде успішним або є десять невдалих п'єс. Нехай\(E_i\) буде подія успіху\(i\) на ігровому процесі. Припустимо, {\(E_i: 1 \le i\)} є незалежним класом з\(P(E_i) = p_1\) for i непарним і\(P(E_i) = p_2\) для\(i\) парних. Нехай\(A\) буде подія, в якій виграє перший гравець,\(B\) бути подією, яку виграє другий гравець, і\(C\) бути подією, яка не виграє.
- Експрес\(A\)\(B\), і з\(C\) точки зору\(E_i\).
- Визначити\(P(A)\)\(P(B)\),, і з\(P(C)\) точки зору\(p_1\),\(p_2\),\(q_1 = 1 - p_1\), і\(q_2 = 1 - p_2\). Отримати числові значення для випадку\(p_1 = 1/4\) і\(p_2 = 1/3\).
- Використовуйте відповідні факти про геометричні ряди, щоб показати, що\(P(A) = P(B)\) iff\(p_1 = p_2 / (1 + p_2)\).
- Припустимо\(p_2 = 0.5\). Використовуйте результат частини (c), щоб знайти значення\(p_1\) зробити,\(P(A) = P(B)\) а потім визначити\(P(A)\)\(P(B)\), і\(P(C)\).
- Відповідь
-
а\(C = \bigcap_{i = 1}^{10} E_i^c\).
\(A = E_1 \bigvee E_1^c E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9\)
\(B = E_1^c E_2 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9^c E_{10}\)
\(P(A) = p_1 [1 + q_1q_2 + (q_1q_2)^2 + (q_1 q_2)^3 + (q_1 q_2)^4] = p1 \dfrac{1 - (q_1 q_2)^5}{1 - q_1 q_2}\)
\(P(B) = q_1 p_2 \dfrac{1 - (q_1 q_2)^5}{1 - q_1 q_2} P(C) = (q_1q_2)^5\)
Для\(p_1 = 1/4\)\(p_2 = 1/3\), у нас є\(q_1 q_2 = 1/2\) і\(q_1 p_2 = 1/4\). В даному випадку
\(P(A) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{31}{16} = 31/64 = 0.4844 = P(B), P(C) = 1/32\)
Зауважте, що\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\).
c.\(P(A) = P(B)\)\(p_1 = q_1p_2 = (1 - p_1)p_2\) Відключити\(p_1 = p_2/(1 + p_2)\).
д.\(p_1 = 0.5/1.5 = 1/3\)
Вправа\(\PageIndex{48}\)
Три людини грають в гру послідовно, поки один не досягне своєї мети. Нехай\(E_i\) буде подія успіху на суді, і припустимо,\(\{E_i: 1 \le i\}\) це незалежний клас, з\(P(E_i) = p_1\)\(i = 1, 4, 7, \cdot \cdot \cdot, P(E_i) = p_2\) for\(i = 2, 5, 8, \cdot\cdot\cdot\), і\(P(E_i) = p_3\) для\(i = 3, 6, 9, \cdot\cdot\cdot\).\(i\) \(A, B, C\)Дозволяти відповідним подіям виграє перший, другий і третій гравець.
а. експрес\(A, B\),\(C\) і з точки зору\(E_i\).
б. визначити ймовірності в терміні\(p_1, p_2, p_3\), потім отримати числові значення у випадку\(p_1 = 1/4\)\(p_2 = 1/3\), і\(p_3 = 1/2\).
- Відповідь
-
а.\(A = E_1 \bigvee \bigvee_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{i = 1}^{3k} E_i^c E_{3k + 1}\)
\(B = E_1^c E_2 \bigvee \bigvee_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{i = 1}^{3k + 1} E_i^c E_{3k + 2}\)
\(C = E_1^c E_2^c E_3\bigvee \bigvee_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{i = 1}^{3k + 2} E_i^c E_{3k + 3}\)
б.\(P(A) = p_1 \sum_{k = 0}^{\infty} (q_1 q_2 q_3)^k = \dfrac{p_1}{1 - q_1q_2q_3}\)
\(P(B) = \dfrac{q_1 p_2}{1 - q_1 q_2 q_3}\)
\(P(C) = \dfrac{q_1q_2p_3}{1 - q_1 q_2 q_3}\)
Для\(p_1 = 1/4\),\(p_2 = 1/3\). \(p_3 = 1/2\),\(P(A) = P(B) = P(C) = 1/3\).
Вправа\(\PageIndex{49}\)
Яка ймовірність успіху на суді в послідовності Бернуллі\(n\) компонентних випробувань, враховуючи\(r\) успіхи?\(i\)
- Відповідь
-
\(P(A_{rn} E_i = pC(n - 1, r - 1) p^{r - 1} q^{n - r}\)і\(P(A_{rn}) = C(n, r) p^r q^{n - r}\).
Звідси\(P(E_i| A_A rn) = C(n - 1, r - 1) / C(n, r) = r/n\).
Вправа\(\PageIndex{50}\)
Пристрій має\(N\) подібні компоненти, які можуть вийти з ладу самостійно, з\(p\) ймовірністю виходу з ладу будь-якого компонента. Пристрій виходить з ладу при виході з ладу одного або декількох компонентів. У разі виходу пристрою з ладу комплектуючі перевіряються послідовно.
- Яка ймовірність того, що перший дефектний блок випробуваний є\(n\) той, з огляду на один або кілька компонентів вийшли з ладу?
- Яка ймовірність несправного блоку -\(n\) го, враховуючи, що саме один вийшов з ладу?
- Яка ймовірність того, що вийшло з ладу більше однієї одиниці, враховуючи, що першим несправним блоком є\(n\) й?
- Відповідь
-
Нехай\(A_1\) = подія один збій,\(B_1\) = подія однієї або декількох відмов,\(B_2\) = подія двох або більше відмов, і\(F_n\) = подія першого виявленого дефектного блоку -\(n\) го.
а.\(F_n \subset B_1\) має на увазі\(P(F_n|B_1) = P(F_n)/P(B_1) = \dfrac{q^{n - 1}p}{1 - q^N}\)
\(P(F_n|A_1) = \dfrac{P(F_n A_1}{P(A_1)} = \dfrac{q^{n - 1} p q^{N - n}}{Npq^{N -1}} = \dfrac{1}{N}\)
(див. Вправа)
б. оскільки ймовірність не все з\(n\) них добре є\(1 - q^{N - n}\).
\(P(B_2|F_n) = \dfrac{P(B_2F_n}{P(F_n)} = \dfrac{q^{n - 1} p (1 - Q^{N- 1}}{q^{n - 1}p} = 1 - q^{N-n}\)