4.3: Композитні випробування

Композитні випробування та події компонентів

Часто судовий розгляд є складовим. Тобто фундаментальний судовий розгляд завершується виконанням декількох кроків. У деяких випадках дії виконуються послідовно за часом. В інших ситуаціях порядок виконання не грає істотної ролі. Деякі приклади в одиниці умовної ймовірності включають такі багатоступінчасті випробування. Розглянуто більш систематично, як моделювати композитні випробування з точки зору подій, визначених компонентами випробувань. У наступному розділі ми ілюструємо цей підхід у важливому особливому випадку випробувань Бернуллі, в якому кожен результат призводить до успіху або невдачі досягнення певної умови.

Ми називаємо окремі кроки в складових пробних компонентах випробувань. Наприклад, в експерименті десять разів перевернути монету ми називаємо\(i\) той кидок як\(i\) пробну складову. У багатьох випадках випробування компонентів будуть виконуватися послідовно в часі. Але у нас може бути експеримент, в якому десять монет перевертаються одночасно. Для цілей аналізу ми накладаємо ordering— зазвичай шляхом присвоєння індексів. Питання в тому, як змоделювати ці повторення. Чи варто їх розглядати як десять випробувань одного простого експерименту? Виявляється, це не корисна рецептура. Складене випробування потрібно розглядати як єдиний результат— тобто представлене єдиною точкою в базовому просторі\(\omega\).

Деякі автори приділяють значну увагу природі базового простору, описуючи його як декартовий простір добутку, причому кожна координата відповідає одному з компонентів результату. Ми вважаємо, що непотрібним, а часто і заплутаним, в налаштуванні базової моделі. Ми просто припускаємо, що базовий простір має достатньо елементів, щоб розглянути кожен можливий результат. Для експерименту з гортання монетки десять разів має бути не менше\(2^{10} = 1024\) елементів, по одному на кожну можливу послідовність голів і хвостів.

Більше значення має опис різних подій, пов'язаних з експериментом. Почнемо з виявлення відповідної складової події. Компонентна подія визначається пропозиціями про результати відповідного компонентного дослідження.

Приклад\(\PageIndex{1}\) Component events

• У експерименті з гортання монет врахуйте випадок\(H_3\), коли третій кидок призводить до голови. Кожен результат\(\omega\) експерименту може бути представлений послідовністю\(H\) 's і'\(T\) s, що представляють орел і хвости. Подія\(H_3\) складається з тих результатів, представлених послідовностями з\(H\) третьою позицією. Припустимо,\(A\) це подія голови на третьому кидку і хвоста на дев'ятому кидку. Це складається з тих результатів, що відповідають послідовностям з\(H\) у третій позиції та\(T\) в дев'ятій позиції. Зверніть увагу, що ця подія є перехрестям\(H_3 H_9^c\).
• Дещо більш складний приклад виглядає наступним чином. Припустимо, є дві коробки, кожна з яких містить деякі червоні та деякі сині кулі. Експеримент полягає у випадковому виборі кульки з першого ящика, розміщення його у другому полі, а потім випадкового вибору з модифікованого вмісту другого ящика. Складене випробування складається з двох компонентів вибору. Ми можемо дозволити\(R_1\) бути подією вибору червоної кулі на першому компоненті пробної версії (з першого вікна), і\(R_2\) бути подією вибору червоної кулі на другому компоненті випробування. Чітко\(R_1\) і\(R_2\) є складовими подіями.

У першому прикладі доцільно припустити, що клас {\(H_i: 1 \le i \le 10\)} є незалежним, і ймовірність кожного компонента зазвичай приймається рівною 0,5. У другому випадку кілька більше задіяно присвоєння ймовірностей. З одного боку, необхідно знати номери червоних і синіх кульок в кожній коробці до того, як почнеться складний судовий процес. Коли вони відомі, звичних припущень і властивостей умовної ймовірності вистачає для присвоєння ймовірностей. Такий підхід використання компонентних подій використовується мовчазно в деяких прикладах в одиниці умовної ймовірності.

Коли визначено відповідні події компонентів, різні булеві комбінації з них можуть бути виражені у вигляді мінтермальних розширень.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Чотири людини роблять по одному пострілу в ціль. Нехай\(E_i\) буде подія стрілок потрапляє в цільовий центр.\(i\) \(A_3\)Нехай подія точно три потрапила в ціль. Тоді\(A_3\) є об'єднання тих мінтермів, породжених тим,\(E_i\) які мають три місця без доповнення.

\(A_3 = E_1 E_2 E_3 E_4^c \bigvee E_1 E_2 E_3^c E_4 \bigvee E_1 E_2^c E_3 E_4 \bigvee E_1^c E_2 E_3 E_4^c \)

Зазвичай ми могли б припустити\(E_i\) форму незалежного класу. Якщо кожен\(P(E_i)\) відомий, то всі мінтермальні ймовірності можна розрахувати легко.

Нижче наведено дещо складніший приклад цього типу.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Десять гоночних автомобілів беруть участь у випробуваннях часу, щоб визначити полюсні позиції для майбутньої гонки. Щоб кваліфікуватися, вони повинні розмістити середню швидкість 125 миль/год або більше на пробному запуску. Нехай\(E_i\) буде подією\(i\) тй автомобіль робить кваліфікаційну швидкість. Здається розумним припустити, що клас {\(E_i: 1 \le i \le 10\)} є незалежним. Якщо відповідні ймовірності успіху становлять 0,90, 0,88, 0,93, 0,77, 0,85, 0,96, 0,72, 0,83, 0,91, 0,84, яка ймовірність того, що\(k\) або більше буде кваліфікуватися (\(k = 6, 7, 8, 9, 10\))?

Рішення

\(A_k\)Нехай подія точно\(k\) кваліфікується. Клас {\(E_i: 1 \le i \le 10\)} генерує\(2^{10} = 1024\) мінтерми. Подія\(A_k\) є об'єднанням тих мінтермів, які мають точно\(k\) місця без доповнення. Подія\(B_k\), яка\(k\) або більше кваліфікується, дається

\(B_k = \bigvee_{r = k}^{n} A_r\)

Завдання обчислення та додавання мінтермальних ймовірностей вручну було б стомлюючим, щонайменше. Однак ми можемо використовувати функцію ckn, введену в блок на MATLAB і незалежних класах і проілюстровану в прикладі 4.4.2, щоб швидко і легко визначити бажані ймовірності.

>> P = [0.90, 0.88, 0.93, 0.77, 0.85, 0.96,0.72, 0.83, 0.91, 0.84];
>> k = 6:10;
>> PB = ckn(P,k)
PB =   0.9938    0.9628    0.8472    0.5756    0.2114

Розглянуто альтернативний підхід при лікуванні випадкових величин.

Проби Бернуллі та біноміальний розподіл

Багато композитних випробувань можуть бути описані як послідовність випробувань успішних невдач. Для кожного компонента випробування в послідовності результат є одним з двох видів. Один ми позначаємо успіх, а інший - невдачею. Приклади предостатньо: голови або решки в послідовності перегортання монет, прихильність або відхилення пропозиції у зразку опитування, а предмети з виробничої лінії відповідають або не відповідають специфікаціям у послідовності перевірок контролю якості. Щоб представити ситуацію, ми\(E_i\) дозволили бути подією успіху на\(i\) -му компонентному випробуванні в послідовності. Таким чином, подія невдачі\(i\) на випробуванні компонента є\(E_i^c\).

У багатьох випадках ми моделюємо послідовність як послідовність Бернуллі, в якій результати послідовних випробувань компонентів є незалежними і мають однакові ймовірності. Таким чином, формально послідовність випробувань успіху-невдачі є Бернуллі, якщо

Клас {\(E_i: 1 \le i\)} є незалежним.
Імовірність\(P(E_i) = p\), інваріантна с\(i\).

Моделювання випробувань Бернуллі

Часто бажано імітувати випробування Бернуллі. Перегортаючи монети, прокатки плашки з різною кількістю сторін (як використовується в певних іграх), або використовуючи блешні, це відносно легко здійснити фізично. Однак, якщо кількість випробувань велика - скажімо, кілька сотень - процес може зайняти багато часу. Також існують обмеження за значеннями\(p\), ймовірністю успіху. Ми маємо зручну двочастинну m-процедуру моделювання послідовностей Бернуллі. Перша частина, яка називається btdata, встановлює параметри. Другий, званий\(bt\), використовує генератор випадкових чисел в MATLAB для отримання послідовності нулів і одиниць (для невдач і успіхів). Повторні виклики bt створюють нові послідовності.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

>> btdata
Enter n, the number of trials  10
Enter p, the probability of success on each trial  0.37
 Call for bt
 >> bt
n = 10   p = 0.37     % n is kept small to save printout space
Frequency = 0.4
To view the sequence, call for SEQ
>> disp(SEQ)          % optional call for the sequence
     1     1               
     2     1               
     3     0               
     4     0               
     5     0              
     6     0
     7     0
     8     0
     9     1
    10     1

Повторні виклики bt дають нові послідовності з тими ж параметрами.

Щоб проілюструвати потужність програми, вона була використана для запуску 100 000 випробувань компонентів, з\(p\) ймовірністю успіху 0.37, як зазначено вище. Послідовні прогони дали відносні частоти 0.37001 і 0.36999. Якщо генератор випадкових чисел не «сіяний», щоб кожен раз робити одну і ту ж вихідну точку, послідовні прогони дадуть різні послідовності і, як правило, різні відносні частоти.

Біноміальний розподіл

Основна проблема послідовностей Бернуллі полягає у визначенні ймовірності\(k\) успіхів у випробуваннях\(n\) компонентів. Дозволяємо\(S_n\) бути кількістю успіхів у\(n\) випробуваннях. Це окремий випадок простої випадкової величини, який ми більш детально вивчимо в розділі, присвяченому «Випадкові величини і ймовірності».

Охарактеризуємо події\(A_{kn} = \{S_n = k\}\),\(0 \le k \le n\). Як зазначалося вище,\(A_{kn}\) подією саме\(k\) успіхів є об'єднання мінтермов, породжених {\(E_i: 1 \le i\)}, в якому є\(k\) успіхи (представлені\(k\) недоповненими\(E_i\)) і\(n - k\) невдачі (представлені\(n - k\) доповненими\(E_i^c\)). Проста комбінаторика показує, що є\(C(n,k)\) способи вибрати\(k\) місця, які слід не доповнювати. Отже, серед\(2^n\) мінтермів є місця,\(C(n, k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}\) які мають недоповнені\(k\) місця. Кожен такий термін має ймовірність\(p^k (1 - p)^{n -k}\). Оскільки мінтерми є взаємовиключними, їх ймовірності додають. Ми робимо висновок, що

\(P(S_n = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} = C(n, k) p^k q^{n - k}\)де\(q = 1 - p\) для\(0 \le k \le n\)

Ці ймовірності і відповідні значення утворюють розподіл для\(S_n\). Цей розподіл відомий як біноміальний розподіл, з параметрами (\(n, p\)). Ми скорочуємо це до біноміального (\(n, p\)), і часто пишемо\(S_n\) ~ binomial (\(n, p\)). Пов'язаний набір ймовірностей - це\(P(S_n \ge k) = P(B_{kn})\),\(0 \le k \le n\). Якщо\(n\) кількість випробувань компонентів невелика, прямий розрахунок ймовірностей легко з ручними калькуляторами.

Приклад\(\PageIndex{5}\) A reliability problem

Віддалений пристрій має п'ять подібних компонентів, які виходять з ладу самостійно, з однаковими ймовірностями. Система залишається працездатною, якщо три або більше компонентів працюють. Припустимо, кожен блок залишається активним протягом одного року з ймовірністю 0,8. Яка ймовірність того, що система так довго залишиться працездатною?

Рішення

\(P = C(5, 3) 0.8^3 \cdot 0.2^2 + C(5, 4) 0.8^4 \cdot 0.2 + C(5, 5) 0.8^5 = 10 \cdot 0.8^3 \cdot 0.2^2 + 5 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2 + 0.8^5 = 0.9421\)

Оскільки послідовності Бернуллі використовуються в багатьох практичних ситуаціях як моделі для випробувань успішного невдачі, ймовірності\(P(S_n = k)\) і\(P(S_n \ge k)\) були розраховані та табличні для різних комбінацій параметрів (\(n, p\)). Такі таблиці зустрічаються в більшості математичних довідників. Таблиці зазвичай\(P(S_n = k)\) дають таку назву, як біноміальний розподіл, окремі терміни. Таблиці\(P(S_n \ge k)\) мають таке позначення, як біноміальний розподіл, кумулятивні терміни. Зверніть увагу, однак, деякі таблиці для сукупних термінів дають\(P(S_n \le k)\). Слід уважно ставитися до уваги, яка конвенція використовується.

Приклад\(\PageIndex{6}\) A reliability problem

Розглянемо ще раз систему Прикладу 5, вище. Припустимо, ми намагаємося ввести таблицю сукупних термінів, Біноміальний розподіл в\(n = 5\)\(k = 3\), і\(p = 0.8\). Більшість таблиць не матимуть ймовірностей більше 0,5. У цьому випадку ми можемо працювати зі збоями. Ми просто міняємо роль\(E_i\) і\(E_i^c\). Таким чином, кількість відмов має біноміальний (\(n, p\)) розподіл. Зараз є три і більше успіхів, якщо немає трьох і більше невдач. Йдемо в таблицю сукупних термінів в\(n = 5\)\(k = 3\), і\(p = 0.2\). Імовірність входу 0.0579. Бажана ймовірність 1 - 0,0579 = 0,9421.

Взагалі, є\(k\) або більше успіхів у\(n\) випробуваннях, якщо немає\(n - k + 1\) або більше невдач.

m-функції для біноміальних ймовірностей

Хоча таблиці зручні для обчислення, вони накладають серйозні обмеження на наявні значення параметрів, і коли значення знаходять в таблиці, їх все одно необхідно ввести в задачу. На щастя, у нас є зручні m-функції для цих дистрибутивів. Коли MATLAB доступний, набагато простіше генерувати необхідні ймовірності, ніж шукати їх у таблиці, а цифри вводяться безпосередньо в робочу область MATLAB. І ми маємо велику свободу у виборі значень параметрів. Наприклад, ми можемо використовувати\(n\) тисячу або більше, тоді як таблиці зазвичай\(n\) обмежуються 20 або максимум 30. Дві m-функції для обчислення\(P(A_{kn}\) і\(P(B_{kn}\) є

\(P(A_{kn})\)обчислюється y = ibinom (n, p, k), де\(k\) рядок або стовпчик вектор цілих чисел між 0 і\(n\). В результаті\(y\) вийде вектор-рядок того ж розміру, що і\(k\).

\(P(B_{kn})\)обчислюється y = cbinom (n, p, k), де\(k\) є рядковим або стовпцевим вектором цілих чисел між 0 і\(n\). В результаті\(y\) вийде вектор-рядок того ж розміру, що і\(k\).

Приклад\(\PageIndex{7}\) Use of m-functions ibinom and cbinom

Якщо\(n = 10\) і\(p = 0.39\), визначте\(P(A_{kn})\) і\(P(B_{kn})\) за\(k = 3, 5, 6, 8\).

>> p = 0.39;
>> k = [3 5 6 8];
>> Pi = ibinom(10,p,k)  % individual probabilities
Pi = 0.2237    0.1920    0.1023    0.0090
>> Pc = cbinom(10,p,k)  % cumulative probabilities
Pc = 0.8160    0.3420    0.1500    0.0103

Зверніть увагу, що ми використовували ймовірність\(p = 0.39\). Цілком малоймовірно, що таблиця буде мати таку ймовірність. Хоча ми використовуємо тільки\(n = 10\), часто бажано використовувати значення в кілька сотень. M-функції добре працюють\(n\) до 1000 (і навіть вище для малих значень p або для значень, дуже близьких до одиниці). Значить, існує велика свобода від обмежень таблиць. Якщо потрібна таблиця з певним діапазоном значень, m-процедура, яка називається біноміальної, дає таку таблицю. Використання великих\(n\) ставить питання про кумуляцію помилок в сумах або виробах. Рівень точності в розрахунках MATLAB достатній, щоб такі похибки округлення були значно нижчими за практичні проблеми.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

>> binomial                              % call for procedure
Enter n, the number of trials  13
Enter p, the probability of success  0.413
Enter row vector k of success numbers  0:4
    n            p
   13.0000    0.4130
       k      P(X=k)    P(X>=k)
         0    0.0010    1.0000
    1.0000    0.0090    0.9990
    2.0000    0.0379    0.9900
    3.0000    0.0979    0.9521
    4.0000    0.1721    0.8542

Зауваження. Хоча binomial m-процедури корисна для побудови таблиці, вона зазвичай не настільки зручна для задач, як m-функції ibinom або cbinom. Останні обчислюють потрібні значення і поміщають їх безпосередньо в робочу область MATLAB.

Спільні випробування Бернуллі

Випробування Бернуллі можуть бути використані для моделювання різноманітних практичних завдань. Одним з таких є порівняння результатів двох послідовностей випробувань Бернуллі, проведених самостійно. Наступний простий приклад ілюструє використання MATLAB для цього.

Приклад\(\PageIndex{9}\) A joint Bernoulli trial

Білл і Мері беруть по десять баскетбольних штрафних кидків кожен. Ми припускаємо, що дві послідовності випробувань незалежні один від одного, і кожна є послідовністю Бернуллі.

Мері: Має ймовірність 0.80 успіху на кожному дослідженні.

Білл: Має ймовірність 0.85 успіху на кожному випробуванні.

Яка ймовірність того, що Мері робить більше штрафних кидків, ніж Білл?

Рішення

У нас є дві послідовності Бернуллі, що працюють незалежно.

Мері:\(n = 10\),\(p = 0.80\)

Білл:\(n = 10\),\(p = 0.85\)

Нехай

\(M\)бути подією Мері виграє

\(M_k\)бути подією Мері робить\(k\) або більше штрафних кидків.

\(B_j\)бути подією, законопроект робить саме\(j\) відкидання

Тоді Мері виграє, якщо Білл не робить нічого і Мері робить один або більше, або Білл робить один і Мері робить два або більше, і т.д.

\(M = B_0 M_1 \bigvee B_1 M_2 \bigvee \cdot \cdot \cdot \bigvee B_9 M_{10}\)

і

\(P(M) = P(B_0) P(M_1) + P(B_1) P(M_2) + \cdot \cdot \cdot + P(B_9) P(M_{10})\)

Ми використовуємо cbinom для обчислення кумулятивних ймовірностей для Марії та ібіном для отримання індивідуальних ймовірностей для Білла.

>> pm = cbinom(10,0.8,1:10);     % cumulative probabilities for Mary
>> pb = ibinom(10,0.85,0:9);     % individual probabilities for Bill
>> D = [pm; pb]'                 % display: pm in the first column
   D =                           % pb in the second column
    1.0000    0.0000
    1.0000    0.0000
    0.9999    0.0000             
    0.9991    0.0001
    0.9936    0.0012
    0.9672    0.0085
    0.8791    0.0401
    0.6778    0.1298
    0.3758    0.2759
    0.1074    0.3474

Щоб знайти ймовірність того,\(P(M)\) що Марія виграє, нам потрібно помножити кожну з цих пар разом, потім підсумувати. Це просто крапка або скалярний добуток, який MATLAB обчислює за допомогою команди\(pm * pb'\). Ми можемо об'єднати генерацію ймовірностей та множення в одній команді:

>> P = cbinom(10,0.8,1:10)*ibinom(10,0.85,0:9)'
   P = 0.273

Легкість і простота розрахунку за допомогою MATLAB дозволяють розглянути вплив різних значень n. Чи існує оптимальна кількість кидків для Мері? Чому повинен бути оптимальний?

Почергове лікування цієї задачі в одиниці незалежних випадкових величин використовує методи незалежних простих випадкових величин.

Альтернативні реалізації MATLAB

Альтернативні реалізації функцій для обчислень ймовірності знаходяться в Статистичному пакеті, доступному у вигляді додаткового пакету. Ми використали нашу рецептуру, тому потрібен лише базовий пакет MATLAB.