4.1: Незалежність подій

Історично поняття незалежності відігравало помітну роль у ймовірності. Якщо події утворюють незалежний клас, для визначення ймовірностей булевих комбінацій потрібно набагато менше інформації, а обчислення відповідно легше. У цій одиниці ми даємо точне формулювання поняття незалежності в ймовірності сенсі. Як і у випадку з усіма поняттями, які намагаються включити інтуїтивні поняття, наслідки повинні бути оцінені для доказів того, що ці ідеї були успішно захоплені.

Незалежність як відсутність кондиціонування

Є багато ситуацій, в яких ми маємо «оперативну незалежність».

• Припустимо, колода гральних карт перетасовується і карта вибирається випадковим чином, а потім замінюється перестановкою. Друга карта, вибрана під час повторної спроби, не повинна впливати на перший вибір.
• Якщо клієнти приходять в добре укомплектований магазин в різний час, кожен не знає про вибір, зроблений іншими, товар, придбаний одним, не повинен впливати на вибір, зроблений іншим.
• Якщо двоє учнів здають іспити на різних курсах, оцінка, яка одна робить, не повинна впливати на оцінку, зроблену іншим.

Список прикладів можна було б продовжити на невизначений термін. У кожному конкретному випадку слід очікувати моделювання подій як незалежних певним чином. Як ми повинні включити концепцію в нашу розвиваючу модель ймовірності?

Ми беремо нашу підказку з наведених вище прикладів. Розглядаються пари подій. Описана «оперативна незалежність» вказує на те, що знання про те, що одна з подій сталася, не впливає на ймовірність того, що відбудеться інше. Для пари подій {\(A\),\(B\)}, це умова

\(P(A|B) = P(A)\)

Виникнення події\(A\) не «обумовлено» виникненням події\(B\). Наше основне тлумачення полягає в тому, що\(P(A)\) вказує на ймовірність виникнення події\(A\). Розвиток умовної ймовірності в модулі Умовна ймовірність, призводить до тлумачення\(P(A|B)\) як ймовірності, що\(A\) виникне на випробуванні, враховуючи знання, що\(B\) як і сталося. Якщо такі знання виникнення\(B\) не впливають на ймовірність виникнення\(A\), ми повинні бути схильні думати про події\(A\) і\(B\) як про незалежність в ймовірному сенсі.

Незалежні пари

Беремо нашу підказку з умови\(P(A|B) = P(A)\). Властивість (CP4) для умовної ймовірності (у випадку рівності) дає шістнадцять еквівалентних умов наступним чином.

\(P(A|B) = P(A)\)	\(P(B|A) = P(B)\)	\(P(AB) = P(A) P(B)\)
\(P(A|B^c) = P(A)\)	\(P(B^c|A) = P(B^c)\)	\(P(AB^c) = P(A) P(B^c)\)
\(P(A^c|B) = P(A^c)\)	\(P(B|A^c) = P(B)\)	\(P(A^c B) = P(A^c)P(B)\)
\(P(A^c|B^c) = P(A^c)\)	\(P(B^c|A^c) = P(B^c)\)	\(P(A^cB^c) = P(A^c) P(B^c)\)

\(P(A|B) = P(A|B^c)\)

\(P(A^c|B) = P(A^c|B^c)\)

\(P(B|A) = P(B|A^c)\)

\(P(B^c|A) = P(B^c|A^c)\)

Ці умови рівнозначні в тому сенсі, що якщо хтось тримає, то все тримається. Ми можемо обрати будь-яку з них як визначальну умову, а інші розглядати як еквіваленти визначальної умови. Через простоту та симетрію стосовно двох подій ми приймаємо правило продукту у верхньому правому куті столу.

Визначення. Пара {\(A\),\(B\)} подій вважається (стохастично) незалежною, якщо дотримується таке правило продукту:

\(P(AB) = P(A) P(B)\)

Зауваження. Хоча правило продукту прийняте за основу для визначення, у багатьох додатках припущення, що призводять до незалежності, можуть бути сформульовані більш природно з точки зору тих чи інших еквівалентних виразів. Ми вільні робити це, оскільки ефект припускає будь-яку одну умову - припустити їх усіх.

Еквіваленти в правій колонці верхньої частини таблиці можуть бути виражені як правило заміни, яке ми збільшуємо і розширюємо нижче:

Якщо пара {\(A\),\(B\)} незалежна, так і будь-яка пара отримана шляхом прийняття доповнення будь-якої або обох подій.

Відзначимо два відповідних факту

• Припустимо, подія\(N\) має нуль ймовірності (це нульова подія). Тоді для будь-якої події\(A\) ми маємо\(0 \le P(AN) \le P(N) = 0 = P(A)P(N)\), щоб правило продукту трималося. Таким чином {\(N\),\(A\)} є незалежною парою для будь-якої події\(A\).
• Якщо подія\(S\) має ймовірність одну (майже впевнена подія), то її доповненням\(S^c\) є нульова подія. За правилом заміни і тільки що встановленим фактом,\({S^c\),\(A\)} є незалежним, тому {\(S\),\(A\)} є незалежним.

Таким чином, правило заміни може бути розширено на:

Правило заміни

Якщо пара {\(A\),\(B\)} незалежна, так і будь-яка пара отримана шляхом заміни будь-якої або обох подій їх доповненнями або нульовою подією або майже впевненою подією.

ОБЕРЕЖНІСТЬ

1. Якщо хоча б одна з подій не має ймовірності один або нуль, пара не може бути як незалежною, так і взаємовиключною. Інтуїтивно, якщо пара взаємовиключна, то виникнення одного вимагає, щоб інший не відбувався. Формально: Припустимо\(0 < P(A) < 1\) і\(0 < P(B) < 1\). {\(A\),\(B\)} взаємовиключні має на увазі\(P(AB) = P(\emptyset) = 0 \ne P(A) P(B)\). {\(A\),\(B\)} незалежний має на увазі\(P(AB) = P(A) P(B) > 0 = P(\emptyset)\)
2. Незалежність не є надбанням подій. Дві невзаємовиключні події можуть бути незалежними за однією мірою ймовірності, але не можуть бути незалежними для іншої. Це можна побачити, розглядаючи різні розподіли ймовірностей на діаграмі Венна або карті мінтерма.

самостійні заняття

Розширення поняття незалежності на довільний клас подій використовує правило продукту.

Визначення. Клас подій, як кажуть, є (стохастично) незалежним, якщо правило добутку тримає для кожного кінцевого підкласу з двох або більше подій у класі.

Клас {\(A\),\(B\),\(C\)} є незалежним, якщо всі чотири з наведених нижче правил продукту

\(P(AB) = P(A) P(B)\)\(P(AC) = P(A) P(C)\)\(P(BC) = P(B) P(C)\)\(P(ABC) = P(A) P(B) P(C)\)

Якщо будь-яке одне або декілька з цих виразів продукту не вдається, клас не є незалежним. Аналогічна ситуація стосується класу з чотирьох подій: правило продукту має триматися для кожної пари, для кожної трійки, і для всього класу. Зверніть увагу, що ми говоримо «не незалежний» або «незалежний», а не залежний. Причина цього стає зрозумілішою при роботі з незалежними випадковими величинами.

Розглянуто класичні приклади несамостійних класів.

ДЕЯКІ НЕНЕЗАЛЕЖНІ КЛАСИ

1. Припустимо\(A_1\)\(A_2\), {\(A_3\),,,\(A_4\)} є розділом, з кожним\(P(A_i) = 1/4\). Нехай
   
   \(A = A_1 \bigvee A_2 B = A_1 \bigvee A_3 C = A_1 \bigvee A_4\)
   
   Тоді клас {\(A\),\(B\),\(C\)} має\(P(A) = P(B) = P(C) = 1/2\) і є попарно незалежним, але не незалежним, оскільки\(P(AB) = P(A_1) = 1/4 = P(A) P(B)\) і аналогічно для інших пар, але\(P(ABC) = P(A_1) = 1/4 \ne P(A)P(B)P(C)\)
2. Розглянемо клас {\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)} з\(AD = BD = \emptyset\)\(C = AB \bigvee D\),\(P(A) = P(B) = 1/4\),\(P(AB) = 1/64\), і\(P(D) = 15/64\). Використання minterm карти показує, що ці завдання є послідовними. Елементарні обчислення показують, що правило добутку застосовується до класу {\(A\)\(B\),\(C\)}, але жодна з цих трьох подій не утворює незалежну пару.

Як зазначалося вище, правило заміни тримається для будь-якої пари подій. Легко показати, хоча і дещо громіздко виписати, що якщо правило дотримується будь-якої\(k\) кінцевої кількості подій в незалежному класі, воно тримає для будь-якого\(k + 1\) з них. За принципом математичної індукції правило має триматися для будь-якого скінченного підкласу. Ми можемо продовжити правило заміни наступним чином.

Загальне правило заміни

Якщо клас є незалежним, ми можемо замінити будь-який з множин його доповненням, подією null або майже впевненою подією, і отриманий клас також незалежний. Такі заміни можуть проводитися для будь-якої кількості наборів у класі. Одним з безпосередніх і важливих наслідків є наступне.

Мінтермальні ймовірності

Якщо {\(A_i: 1 \le i \le n\)} є незалежним класом і відомий клас {\(P(A_i):1 \le i \le n\)} окремих ймовірностей, то можна обчислити ймовірність кожного мінтерма.

Мінтермальні ймовірності для незалежного класу

Припустимо, клас {\(A\)\(B\),,\(C\)} є незалежним з відповідними ймовірностями\(P(A) = 0.3\)\(P(B) = 0.6\), і\(P(C) = 0.5\). Тоді

{\(A^c\),\(B^c\),\(C^c\)} є незалежним і\(P(M_0） = P(A^c)P(B^c)P(C^c) = 0.14\)

{\(A^c\),\(B^c\),\(C\)} є незалежним і\(P(M_1) = P(A^c)P(B^c)P(C) = 0.14\)

Аналогічно ймовірності інших шести мінтермінів, по порядку, складають 0,21, 0,21, 0,06, 0,06, 0,09 і 0,09. За допомогою цих мінтермальних ймовірностей ймовірність будь-якої булевої комбінації\(A\)\(B\), і\(C\) може бути розрахована

Загалом, необхідно вказати вісім відповідних ймовірностей для визначення мінтермальних ймовірностей для класу з трьох подій. У самостійному випадку достатньо трьох відповідних ймовірностей.

Три ймовірності дають мінтермальні ймовірності

Припустимо\(A\)\(B\), {,,\(C\)} є незалежним з\(P(A \cup BC) = 0.51\)\(P(AC^c) = 0.15\), і\(P(A) = 0.30\). Потім\(P(C^c) = 0.15/0.3 = 0.5 = P(C)\) і

\(P(A) + P(A^c) P(B) P(C) = 0.51\)щоб\(P(B) = \dfrac{0.51 - 0.30}{0.7 \times 0.5} = 0.6\)

З кожною з основних ймовірностей ми можемо обчислити мінтермальні ймовірності, звідси ймовірність будь-якої булевої комбінації подій.

MATLAB і правило продукту

Часто ми маємо досить великий незалежний клас {\(E_1\),\(E_2\),\(\cdot \cdot\ cdot\),\(E_n\)}, що бажано використовувати MATLAB (або якусь іншу обчислювальну допомогу) для обчислення ймовірностей різних «і» комбінацій (перетинів) подій або їх доповнення. Припустимо, що незалежний клас {\(E_1\)\(E_2\)\(\cdot \cdot\ cdot\),,,\(E_{10}\)} має відповідні ймовірності

0,13 0,37 0,12 0,56 0,33 0,71 0,22 0,43 0,57 0,31

Бажано обчислити (а)\(P(E_1 E_2 E_3^c E_4 E_5^c E_6^c E_7)\), і (б)\(P(E_1^c E_2 E_3^c E_4 E_5^c E_6^c E_7 E_8 E_9^c E_{10})\).

Ми можемо використовувати функцію MATLAB prod і схему індексації матриці.

>> p = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
>> q = 1-p;
>> % First case
>> e = [1 2 4 7];                  % Uncomplemented positions
>> f = [3 5 6];                    % Complemented positions
>> P = prod(p(e))*prod(q(f))       % p(e) probs of uncomplemented factors
P = 0.0010                         % q(f) probs of complemented factors
>> % Case of uncomplemented in even positions; complemented in odd positions
>> g = find(rem(1:10,2) == 0);     % The even positions
>> h = find(rem(1:10,2) ~= 0);     % The odd positions
>> P = prod(p(g))*prod(q(h))
P = 0.0034

У блоці на MATLAB та Independent Class ми розширюємо використання MATLAB в розрахунках для таких класів.