4.7: Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона популярний для моделювання кількості разів, коли подія відбувається в інтервалі часу або простору. Це дискретний розподіл ймовірностей, який виражає ймовірність заданої кількості подій, що відбуваються за фіксований проміжок часу та/або простору, якщо ці події відбуваються з відомою середньою швидкістю і незалежно від часу з моменту останньої події.

дві основні характеристики експерименту Пуассона

1. Розподіл ймовірності Пуассона дає ймовірність ряду подій, що відбуваються за фіксований проміжок часу або простору, якщо ці події відбуваються з відомою середньою швидкістю і незалежно від часу з моменту останньої події. Наприклад, редактор книг може зацікавити кількість слів, написаних неправильно в певній книзі. Можливо, в середньому є п'ять слів, написаних неправильно на 100 сторінках. Інтервал становить 100 сторінок.
2. Розподіл Пуассона може бути використаний для наближення біноміалу, якщо ймовірність успіху «мала» (наприклад, 0,01), а кількість випробувань «велика» (наприклад, 1000). Ви переконаєтеся в стосунках в домашніх вправах. $n$це кількість випробувань, і$p$ є ймовірність «успіху».

Випадкова$X =$ величина - кількість входжень в цікавому інтервалі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Середня кількість батонів хліба, поставлених на полицю в хлібопекарню за півгодинний період, становить 12. Цікаво кількість батонів хліба, поставлених на полицю за п'ять хвилин. Цікавий часовий проміжок - п'ять хвилин. Яка ймовірність того, що кількість батонів, відібраних випадковим чином, поставлених на полицю за п'ять хвилин, дорівнює трьом?

Рішення

Нехай$X =$ кількість батонів хліба поставити на полицю через п'ять хвилин. Якщо середня кількість батонів, поставлених на полицю за 30 хвилин (півгодини), дорівнює 12, то середня кількість батонів, поставлених на полицю за п'ять хвилин, - це$\left(\frac{5}{30}\right)(12) = 2$ батони хліба.

Питання ймовірності просить вас знайти$P(x = 3)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Середня кількість виловленої риби за годину становить вісім. Цікаво кількість виловленої риби за 15 хвилин. Часовий інтервал цікавить - 15 хвилин. Яка середня кількість виловленої риби за 15 хвилин?

Відповідь

$\left(\frac{15}{60}\right)(8) = 2$риба

Приклад$\PageIndex{2}$

Банк розраховує отримувати в середньому шість поганих чеків на день. Яка ймовірність того, що банк отримає менше п'яти поганих чеків в будь-який день? Відсоток становить кількість чеків, які банк отримує за один день, тому часовий проміжок відсотків становить один день. Нехай$X =$ кількість поганих чеків банк отримує за один день. Якщо банк розраховує отримувати шість поганих чеків в день, то в середньому шість чеків на день. Напишіть математичне твердження для питання ймовірності.

Відповідь

$P(x < 5)$

Вправа$\PageIndex{2}$

Магазин електроніки очікує мати в середньому десять прибутків на день. Менеджер хоче знати ймовірність того, що магазин отримає менше восьми повернень в будь-який день. Викладіть питання ймовірності математично.

Відповідь

$P(x < 8)$

Приклад$\PageIndex{3}$

Ви помічаєте, що репортер новин каже «uh», в середньому, два рази за трансляцію. Яка ймовірність того, що репортер новин каже «ух» більше двох разів за трансляцію. Це проблема Пуассона, тому що вам цікаво знати кількість разів, коли репортер новин говорить «uh» під час трансляції.

1. Який інтервал цікавить?
2. Яка середня кількість разів, коли репортер новин говорить «ух» під час однієї трансляції?
3. Нехай$X =$ ____________. Які значення приймає X?
4. Питання ймовірності$P($ ______$)$.

Рішення

1. одна трансляція
2. 2
3. Нехай$X =$ кількість разів репортер новин говорить «ух» під час однієї трансляції. $$x = 0, 1, 2, 3, \dotsc$$
4. $P(x > 2)$

Вправа$\PageIndex{3}$

Відділення швидкої допомоги в конкретній лікарні отримує в середньому п'ять пацієнтів на годину. Лікар хоче знати ймовірність того, що ER отримує більше п'яти пацієнтів на годину. Наведіть причину, чому це буде розподіл Пуассона.

Відповідь

Ця проблема хоче знайти ймовірність подій, що відбуваються в фіксований проміжок часу з відомою середньою швидкістю. Події незалежні.

Позначення для функції розподілу ймовірностей$P =$ Пуассона: Пуассона

$$X \sim P(\mu)$$

Прочитайте це як "$X$є випадковою величиною з розподілом Пуассона.» Параметр є$\mu$ (або$\lambda$);$\mu$ (або$\lambda) =$ середнє значення для цікавить інтервалу.

Приклад$\PageIndex{4}$

Автовідповідач Лії отримує близько шести телефонних дзвінків між 8 ранку та 10 ранку Яка ймовірність того, що Лія отримає більше одного дзвінка протягом наступних 15 хвилин?

Рішення

Нехай$X$ = кількість дзвінків, які Лія отримує за 15 хвилин. (Інтервал інтересу становить 15 хвилин або$\frac{1}{4}$ годину.)

$$x = 0, 1, 2, 3, \dotsc$$

Якщо Лія отримує, в середньому, шість телефонних дзвінків за дві години, а є вісім 15-хвилинних інтервалів в дві години, то Лія отримує

$\left(\frac{1}{8}\right)(6) = 0.75$дзвінки за 15 хвилин, в середньому. Отже,$\mu = 0.75$ для цієї проблеми.

$X \sim P(0.75)$

Знайти$P(x > 1)$. $P(x > 1) = 0.1734$(калькулятор або комп'ютер)

• Натисніть 1 — а потім натисніть ^2-й DISTR.
• Стрілка вниз до poisoncdf. Натисніть клавішу ENTER.
• Введіть (.75,1).
• Результат є$P(x > 1) = 0.1734$.

Калькулятори TI використовують$\lambda$ (лямбда) для середнього.

Імовірність того, що Лія отримає більше одного телефонного дзвінка протягом наступних 15 хвилин, становить близько 0,1734:

$P(x > 1) = 1 − \text{poissoncdf}(0.75, 1)$.

Графік$X \sim P(0.75)$ - це:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Вісь y містить ймовірність того,$x$ де$X =$ кількість викликів за 15 хвилин.

Вправа$\PageIndex{4}$

Центр обслуговування клієнтів отримує близько десяти електронних листів кожні півгодини. Яка ймовірність того, що центр обслуговування клієнтів отримає більше чотирьох електронних листів протягом наступних шести хвилин? Скористайтеся калькулятором TI-83+ або TI-84, щоб знайти відповідь.

Відповідь

$P(x > 4) = 0.0527$

Приклад$\PageIndex{5}$

За словами Байдіна, компанії з управління електронною поштою, користувач електронної пошти отримує, в середньому, 147 електронних листів на день. Дозвольте$X =$ кількість електронних листів, які користувач електронної пошти отримує за день. Дискретна випадкова величина$X$ приймає значення$x = 0, 1, 2 \dotsc$. Випадкова величина$X$ має розподіл Пуассона:$X \sim P(147)$. Середнє значення - 147 електронних листів.

1. Яка ймовірність того, що користувач електронної пошти отримує рівно 160 листів на день?
2. Яка ймовірність того, що користувач електронної пошти отримує не більше 160 електронних листів на день?
3. Що таке стандартне відхилення?

Рішення

1. $P(x = 160) = \text{poissonpdf}(147, 160) \approx 0.0180$
2. $P(x \leq 160) = \text{poissoncdf}(147, 160) \approx 0.8666$
3. Стандартне відхилення$= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{147} \approx 12.1244$

Вправа$\PageIndex{5}$

Згідно з недавнім опитуванням Інтернет-проекту Pew, дівчата у віці від 14 до 17 років щодня надсилають в середньому 187 текстових повідомлень. Нехай$X =$ кількість текстів, які відправляє дівчина у віці від 14 до 17 років в день. Дискретна випадкова величина$X$ приймає значення$x = 0, 1, 2 \dotsc$. Випадкова величина$X$ має розподіл Пуассона:$X \sim P(187)$. Середнє значення становить 187 текстових повідомлень.

1. Яка ймовірність того, що дівчинка-підліток надсилає рівно 175 текстів в день?
2. Яка ймовірність того, що дівчинка-підліток надсилає не більше 150 текстів на день?
3. Що таке стандартне відхилення?

Відповідь

1. $P(x = 175) = \text{poissonpdf}(187, 175) \approx 0.0203$
2. $P(x \leq 150) = \text{poissoncdf}(187, 150) \approx 0.0030$
3. Стандартне відхилення$= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{187} \approx 13.6748$

Приклад$\PageIndex{6}$

Користувачі текстових повідомлень отримують або надсилають в середньому 41,5 текстових повідомлень на день.

1. Скільки текстових повідомлень користувач отримує або надсилає текстові повідомлення на годину?
2. Яка ймовірність того, що користувач текстового повідомлення отримує або надсилає два повідомлення на годину?
3. Яка ймовірність того, що користувач текстового повідомлення отримує або надсилає більше двох повідомлень на годину?

Рішення

1. Нехай$X =$ кількість текстів, які користувач надсилає або отримує за одну годину. Середня кількість отриманих текстів за годину становить$\frac{41.5}{24} \approx 1.7292$.
2. $X \sim P(1.7292)$, так$P(x = 2) = \text{poissonpdf}(1.7292, 2) \approx 0.2653$
3. $P(x > 2) = 1 – P(x \leq 2) = 1 – \text{poissoncdf}(1.7292, 2) \approx 1 – 0.7495 = 0.2505$

Вправа$\PageIndex{6}$

Міжнародний аеропорт Хартсфілд-Джексон в Атланті є найбільш завантаженим аеропортом у світі. В середньому щодня нараховується 2500 заїздів і вильотів.

1. Скільки літаків прибувають і відправляються з аеропорту на годину?
2. Яка ймовірність того, що за одну годину буде рівно 100 заїздів і вильотів?
3. Яка ймовірність того, що за одну годину не більше 100 заїздів і вильотів?

Відповідь

1. Нехай кількість літаків$X =$, що прибувають і відправляються з Хартсфілд-Джексона за одну годину. Середня кількість заїздів і вильотів на годину становить$\frac{2,500}{24} \approx 104.1667$.
2. $X \sim P(104.1667)$, Отже$P(x = 100) = \text{poissonpdf}(104.1667, 100) \approx 0.0366$.
3. $P(x \leq 100) = \text{poissoncdf}(104.1667, 100) \approx 0.3651$.

Розподіл Пуассона може бути використаний для наближення ймовірностей для біноміального розподілу. Наступний приклад демонструє взаємозв'язок між Пуассоном і біноміальними розподілами. Дозвольте$n$ представляти кількість біноміальних випробувань і нехай$p$ представляють ймовірність успіху для кожного випробування. Якщо$n$ досить великий і$p$ досить малий, то Пуассон дуже добре наближається до біноміалу. В цілому$n$ вважається «досить великим», якщо він більше або дорівнює 20. Імовірність$p$ від біноміального розподілу повинна бути менше або дорівнює 0,05. Коли Пуассона використовується для наближення біноміального, ми використовуємо біноміальне середнє$\mu = np$. Дисперсія$X$ є$\sigma^{2} = \sqrt{\mu}$ і стандартне відхилення є$\sigma = \sqrt{\mu}$. Наближення Пуассона до біноміального розподілу зазвичай використовувалося в дні, перш ніж технологія зробила обидва значення дуже легко обчислити.

Приклад$\PageIndex{7}$

13 травня 2013 року, починаючи з 16:30, ймовірність низької сейсмічної активності протягом наступних 48 годин на Алясці повідомлялося приблизно 1,02%. Використовуйте цю інформацію протягом наступних 200 днів, щоб знайти ймовірність того, що через десять з наступних 200 днів буде низька сейсмічна активність. Використовуйте як біноміальні, так і Пуассонові розподіли для обчислення ймовірностей. Вони близькі?

Відповідь

Нехай$X$ = кількість днів з низькою сейсмічною активністю.

Використання біноміального розподілу:

• $P(x = 10) = \text{binompdf}(200, .0102, 10) \approx\ 0.000039$

Використання розподілу Пуассона:

• Розрахувати$\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04$
• $P(x = 10) = \text{poissonpdf}(2.04, 10) \approx 0.000045$

Ми очікуємо, що наближення буде хорошим, оскільки$n$ є великим (більше 20) і$p$ малим (менше 0,05). Результати близькі - обидві ймовірності, про які повідомляється, майже 0.

Вправа$\PageIndex{7}$

13 травня 2013 року, починаючи з 16:30, ймовірність помірної сейсмічної активності протягом наступних 48 годин на Курильських островах біля берегів Японії повідомлялося близько 1,43%. Використовуйте цю інформацію протягом наступних 100 днів, щоб знайти ймовірність того, що через п'ять з наступних 100 днів буде низька сейсмічна активність. Використовуйте як біноміальні, так і Пуассонові розподіли для обчислення ймовірностей. Вони близькі?

Відповідь

Нехай$X =$ кількість днів з помірною сейсмічною активністю.

Використання біноміального розподілу:$P(x = 5) = \text{binompdf}(100, 0.0143, 5) \approx 0.0115$

Використання розподілу Пуассона:

• Розрахувати$\mu = np = 100(0.0143) = 1.43$
• $P(x = 5) = \text{poissonpdf}(1.43, 5) = 0.0119$

Ми очікуємо, що наближення буде хорошим, оскільки$n$ є великим (більше 20) і$p$ малим (менше 0,05). Результати близькі - різниця між значеннями становить 0,0004.

Посилання

1. «Інформаційний бюлетень ATL», Департамент авіації Міжнародного аеропорту Хартсфілд-Джексон Атланта, 2013 рік. Доступно в Інтернеті за адресою www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (доступ до 15 травня 2013 р.).
2. Центр контролю та профілактики захворювань. «Підліток водіїв: Інформаційний бюлетень» Попередження травм та контроль: Безпека транспортних засобів, жовтень 2, 2012. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafet...factsheet.html (доступ до 15 травня 2013 р.).
3. «Діти та виховання дітей», Міністерство охорони здоров'я, праці та соціального забезпечення. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.mhlw.go.jp/english/policy...ing/index.html (доступ до 15 травня 2013 р.).
4. «Статистика розладів харчової поведінки», Департамент психічного здоров'я штату Південна Кароліна, 2006. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (доступ до 15 травня 2013 р.).
5. «Народження в Манілі: пологовий будинок у Меморіальній лікарні доктора Хосе Фабелла в Манілі, найзайнятішому на Філіппін, де в середньому відбувається 60 народжень на день», - theguardian, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою www.theguardian.com/world/gal... 471900&index=2 (доступ до 15 травня 2013 р.).
6. «Як американці використовують текстові повідомлення», Пью Інтернет, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою pewinternet.org/Звіти/2011/... in-Report.aspx (доступ до 15 травня 2013).
7. Ленхарт, Аманда. «Підлітки, смартфони та тестування: обсяг текстових повідомлень збільшується, а частота голосових викликів знижується. Близько кожного четвертого підлітка кажуть, що вони володіють смартфонами», Pew Internet, 2012. Доступний в Інтернеті за адресою www.pewinternet.org/~/media/f... nd_Texting.pdf (доступ до 15 травня 2013).
8. «Один народжується щохвилини: пологовий будинок, де матері ТРИ до ліжка», - MailOnline. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.dailymail.co.uk/news/arti...thers-bed.html (доступ до 15 травня 2013 р.).
9. Вандеркам, Лора. «Перестаньте перевіряти свою електронну пошту, зараз.» CNN гроші, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою management.fortune.cnn.com/20... нашої-електронної пошти зараз/ (доступ до 15 травня 2013 р.).
10. «Світові землетруси: Новини та основні моменти землетрусу» Світові землетруси, 2012. www.world-earthquakes.com/ind... thq_prediction (доступ до травня 15, 2013).

Рецензія

Розподіл ймовірності Пуассона дискретної випадкової величини дає ймовірність ряду подій, що відбуваються за фіксований проміжок часу або простору, якщо ці події відбуваються з відомою середньою швидкістю і незалежно від часу з моменту останньої події. Розподіл Пуассона може використовуватися для наближення біноміального, якщо ймовірність успіху «мала» (менше або дорівнює 0,05) і кількість випробувань «велике» (більше або дорівнює 20).

Огляд формули

$X \sim P(\mu)$означає, що$X$ має розподіл ймовірностей$X =$ Пуассона, де кількість входжень у цікавому інтервалі.

$X$бере на себе цінності$x = 0, 1, 2, 3, \dotsc$

Зазвичай$\mu$ наведено середнє значення.

Дисперсія є$\sigma = \mu$, а стандартне відхилення

$$\sigma = \sqrt{\mu}$$ .

Коли$P(\mu)$ використовується для наближення біноміального розподілу,$\mu = np$ де$n$ представляє кількість незалежних випробувань і$p$ представляє ймовірність успіху в одному дослідженні.

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні шість вправ: В середньому магазин одягу отримує 120 клієнтів на день.

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо, що подія відбувається самостійно в будь-який день. Визначте випадкову величину$X$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Які значення$X$ набуває?

Відповідь

0, 1, 2, 3, 4,...

Вправа$\PageIndex{10}$

Яка ймовірність отримати 150 клієнтів за один день?

Вправа$\PageIndex{11}$

Яка ймовірність отримати 35 клієнтів за перші чотири години? Припустимо, магазин відкритий по 12 годин щодня.

Відповідь

0.0485

Вправа$\PageIndex{12}$

Яка ймовірність того, що магазин матиме більше 12 клієнтів в першу годину?

Вправа$\PageIndex{13}$

Яка ймовірність того, що в магазині буде менше 12 клієнтів в перші дві години?

Відповідь

0.0214

Вправа$\PageIndex{14}$

Який тип розподілу можна використовувати модель Пуассона для наближення? Коли б ви це зробили?

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні шість вправ: У середньому вісім підлітків у США помирають від травм транспортних засобів на день. Як результат, штати по всій країні обговорюють підвищення віку водіння.

Вправа$\PageIndex{15}$

Припустимо, що подія відбувається самостійно в будь-який день. У словах визначаємо випадкову величину$X$.

Відповідь

$X =$кількість американських підлітків, які помирають від травм транспортних засобів на день.

Вправа$\PageIndex{16}$

$X \sim$_____ (_____, _____)

Вправа$\PageIndex{17}$

Які значення$X$ набуває?

Відповідь

$0, 1, 2, 3, 4, \dotsc$

Вправа$\PageIndex{18}$

Для заданих значень випадкової$X$ величини заповніть відповідні ймовірності.

Вправа$\PageIndex{19}$

Чи ймовірно, що в США не буде підлітків, вбитих від травм автомобіля в будь-який день? Обґрунтуйте свою відповідь чисельно.

Відповідь

Ні

Вправа$\PageIndex{20}$

Чи ймовірно, що в США буде більше 20 підлітків, вбитих від травм автомобіля в будь-який день? Обґрунтуйте свою відповідь чисельно.

Глосарій

Розподіл ймовірностей Пуассона

дискретна випадкова величина (RV), яка підраховує кількість разів, коли певна подія відбудеться в конкретному інтервалі; характеристики змінної:

• Імовірність того, що подія відбудеться в заданому інтервалі, однакова для всіх інтервалів.
• Події відбуваються з відомим середнім і незалежно від часу з моменту останньої події.

Розподіл визначається середнім$\mu$ значенням події в інтервалі. Позначення:$X \sim P(\mu)$. Середнє значення є$\mu = np$. Стандартне відхилення - це$\sigma = \sqrt{\mu}$. Імовірність того, що саме$x$ успіхи у$r$ випробуваннях є$P(X = x) =$

$$\left(e^{-\mu}\right)\frac{\mu^{x}}{x!}$$

. Розподіл Пуассона часто використовується для наближення біноміального розподілу, коли$n$ є «великим» і$p$ «малим» (загальне правило полягає в тому, що$n$ повинно бути більше або дорівнює 20 і$p$ повинно бути менше або дорівнює 0,05).