5.11: Гіпергеометричний розподіл

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 5.10: Багатономіальний розподіл
- 5.12: Базові ставки

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Вивчити використання гіпергеометричного розподілу

Гіпергеометричний розподіл використовується для обчислення ймовірностей при вибірці без заміни. Наприклад, припустимо, що ви спочатку випадково відібрали одну карту з колоди $52$ . Потім, не поміщаючи карту назад в колоду, ви відбираєте секунду, а потім (знову ж таки без заміни карт) третину. З огляду на цю процедуру вибірки, яка ймовірність того, що рівно дві з відібраних карт будуть тузами ( $4$ з $52$ карт в колоді - тузи). Обчислити цю ймовірність можна за наступною формулою на основі гіпергеометричного розподілу:

$p =\dfrac{ (_{k}C_{x})(_{(n-k)}C_{(n-x)}) }{ _{n}C_{n}}$

де

$k$ це кількість «успіхів» у населення
$x$ кількість «успіхів» у вибірці
$N$ це чисельність населення
$n$ це число вибірки
$p$ є ймовірність отримання саме $x$ успіхів
$_kC_x$ кількість комбінацій $k$ речей, прийнятих $x$ за один раз

У цьому прикладі $k = 4$ тому, що в колоді чотири тузи, $x = 2$ тому що проблема запитує про ймовірність отримання двох тузів, $N = 52$ тому що в колоді є $52$ карти, і $n = 3$ тому що $3$ карти були відібрані. Тому,

$\begin{align} p &=\dfrac{(_4C_2) (_{(52-4)}C_{(3-2})}{_{52}C_3} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}\dfrac{48!}{47!1!}}{\dfrac{52!}{49!3!}} = 0.013 \end{align}$

Середнє і стандартне відхилення гіпергеометричного розподілу бувають:

$mean = \dfrac{n\,k}{N}$

$\sigma_{hypergeometric} = \sqrt{\dfrac{n\,k(N-k)(N-m)}{N^2(N-1)}}$