5.11: Гіпергеометричний розподіл

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98351

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Вивчити використання гіпергеометричного розподілу

Гіпергеометричний розподіл використовується для обчислення ймовірностей при вибірці без заміни. Наприклад, припустимо, що ви спочатку випадково відібрали одну карту з колоди\(52\). Потім, не поміщаючи карту назад в колоду, ви відбираєте секунду, а потім (знову ж таки без заміни карт) третину. З огляду на цю процедуру вибірки, яка ймовірність того, що рівно дві з відібраних карт будуть тузами (\(4\)з\(52\) карт в колоді - тузи). Обчислити цю ймовірність можна за наступною формулою на основі гіпергеометричного розподілу:

\[ p =\dfrac{ (_{k}C_{x})(_{(n-k)}C_{(n-x)}) }{ _{n}C_{n}}\]

де

\(k\)це кількість «успіхів» у населення
\(x\)кількість «успіхів» у вибірці
\(N\)це чисельність населення
\(n\)це число вибірки
\(p\)є ймовірність отримання саме\(x\) успіхів
\(_kC_x\)кількість комбінацій\(k\) речей, прийнятих\(x\) за один раз

У цьому прикладі\(k = 4\) тому, що в колоді чотири тузи,\(x = 2\) тому що проблема запитує про ймовірність отримання двох тузів,\(N = 52\) тому що в колоді є\(52\) карти, і\(n = 3\) тому що\(3\) карти були відібрані. Тому,

\[\begin{align} p &=\dfrac{(_4C_2) (_{(52-4)}C_{(3-2})}{_{52}C_3} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}\dfrac{48!}{47!1!}}{\dfrac{52!}{49!3!}} = 0.013 \end{align}\]

Середнє і стандартне відхилення гіпергеометричного розподілу бувають:

\[mean = \dfrac{n\,k}{N}\]

\[\sigma_{hypergeometric} = \sqrt{\dfrac{n\,k(N-k)(N-m)}{N^2(N-1)}}\]