5.12: Базові ставки

Цілі навчання

• Обчислити ймовірність умови з хітів, помилкових тривог та базових ставок за допомогою діаграми дерева
• Обчислити ймовірність умови з хітів, помилкових тривог та базових ставок за допомогою теореми Байєса

Припустимо, що на вашому регулярному фізичному огляді ви тест позитивний на Хвороба$X$. Хоча хвороба$X$ має лише легкі симптоми, ви стурбовані і запитайте свого лікаря про точність тесту. Виходить, що тест$95\%$ точний. Здавалося б, ймовірність того, що у вас$X$ є Хвороба, тому$0.95$. Однак ситуація не така проста.

З одного боку, потрібна додаткова інформація про точність тесту, оскільки існує два види помилок, які може зробити тест: промахи та помилкові спрацьовування. Якщо у вас насправді є хвороба,$X$ і тест не зміг її виявити, це було б промахом. Якщо у вас не було$X$ Хвороба, і тест вказував, що ви зробили, це було б помилково позитивним. Показники пропуску та помилково позитивні не обов'язково однакові. Наприклад, припустимо, що тест точно вказує на захворювання у$99\%$ людей, які його мають, і точно вказує на відсутність захворювання у$91\%$ людей, які його не мають. Іншими словами, тест має показник пропускання$0.01$ і помилково позитивний показник$0.09$. Це може призвести до того, що ви переглянете своє судження та дійдете висновку, що ваш шанс захворювання є$0.91$. Це було б неправильно, оскільки ймовірність залежить від частки людей, які мають захворювання. Ця пропорція називається базовою ставкою.

Припустимо,$X$ що Хвороба - рідкісне захворювання, і тільки$2\%$ у людей у вашій ситуації воно є. Як це впливає на ймовірність того, що у вас є? Або, загалом, яка ймовірність того, що хтось, хто позитивно тестує, насправді має хворобу? Розглянемо, що було б, якби був перевірений мільйон людей. З них один мільйон людей,$2\%$ або$20,000$ люди мали б захворювання. $20,000$З них із захворюванням тест точно виявить його у$99\%$ них. Це означає, що$19,800$ випадки були б точно ідентифіковані. Тепер розглянемо мільйона людей ($980,000$), які не мають захворювання.$98\%$ Оскільки помилково позитивний показник є$0.09$,$9\%$ з цих$980,000$ людей буде тест позитивний на захворювання. Це загальна кількість$88,200$ людей, неправильно поставлених діагнозом.

Підводячи підсумок,$19,800$ люди, які випробували позитивний результат, насправді мали б хворобу, а$88,200$ люди, які тестували позитивно, не мали б захворювання. Це означає, що з усіх тих, хто випробував позитивний результат, тільки

$$\dfrac{19,800}{19,800 + 88,200} = 0.1833$$

з них насправді було б захворювання. Так що ймовірність того, що у вас захворювання немає$0.95$, або$0.91$, а тільки$0.1833$.

Ці результати зведені в табл$\PageIndex{1}$. Числа людей, у яких діагностовано захворювання, показані червоним кольором. З одного мільйона людей, випробуваних, тест був правильним для$891,800$ тих, хто не має хвороби та для$19,800$ хвороби; тест був правильним$91\%$ того часу. Однак, якщо ви подивитеся лише на людей, які тестують позитивно (показані червоним кольором), лише$19,800 (0.1833)$ з позитивних$88,200 + 19,800 = 108,000$ тестів насправді мають захворювання.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Діагностика захворювання$X$

Справжня умова
Без хвороб 980 000		Хвороба 20 000
Результат тесту		Результат тесту
Позитивні 88,200	Негативний 891 800	Позитивні 19 800	Негативний 200

Теорема Байєса

Цей же результат можна отримати за допомогою теореми Байєса. Теорема Байєса враховує як попередню ймовірність події, так і діагностичне значення тесту для визначення задньої ймовірності події. Для поточного прикладу подія полягає в тому, що у вас Хвороба$X$. Давайте назвемо цю подію$D$. Оскільки лише$2\%$ люди у вашій ситуації мають захворювання$X$, попередня ймовірність події$D$ є$0.02$. Або, більш формально,$P(D) = 0.02$. Якщо$P(D')$ представляє ймовірність того, що Event$D$ є помилковим, то$P(D') = 1 - P(D) = 0.98$.

Щоб визначити діагностичну цінність тесту, нам потрібно визначити іншу подію: що у вас позитивний тест на Хвороба$X$. Давайте назвемо цю подію$T$. Діагностичне значення тесту залежить від ймовірності, яку ви отримаєте позитивний результат, враховуючи, що у вас насправді є захворювання, написане як$P(T|D)$, і ймовірність того, що ви тест позитивний, враховуючи, що у вас немає захворювання, написане як$P(T|D')$. Теорема Байєса, показана нижче, дозволяє обчислити$P(D|T)$, ймовірність того, що у вас є захворювання, враховуючи, що ви тест позитивний на нього.

$$P(D|T)=\frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D)+P(T|D')P(D')}$$

Різні терміни:

$P(T|D) = 0.99$
$P(T|D') = 0.09$
$P(D) = 0.02$
$P(D') = 0.98$

Тому,

$$P(D|T)=\frac{(0.99)(0.02)}{(0.99)(0.02)+(0.09)(0.98)}=0.1833$$

яке є тим самим значенням, обчисленим раніше.